|
Napisati cu i a) zbog potpunosti rjesenja.
[quote]Neka je X kompaktan skup u regularnom prostoru X
a) 1. Ako je U otvoren skup u X takav da je K podskup od U,dokazati da postoji otvoren skup V takav da je K podskup od V podskup od V zatvorenje podkup od U [/quote]
a) Neka je [tex]x\in K[/tex]. Tada postoji okolina [tex]V_x[/tex] od x sa svojstvom [tex]V_x\subset \overline{V_x} \subset U[/tex] (ovdje koristimo karakterizaciju regularnog prostora koja kaze da je X regularan ako i samo ako za svaku tocku [tex]x\in X[/tex] i svaku okolinu U od x postoji okolina V od x td. [tex]V\subset\overline V\subset U[/tex]). Prema tome, familija [tex]\{V_x~|~x\in K\}[/tex] je otvoren pokrivac skupa K.
Jer je K kompaktan, postoji konacno mnogo elemenata [tex]V_1, \dots, V_n[/tex] te familije koji u uniji prekrivaju K. Neka je V unija tih skupova. Ocito vrijedi [tex]K\subset V \subset \bigcup_{i=1}^n\overline{V_i}\subset U[/tex]. No, takodjer vrijedi [tex]\overline{V}\subseteq \bigcup_{i=1}^n\overline{V_i} [/tex] jer je konacna unija zatvorenih skupova zatvoren skup.
[quote]2. dokazati da je K zatvorenje kompaktan [/quote]
2. Jer je X Hausdorffov prostor, a skup K kompaktan, onda je K takodjer zatvoren. Prema tome [tex]\overline{K}=K[/tex] pa je i skup [tex]\overline{K}[/tex] kompaktan.
[quote]b)koristenjem tvrdnje pod a) dokazati da je svaki kompaktan regularan topoloski prostor normalan[/quote]
b) Neka je X kompaktan i regularan topoloski prostor te neka su A i B dva zatvorena podskupa od X ciji presjek je prazan. Jer je X kompaktan, onda su A i B kompaktni (jer zatvoreni potprostori kompaktnog prostora su kompaktni).
Skup X\A je otvoren i sadrzi B. Prema a) postoji otvoren skup V za koji vrijedi [tex]B\subset V\subset\overline V\subset X\setminus A[/tex]. Ocito [tex]V\cap A=\emptyset[/tex].
Skup [tex]X\setminus\overline{V}[/tex] je otvoren i sadrzi A. Prema a) postoji otvoren skup W za koji vrijedi [tex]A\subset W\subset \overline{W} \subset X\setminus\overline V[/tex]. Ocito vrijedi [tex]W\cap\overline{V}=\emptyset[/tex] pa je [tex]W\cap V=\emptyset[/tex]. Jer je [tex]B\subset V[/tex], onda takodjer vrijedi [tex]W\cap B=\emptyset[/tex].
Dakle, kompaktan i regularan topoloski prostor je ujedno i normalan.
Napisati cu i a) zbog potpunosti rjesenja.
| Citat: | Neka je X kompaktan skup u regularnom prostoru X
a) 1. Ako je U otvoren skup u X takav da je K podskup od U,dokazati da postoji otvoren skup V takav da je K podskup od V podskup od V zatvorenje podkup od U |
a) Neka je [tex]x\in K[/tex]. Tada postoji okolina [tex]V_x[/tex] od x sa svojstvom [tex]V_x\subset \overline{V_x} \subset U[/tex] (ovdje koristimo karakterizaciju regularnog prostora koja kaze da je X regularan ako i samo ako za svaku tocku [tex]x\in X[/tex] i svaku okolinu U od x postoji okolina V od x td. [tex]V\subset\overline V\subset U[/tex]). Prema tome, familija [tex]\{V_x~|~x\in K\}[/tex] je otvoren pokrivac skupa K.
Jer je K kompaktan, postoji konacno mnogo elemenata [tex]V_1, \dots, V_n[/tex] te familije koji u uniji prekrivaju K. Neka je V unija tih skupova. Ocito vrijedi [tex]K\subset V \subset \bigcup_{i=1}^n\overline{V_i}\subset U[/tex]. No, takodjer vrijedi [tex]\overline{V}\subseteq \bigcup_{i=1}^n\overline{V_i} [/tex] jer je konacna unija zatvorenih skupova zatvoren skup.
| Citat: | | 2. dokazati da je K zatvorenje kompaktan |
2. Jer je X Hausdorffov prostor, a skup K kompaktan, onda je K takodjer zatvoren. Prema tome [tex]\overline{K}=K[/tex] pa je i skup [tex]\overline{K}[/tex] kompaktan.
| Citat: | | b)koristenjem tvrdnje pod a) dokazati da je svaki kompaktan regularan topoloski prostor normalan |
b) Neka je X kompaktan i regularan topoloski prostor te neka su A i B dva zatvorena podskupa od X ciji presjek je prazan. Jer je X kompaktan, onda su A i B kompaktni (jer zatvoreni potprostori kompaktnog prostora su kompaktni).
Skup X\A je otvoren i sadrzi B. Prema a) postoji otvoren skup V za koji vrijedi [tex]B\subset V\subset\overline V\subset X\setminus A[/tex]. Ocito [tex]V\cap A=\emptyset[/tex].
Skup [tex]X\setminus\overline{V}[/tex] je otvoren i sadrzi A. Prema a) postoji otvoren skup W za koji vrijedi [tex]A\subset W\subset \overline{W} \subset X\setminus\overline V[/tex]. Ocito vrijedi [tex]W\cap\overline{V}=\emptyset[/tex] pa je [tex]W\cap V=\emptyset[/tex]. Jer je [tex]B\subset V[/tex], onda takodjer vrijedi [tex]W\cap B=\emptyset[/tex].
Dakle, kompaktan i regularan topoloski prostor je ujedno i normalan.
_________________
The Dude Abides
|
