2.kolokvij 2009/2010

[Deni001]

Može li mi netko malo pojasnit kako se rješava 1.zadatak?

Pokažite da je niz [tex](a_n)[/tex] zadan rekurzivno s [tex]a_{n+2}=a_{n+1}^2+\frac{1}{6}a_n+\frac{1}{9}, a_1=a_2=0[/tex] konvergentan i odredite mu limes.

Hvala!

[Megy Poe]

Dokazes da je niz (an) rastući (padajući) i odozgo (odozdo) omeđen i onda iz tog slijedi da je konvergentan. Limes je tada supremum(infimum) toga niza.

[Deni001]

To me i muči. Kako se to dokaže? Indukcijom ili ima neki drugi način?

[Megy Poe]

Indukcijom.

[lav]

jel moze neko malo detaljnije objasnit tu indukciju kod ovakvih tipova zadataka jer ja to ne mogu skuzit sama nikako... hvala puno na odgovoru!!!
vidla sam na forumu par rijesenih zadataka al nikako da skuzim tu indukciju ....

[wrathchild]

Megy Poe.. super odgovoreno, svaka ti čast

[Zenon]

Molim provjeru rješenja:
[dtex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{arctgn+chn}}[/dtex]
[dtex]\sqrt[n]{chn}\le\sqrt[n]{arctgn+chn}\le\sqrt[n]{\frac \pi2+chn}[/dtex]
Sada promatram [tex]\sqrt[n]{chn}=\sqrt[n]{\frac{e^n+e^{-n}}{2}}[/tex]
[dtex]\frac{e}{\sqrt[n]2}=\sqrt[n]{\frac{e^n}{2}}\le\sqrt[n]{\frac{e^n+e^{-n}}{2}}\le\sqrt[n]{\frac{e^n+e^n}{2}}=\sqrt[n]{e^n}=e[/dtex]
Pa je [tex]\sqrt[n]{chn}=e[/tex].

Sada promatram [tex]\sqrt[n]{\frac \pi2+chn}[/tex]
[dtex]\sqrt[n]{chn}\le\sqrt[n]{\frac \pi2+chn}\le\sqrt[n]{3chn}[/dtex]
zato što je ch n strogo rastuća na [0,+beskonačno>, a za n=0 vrijedi
[dtex]3ch0=3>ch0+\frac \pi2\Longleftrightarrow 3>1+\frac \pi2\Longleftrightarrow 2>\frac \pi2\Longleftrightarrow 4>\pi[/dtex]
pa imamo [dtex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{3chn}}=\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]3\cdot\sqrt[n]{chn}}=1\cdot e=e[/dtex]

Pa po teoremu o sendviču [dtex]\lim_{n\to\infty}{\sqrt[n]{arctgn+chn}}=e[/dtex].
Ako valja, a znate lakše rješenje, molio bih Vas da mi pokažete. Ako ne valja, recite mi što točno ne valja, ali mi nemojte dati rješenje. Hvala!

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]

[kikota]

bravo zenone.... lijepo rjesenje, a i nije prekomplicirano

_________________
i najduži put počinje prvim korakom... i tako sam ja upisala pmf...