drugi kolokvij

[Gost]

molim pomoc oko 2.b i 3.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf

[satja]

Za 2.b) stavimo [tex]F(x,y,z) = x\cosh \frac y x - z[/tex]. Neka je [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] točka na danoj krivulji, što znači [tex]F(x_0, y_0, z_0) = 0[/tex]. Budući da je [tex]\nabla F(x_0, y_0, z_0) = (\cosh \frac{y_0}{x_0}-\frac{y_0}{x_0}\sinh\frac{y_0}{x_0}, \sinh\frac{y_0}{x_0}, -1)[/tex], jednadžba tangencijalne ravnine u toj točki glasi

[tex](\cosh \frac{y_0}{x_0}-\frac{y_0}{x_0}\sinh\frac{y_0}{x_0})(x-x_0) + \sinh\frac{y_0}{x_0}(y-y_0) -(z-z_0) = 0.[/tex]

Uvrstimo li [tex]z_0 = x_0\cosh\frac{y_0}{x_0}[/tex], nakon sređivanja jednadžba tangencijalne ravnine postaje

[tex]x(\cosh\frac{y_0}{x_0} - \frac{y_0}{x_0}\sinh\frac{y_0}{x_0}) + y\sinh\frac{y_0}{x_0} - z = 0.[/tex]

Sad je jasno da za bilo koju točku [tex](x_0, y_0, z_0)[/tex] na krivulji, tangencijalna ravnina prolazi točkom [tex](x, y, z) = (0, 0, 0)[/tex].



Za 3. primijetimo da bilo koja točka [tex](t, \frac{t+2}{t-1})[/tex] za [tex]t\neq 1[/tex] leži na danoj krivulji. Udaljenost takve točke od ishodišta je veća ili jednaka [tex]t[/tex], a budući da možemo uzeti proizvoljan [tex]t[/tex], ne postoji točka na krivulji koja je najdalje od ishodišta.

[Gost]

2.zadatak (drugi dio) jel mi to znaci da gledam nablaF(x,y,z) * (1,-1,-1)=0?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf

[sz]

Da, dvije ravnine su okomite akko su njihove normale okomite, a normale su tu grad F(x, y, z) i (1, -1, -1).

[Gost]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf
jel bi mogog netko izracunat diferencijal u 2.a i Df(x)(x)? cudno mi nesto ispada.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/kolokvij2.pdf
5.b mi ispada (za f1) f1(x,y)=y+2xy+ostatak, a ne vidim di mi je krivo

[sz]

2. a) [tex]\nabla f(x_1,...,x_n)=(S-x_1\quad\ldots\quad S-x_n)[/tex] gdje je [tex]S=x_1+...+x_n[/tex] pa je [tex]Df(x)(x)=(S-x_1)x_1+\ldots+(S-x_n)x_n=S^2-(x_1^2+\ldots+x_n^2)=2\sum_{1\leq i<j\leq n}^n x_i x_j.[/tex]

5.b) Vjerojatno si zaboravio/la na faktorijele u Taylorovoj formuli...

[jabuka]

moze pomoc s 4.?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf

[sz]

4. Prvo, da se ne pogubim u oznakama, ono što je u predavanjima označeno sa [tex]\frac{\partial F}{\partial x}[/tex] i [tex]\frac{\partial F}{\partial y}[/tex] ovdje ću označavati sa [tex]\frac{\partial F}{\partial x_1}[/tex] i [tex]\frac{\partial F}{\partial x_2}[/tex].

Ako uvrstimo u jednadžbu x = 0 i y = 0, vidimo da je za z jedina moguća vrijednost z = 0. Sad želimo primijeniti Tm o implicitnoj fji. F je očito klase [tex]C^1[/tex], imamo [dtex]\frac{\partial F}{\partial x_1}(x,y,z)=(2x\quad 2y+z^5)\qquad\frac{\partial F}{\partial x_2}(x,y,z)=1+5yz^4.[/dtex]
Kako je [tex]\frac{\partial F}{\partial x_2}(0,0,0)=1[/tex], što je regularna 1x1 matrica, zadovoljeni su uvjeti Tma o imlicitnoj fji pa vrijedi prvi dio zadatka.
Za [tex]\nabla f[/tex] znamo ili izvedemo formulu s predavanja [dtex]\nabla f(x,y)=-\frac{\partial F}{\partial x_2}(x,y,f(x,y))^{-1}\frac{\partial F}{\partial x_1}(x,y,f(x,y))=-\frac{1}{1+5yf(x,y)^4}(2x\quad 2y+f(x,y)^5)[/dtex]
što je za našu točku (0, 0) sa f(0, 0) = 0 nula pa je (0, 0) stacionarna točka fje f.
Karakter možemo određivati računajući Hesseovu matricu, ali to je duuuugo i ružno (mislim da se dobije [tex]-2I[/tex]). Možemo umjesto toga malo promotriti formulu za f i gledati kako izgleda f(x, y) ako su x i y blizu 0: vrijedi[dtex]f(x,y)=-\frac{x^2+y^2}{1+yf(x,y)^4}.[/dtex]
Gledajmo presjek one otvorene okoline točke (0,0) na kojoj nam Tm o im. fji garantira da je f dobro definirana i otvorenih krugova sa središtem u (0,0):
- jedinični krug polumjera 1 (da nam bude [tex]|y| < 1[/tex]);
- krug takav da je za sve njegove točke [tex]|f(x,y)| < 1[/tex] (takav postoji zbog neprekidnosti fje f).
Onda za točke iz tog presjeka različite od (0,0) vrijedi [dtex]f(x,y)=-\frac{x^2+y^2}{1+yf(x,y)^4} < 0[/dtex]
pa je (0,0) lokalni maksimum fje f.

[Joker]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2008-09/kolokvij2.pdf

moze pomoc s trecim a i b

hvala unaprijed

[sz]

3.a) Stacionarne točke su (0, 0) i (4, -2). (4, -2) odmah ispadne sedlo, a za (0, 0) je Hesseova matrica pozitivno semidefinitna. Kako je [tex]f(0,\frac{1}{k})>0, f(0, -\frac{1}{k})<0, k\in \mathbb{N}[/tex], ne radi se o lokalnom ekstremu.

b) f je očito neprekidna pa na kompaktnoj elipsi postiže minimum i maksimum.
U nastavku, klasični uvjetni ekstremi: u svim točkame elipse [tex]\nabla g \neq 0[/tex] pa s tim nema problema. Rješavanjem sustava dobiju se kandidati [tex](0,-\frac{5}{2}),(0,\frac{5}{2}),(-3,2),(3,2)[/tex]. Direktnim računanjem vrijednosti fje f ispadne da je maksimum [tex](0,-\frac{5}{2})[/tex], a minimum [tex](-3,2), (3,2)[/tex], ako ne fuljah...

[mapat]

jel mi moze netko objasniti zasto za zakljucak da fja nije dfb u nekoj tocki nije dovoljno kad pokazem da limesi (kad ide u tu tocku) od parcijalnih nisu jednaki vrijednosti parcijalnih u toj tocki? zasto onda trebam jos provjerit kandidata za linearni operator ako sam vec preko limesa zakljucila da fja nije neprekidna u toj tocki?

[ceps]

Jer teorem kaže ''ako sve parcijalne derivacije postoje i neprekidne su na nekom o. skupu A, onda je f dfb na A''.

Znači ako, ne ako i samo ako...

[Gost]

Moze netko raspisati drugi zadatak u drugom kolokviju iz 2009 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2008-09/kolokvij2.pdf

Vidila sam u nekom topicu ovu uputu :

[mapat]

hvala

[sz]

[abol]

Što treba u 5. zadatku kolokvij2-08/09, je li dovoljno provjeriti za koje točke je Jakobijan različit od 0?? U tom slučaju vrijedi za sve točke za koje je r različit od 0?[/url]

[ceps]

@abol

Da, tako je.

Ako ti moja potvrda nije dovoljna, pogledaj još jedanput iskaz teorema o inverznoj fji.

[N.B.]

jel postoji neka dobra dusa koja ce objasniti teorem 17.1 uvjetni ekstremi *-*

Added after 36 seconds:

skripta iz predavanja

_________________
It is not enough to have a good mind; the main thing is to use it well.

[kikzmyster]

sto te tocno zanima

[Joker]

jel se ocjena pogreške kod razvoja neke funkcije u taylorov red dobije tako da se od pocetne funkcije oduzme taylorov polinom ili je to k+1-a derivacija,ostatak?