|
Uspio sam pokazati da je svaki [tex]3-(8,4,1)[/tex] dizajn jednak svom komplementarnom, pa bi htio podijeliti s vama svoje rješenje. Također, ako netko ima elegantnije rješenje volio bih da ga tu stavi. Možda netko tko je to prošle godine na kolokviju uspio rješiti?
Prvo označimo skup točaka sa [tex]\{1,2\dots,8\}[/tex]. I uzmimo proizvoljan blok (BSO) [tex]B_1=\{1,2,3,4\}[/tex]. Pretpostavimo da skup [tex]S=\{5,6,7,8\}[/tex] nije među blokovima. Budući da svake 3 točke određuju blok onda mora biti da za svaki od 4 tročlana poskupa od [tex]S[/tex] postoji točno jedna točka iz [tex]B_1[/tex] koja s te tri točke čini blok. I jasno da su te 4 dodatne točke međusobno različite jer bi se inače dva bloka sjekla u 3 točke. (BSO) to su blokovi [tex]B_2=\{1,6,7,8\}[/tex], [tex]B_3=\{2,5,7,8\}[/tex], [tex]B_4=\{3,5,6,8\}[/tex] i [tex]B_5=\{4,5,6,7\}[/tex]. Konačno dvaput prebrojimo skup [tex]\{(x,B) : x\in\{1,2,3,4\}, x\in B, B \textrm{ je blok}\}[/tex]. Lako se vidi da je u [tex]3-(8,4,1)[/tex] dizajnu svaka točka je sadržana u točno 7 blokova (to je onaj [tex]\lambda_1[/tex]) i da ima ukupno 14 blokova. Stoga je broj gornjih skupova [tex]4\cdot 7=28[/tex] ako brojimo prvo po prvoj koordinati. A s druge strane ako brojimo po blokovima, [tex]B_1[/tex] sadrži sve četri točke, a [tex]B_2,B_3,B_4,B_5[/tex] po jednu točku iz [tex]B_1[/tex]. Ostaje još 9 blokova koji sjeku [tex]B_1[/tex] u dvije točke i [tex]S[/tex] u dvije točke. (Slučaj da blok siječe [tex]B_1[/tex] u 3 točke a [tex]S[/tex] u jednoj, naravno otpada.) Time dobivamo još [tex]9\cdot 2[/tex] elemenata. Sve skupa imamo [tex]1\cdot 4+4\cdot 1+ 9\cdot 2=26\neq 28[/tex]. Kontradikcija. Dakle [tex]S[/tex] mora biti među blokovima. [tex]\qquad\mathfrak{Q.E.D.}[/tex]
P.S. Postoje li neki uvjeti na parametre dizajna koji osiguravaju svojevrsnu jedinstvenost takvog dizajna ako postoji. Npr. jasno je da ukoliko imamo [tex]t-(v,t,1)[/tex] da je takav dizajn jedinstven do na izomorfizam. Jednostavno blokovi su svi [tex]t[/tex]-člani podskupovi od skupa točaka. U neku ruku jedinstvenost ovdje slijedi iz 'maksimalnosti' dizajna, moramo uzeti sve blokove. Gornji primjer je jako sličan s te strane. Ako se ne varam, iz činjenice da su svake dvije Hadamardove matrice reda 8 izomorfne slijedi da su svaka dva 3-(8,4,1) dizajna izomorfna.
Ono što me zanima je, da li postoje neki rezultati u tom smjeru koji daju jedinstvenost (ukoliko postoji) dizajna s parametrima za koje je [tex]k[/tex] 'malo veći' od [tex]t[/tex]?
Uspio sam pokazati da je svaki [tex]3-(8,4,1)[/tex] dizajn jednak svom komplementarnom, pa bi htio podijeliti s vama svoje rješenje. Također, ako netko ima elegantnije rješenje volio bih da ga tu stavi. Možda netko tko je to prošle godine na kolokviju uspio rješiti?
Prvo označimo skup točaka sa [tex]\{1,2\dots,8\}[/tex]. I uzmimo proizvoljan blok (BSO) [tex]B_1=\{1,2,3,4\}[/tex]. Pretpostavimo da skup [tex]S=\{5,6,7,8\}[/tex] nije među blokovima. Budući da svake 3 točke određuju blok onda mora biti da za svaki od 4 tročlana poskupa od [tex]S[/tex] postoji točno jedna točka iz [tex]B_1[/tex] koja s te tri točke čini blok. I jasno da su te 4 dodatne točke međusobno različite jer bi se inače dva bloka sjekla u 3 točke. (BSO) to su blokovi [tex]B_2=\{1,6,7,8\}[/tex], [tex]B_3=\{2,5,7,8\}[/tex], [tex]B_4=\{3,5,6,8\}[/tex] i [tex]B_5=\{4,5,6,7\}[/tex]. Konačno dvaput prebrojimo skup [tex]\{(x,B) : x\in\{1,2,3,4\}, x\in B, B \textrm{ je blok}\}[/tex]. Lako se vidi da je u [tex]3-(8,4,1)[/tex] dizajnu svaka točka je sadržana u točno 7 blokova (to je onaj [tex]\lambda_1[/tex]) i da ima ukupno 14 blokova. Stoga je broj gornjih skupova [tex]4\cdot 7=28[/tex] ako brojimo prvo po prvoj koordinati. A s druge strane ako brojimo po blokovima, [tex]B_1[/tex] sadrži sve četri točke, a [tex]B_2,B_3,B_4,B_5[/tex] po jednu točku iz [tex]B_1[/tex]. Ostaje još 9 blokova koji sjeku [tex]B_1[/tex] u dvije točke i [tex]S[/tex] u dvije točke. (Slučaj da blok siječe [tex]B_1[/tex] u 3 točke a [tex]S[/tex] u jednoj, naravno otpada.) Time dobivamo još [tex]9\cdot 2[/tex] elemenata. Sve skupa imamo [tex]1\cdot 4+4\cdot 1+ 9\cdot 2=26\neq 28[/tex]. Kontradikcija. Dakle [tex]S[/tex] mora biti među blokovima. [tex]\qquad\mathfrak{Q.E.D.}[/tex]
P.S. Postoje li neki uvjeti na parametre dizajna koji osiguravaju svojevrsnu jedinstvenost takvog dizajna ako postoji. Npr. jasno je da ukoliko imamo [tex]t-(v,t,1)[/tex] da je takav dizajn jedinstven do na izomorfizam. Jednostavno blokovi su svi [tex]t[/tex]-člani podskupovi od skupa točaka. U neku ruku jedinstvenost ovdje slijedi iz 'maksimalnosti' dizajna, moramo uzeti sve blokove. Gornji primjer je jako sličan s te strane. Ako se ne varam, iz činjenice da su svake dvije Hadamardove matrice reda 8 izomorfne slijedi da su svaka dva 3-(8,4,1) dizajna izomorfna.
Ono što me zanima je, da li postoje neki rezultati u tom smjeru koji daju jedinstvenost (ukoliko postoji) dizajna s parametrima za koje je [tex]k[/tex] 'malo veći' od [tex]t[/tex]?
_________________
Jedan je smjer očit, a drugi je trivijalan.
|
