| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
 Postano: 14:29 pon, 12. 4. 2004 Naslov: Kompozicija linearnih funkcija |
    |
|
|
Zanima me razmišljam li dobro:
Imamo zadana dva linearna operatora S,T : V -> V takvi da vrijedi ToS=I,I-operator identiteta.Treba pokazati da je T izomorfizam.
Napomena:Kompoziciju linearnih operatora ToS ćemo označavati TS(to je opravdano jer smo kasnije pokazali da imati kompoziciju linearnih operatora je isto što i množiti matrice).
Kako su operatori linearni i definirani sa V u V imamo teorem koji kaže da je dovoljno imati injekciju ili surjekciju pa da imamo i bijekciju odnosno izomorfizam.
Pokažimo da je T surjekcija:
Neka je y@V proizvoljan:
-dakle imamo tipično dokazivanje surjekcije,uzmemo proizvoljan element iz kodomene i moramo pokazati da ćemo ga ''pogoditi'' sa T
TS(y)=I(y)
-ovo vrijedi jer je tako zadano djelovanje kompozicije tih dvaju linearnih operatora,y je iz kodomene koja je V,ali,kako je domena također V,to znači da je y i iz domene jer se radi o istom vektorskom prostoru jer inače ta simbolika nebi imala smisla jer funkcija djeluje_na_domenu_i preslikava u kodomenu,a ne suprotno.
T(S(y))=Y,S(y)=x
T(x)=y
Za x=S(y) je T(x)=y
Ja iz ove gornje ''simboličke rečenice'' nemam pojma jeli slika od S cijeli V ili samo neki dio?
Zanima me kada T djeluje na S dali S mora pogoditi cijeli V budući da je T definiran na cijelom V ili on to u kompoziciji ne mora?
Ja mislim da ne, mi znamo kako je T definiran(sa V u V),a to što on djeluje na sliku neke druge funkcije koja nije kompletni V nema nikakve veze sa njegovom definicijom,bitno je samo da je slika od S unutar domene od T,to je nužan i dovoljan uvjet za ostvarenje uspješne kompozicije.
Zanima me razmišljam li dobro:
Imamo zadana dva linearna operatora S,T : V -> V takvi da vrijedi ToS=I,I-operator identiteta.Treba pokazati da je T izomorfizam.
Napomena:Kompoziciju linearnih operatora ToS ćemo označavati TS(to je opravdano jer smo kasnije pokazali da imati kompoziciju linearnih operatora je isto što i množiti matrice).
Kako su operatori linearni i definirani sa V u V imamo teorem koji kaže da je dovoljno imati injekciju ili surjekciju pa da imamo i bijekciju odnosno izomorfizam.
Pokažimo da je T surjekcija:
Neka je y@V proizvoljan:
-dakle imamo tipično dokazivanje surjekcije,uzmemo proizvoljan element iz kodomene i moramo pokazati da ćemo ga ''pogoditi'' sa T
TS(y)=I(y)
-ovo vrijedi jer je tako zadano djelovanje kompozicije tih dvaju linearnih operatora,y je iz kodomene koja je V,ali,kako je domena također V,to znači da je y i iz domene jer se radi o istom vektorskom prostoru jer inače ta simbolika nebi imala smisla jer funkcija djeluje_na_domenu_i preslikava u kodomenu,a ne suprotno.
T(S(y))=Y,S(y)=x
T(x)=y
Za x=S(y) je T(x)=y
Ja iz ove gornje ''simboličke rečenice'' nemam pojma jeli slika od S cijeli V ili samo neki dio?
Zanima me kada T djeluje na S dali S mora pogoditi cijeli V budući da je T definiran na cijelom V ili on to u kompoziciji ne mora?
Ja mislim da ne, mi znamo kako je T definiran(sa V u V),a to što on djeluje na sliku neke druge funkcije koja nije kompletni V nema nikakve veze sa njegovom definicijom,bitno je samo da je slika od S unutar domene od T,to je nužan i dovoljan uvjet za ostvarenje uspješne kompozicije.
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 14:45 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
A onda u skladu s ovim gore:
Jesam li dobro zaključio:
T,S :IR^IN -> IR^IN, IR^IN-vektorski prostor realnih nizova
a=(a1,a2,a3,...) jedan općeniti realni niz
(TS)(a)=T(0,a1,a2,a3,...)=(a1,a2,...)
S nije surjekcija ali je injekcija
T nije injekcija jer:on ovdje gore specijalno djeluje na sliku od S dakle vektore oblika (0,a1,a2,a3,...) ali vidjevši da je on definiran na cijelom V on djeluje na sve vektore oblika a=(a1,a2,a3,...).
On nije injekcija jer različitim elementima domene pridružuje iste slike odnosno elemente kodomene:evo primjera:
(0,23,43,3,...)->(23,43,3,...)
(235,23,43,3,…)->)23,43,3,...)
drugi slučaj:
(ST)(a)=S(a2,a3,a4,...)=(0,a2,a3,...)
T je surjekcija nije injekcija
S je injekcija nije surjekcija
A onda u skladu s ovim gore:
Jesam li dobro zaključio:
T,S :IR^IN -> IR^IN, IR^IN-vektorski prostor realnih nizova
a=(a1,a2,a3,...) jedan općeniti realni niz
(TS)(a)=T(0,a1,a2,a3,...)=(a1,a2,...)
S nije surjekcija ali je injekcija
T nije injekcija jer:on ovdje gore specijalno djeluje na sliku od S dakle vektore oblika (0,a1,a2,a3,...) ali vidjevši da je on definiran na cijelom V on djeluje na sve vektore oblika a=(a1,a2,a3,...).
On nije injekcija jer različitim elementima domene pridružuje iste slike odnosno elemente kodomene:evo primjera:
(0,23,43,3,...)->(23,43,3,...)
(235,23,43,3,…)->)23,43,3,...)
drugi slučaj:
(ST)(a)=S(a2,a3,a4,...)=(0,a2,a3,...)
T je surjekcija nije injekcija
S je injekcija nije surjekcija
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 15:18 pon, 12. 4. 2004 Naslov: Re: Kompozicija linearnih funkcija |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Zanima me razmišljam li dobro:
Imamo zadana dva linearna operatora S,T : V -> V takvi da vrijedi ToS=I,I-operator identiteta.Treba pokazati da je T izomorfizam.
Napomena:Kompoziciju linearnih operatora ToS ćemo označavati TS(to je opravdano jer smo kasnije pokazali da imati kompoziciju linearnih operatora je isto što i množiti matrice).
Kako su operatori linearni i definirani sa V u V imamo teorem koji kaže da je dovoljno imati injekciju ili surjekciju pa da imamo i bijekciju odnosno izomorfizam.[/quote]
Da, za _konačnodimenzionalne_ prostore. Kao što donji kontraprimjer pokazuje, u beskonačnodimenzionalnima stvar ne mora vrijediti ( |R^|N nije konačnodimenzionalan).
[quote]Pokažimo da je T surjekcija:
Neka je y@V proizvoljan:
-dakle imamo tipično dokazivanje surjekcije,uzmemo proizvoljan element iz kodomene i moramo pokazati da ćemo ga ''pogoditi'' sa T
TS(y)=I(y)
-ovo vrijedi jer je tako zadano djelovanje kompozicije tih dvaju linearnih operatora,y je iz kodomene koja je V,ali,kako je domena također V,to znači da je y i iz domene jer se radi o istom vektorskom prostoru jer inače ta simbolika nebi imala smisla jer funkcija djeluje_na_domenu_i preslikava u kodomenu,a ne suprotno.
T(S(y))=Y,S(y)=x[/quote]
T(S(y))=y , S(y)=: x
[quote]T(x)=y
Za x=S(y) je T(x)=y
Ja iz ove gornje ''simboličke rečenice'' nemam pojma jeli slika od S cijeli V ili samo neki dio?[/quote]
Direktno odatle, ne. Ali jednom kad dokažeš da je T regularan, S je njegov inverz pa je isto regularan, dakle surjekcija, pa slika od S zaista jest cijeli V . No to nije bitno za dokaz, da.
[quote]Zanima me kada T djeluje na S dali S mora pogoditi cijeli V budući da je T definiran na cijelom V ili on to u kompoziciji ne mora?[/quote]
Ne mora. Štoviše, općenito kompozicija fog se obično uzima kao definirana ako je slika od g podskup domene od f . Ne mora biti jednaka.
[quote]Ja mislim da ne, mi znamo kako je T definiran(sa V u V),a to što on djeluje na sliku neke druge funkcije koja nije kompletni V nema nikakve veze sa njegovom definicijom,bitno je samo da je slika od S unutar domene od T,to je nužan i dovoljan uvjet za ostvarenje uspješne kompozicije.[/quote]
Točno.
| Anonymous (napisa): | Zanima me razmišljam li dobro:
Imamo zadana dva linearna operatora S,T : V → V takvi da vrijedi ToS=I,I-operator identiteta.Treba pokazati da je T izomorfizam.
Napomena:Kompoziciju linearnih operatora ToS ćemo označavati TS(to je opravdano jer smo kasnije pokazali da imati kompoziciju linearnih operatora je isto što i množiti matrice).
Kako su operatori linearni i definirani sa V u V imamo teorem koji kaže da je dovoljno imati injekciju ili surjekciju pa da imamo i bijekciju odnosno izomorfizam. |
Da, za _konačnodimenzionalne_ prostore. Kao što donji kontraprimjer pokazuje, u beskonačnodimenzionalnima stvar ne mora vrijediti ( |R^|N nije konačnodimenzionalan).
| Citat: | Pokažimo da je T surjekcija:
Neka je y@V proizvoljan:
-dakle imamo tipično dokazivanje surjekcije,uzmemo proizvoljan element iz kodomene i moramo pokazati da ćemo ga ''pogoditi'' sa T
TS(y)=I(y)
-ovo vrijedi jer je tako zadano djelovanje kompozicije tih dvaju linearnih operatora,y je iz kodomene koja je V,ali,kako je domena također V,to znači da je y i iz domene jer se radi o istom vektorskom prostoru jer inače ta simbolika nebi imala smisla jer funkcija djeluje_na_domenu_i preslikava u kodomenu,a ne suprotno.
T(S(y))=Y,S(y)=x |
T(S(y))=y , S(y)=: x
| Citat: | T(x)=y
Za x=S(y) je T(x)=y
Ja iz ove gornje ''simboličke rečenice'' nemam pojma jeli slika od S cijeli V ili samo neki dio? |
Direktno odatle, ne. Ali jednom kad dokažeš da je T regularan, S je njegov inverz pa je isto regularan, dakle surjekcija, pa slika od S zaista jest cijeli V . No to nije bitno za dokaz, da.
| Citat: | | Zanima me kada T djeluje na S dali S mora pogoditi cijeli V budući da je T definiran na cijelom V ili on to u kompoziciji ne mora? |
Ne mora. Štoviše, općenito kompozicija fog se obično uzima kao definirana ako je slika od g podskup domene od f . Ne mora biti jednaka.
| Citat: | | Ja mislim da ne, mi znamo kako je T definiran(sa V u V),a to što on djeluje na sliku neke druge funkcije koja nije kompletni V nema nikakve veze sa njegovom definicijom,bitno je samo da je slika od S unutar domene od T,to je nužan i dovoljan uvjet za ostvarenje uspješne kompozicije. |
Točno.
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
| Postano: 15:24 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]A onda u skladu s ovim gore:
Jesam li dobro zaključio:
T,S :IR^IN -> IR^IN, IR^IN-vektorski prostor realnih nizova
a=(a1,a2,a3,...) jedan općeniti realni niz
(TS)(a)=T(0,a1,a2,a3,...)=(a1,a2,...)[/quote]
Mislim da nigdje nisi prcizirao što su T i S . Iz ovog gore, zaključujem da je S "napiši 0 na početak", a T "pomakni sve za jedno mjesto ulijevo".
[quote]S nije surjekcija ali je injekcija[/quote]
Točno. (1,0,0,....) nije u slici od S , ali budući da S ima lijevi inverz (namely T ), injekcija je.
[quote]T nije injekcija jer:on ovdje gore specijalno djeluje na sliku od S dakle vektore oblika (0,a1,a2,a3,...) ali vidjevši da je on definiran na cijelom V on djeluje na sve vektore oblika a=(a1,a2,a3,...).
On nije injekcija jer različitim elementima domene pridružuje iste slike odnosno elemente kodomene:evo primjera:
(0,23,43,3,...)->(23,43,3,...)
(235,23,43,3,…)->)23,43,3,...)[/quote]
Right.
[quote]drugi slučaj:
(ST)(a)=S(a2,a3,a4,...)=(0,a2,a3,...)
T je surjekcija nije injekcija[/quote]
Ima desni inverz ( S ), dakle surjekcija je. Da nije injekcija, pokazuje gornji kontraprimjer.
[quote]S je injekcija nije surjekcija[/quote]
To si već rekao. :-)
| Anonymous (napisa): | A onda u skladu s ovim gore:
Jesam li dobro zaključio:
T,S :IR^IN → IR^IN, IR^IN-vektorski prostor realnih nizova
a=(a1,a2,a3,...) jedan općeniti realni niz
(TS)(a)=T(0,a1,a2,a3,...)=(a1,a2,...) |
Mislim da nigdje nisi prcizirao što su T i S . Iz ovog gore, zaključujem da je S "napiši 0 na početak", a T "pomakni sve za jedno mjesto ulijevo".
| Citat: | | S nije surjekcija ali je injekcija |
Točno. (1,0,0,....) nije u slici od S , ali budući da S ima lijevi inverz (namely T ), injekcija je.
| Citat: | T nije injekcija jer:on ovdje gore specijalno djeluje na sliku od S dakle vektore oblika (0,a1,a2,a3,...) ali vidjevši da je on definiran na cijelom V on djeluje na sve vektore oblika a=(a1,a2,a3,...).
On nije injekcija jer različitim elementima domene pridružuje iste slike odnosno elemente kodomene:evo primjera:
(0,23,43,3,...)→(23,43,3,...)
(235,23,43,3,…)→)23,43,3,...) |
Right.
| Citat: | drugi slučaj:
(ST)(a)=S(a2,a3,a4,...)=(0,a2,a3,...)
T je surjekcija nije injekcija |
Ima desni inverz ( S ), dakle surjekcija je. Da nije injekcija, pokazuje gornji kontraprimjer.
| Citat: | | S je injekcija nije surjekcija |
To si već rekao. 
|
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
| Postano: 16:39 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
Hvala ti Veky,evo imam još nešto:
dim V=n,A,B:V->V linearni operatori takvi da vrijedi AB=0.
Treba dokazati:ako je A:V->V proizvoljan linearni operator,dokažite da postoji B:V->V takav da je AB=0,r(A)+r(B)=n,r(A) je rang lin.operatora A.
Asistent kaže:ideja je naći takav B da je ImB=KerA.
Ja kažem:nije li dovoljno zahtjevati manje,odnosno:ImB sadržana u KerA ,nije li to dovoljno?
Hvala ti Veky,evo imam još nešto:
dim V=n,A,B:V->V linearni operatori takvi da vrijedi AB=0.
Treba dokazati:ako je A:V->V proizvoljan linearni operator,dokažite da postoji B:V->V takav da je AB=0,r(A)+r(B)=n,r(A) je rang lin.operatora A.
Asistent kaže:ideja je naći takav B da je ImB=KerA.
Ja kažem:nije li dovoljno zahtjevati manje,odnosno:ImB sadržana u KerA ,nije li to dovoljno?
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol: 
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 17:09 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="Anonymous"]Ja kažem:nije li dovoljno zahtjevati manje,odnosno:ImB sadržana u KerA ,nije li to dovoljno?[/quote]
Nije, jer ce ti onda r(B) biti premalen. :(
Recimo, B(x)=0 za svaki x => Im(B)=0, Ker(B)=V, r(B)=0, r(A)+r(B)=r(A)<n (osim za A regularan). :?
:wave:
| Anonymous (napisa): | | Ja kažem:nije li dovoljno zahtjevati manje,odnosno:ImB sadržana u KerA ,nije li to dovoljno? |
Nije, jer ce ti onda r(B) biti premalen. 
Recimo, B(x)=0 za svaki x ⇒ Im(B)=0, Ker(B)=V, r(B)=0, r(A)+r(B)=r(A)<n (osim za A regularan). 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.  |
|
| [Vrh] |
|
Gost
|
|
| [Vrh] |
|
veky
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 12. 2002. (19:59:43)
Postovi: (5B0)16
Lokacija: negdje daleko...
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 22:54 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="veky"][quote="Anonymous"]Hvala Vam dečki…kada će moj mozak proraditi na vašoj frekvenciji…[/quote]
Frekvencija je prilično nebitna. A odgovor na pitanje koje si zapravo htio postaviti je: za nekoliko godina. ;-)[/quote]
Zapravo, vec do diplome... :D Kad budes spremao diplomski, pa skuzis da ti nije jasno sto to moze biti nejasno u Analizama 1-4 i Linearnim algebrama 1-2... :shock: Meni osobno najljepsi trenutak studija... :D
[quote="veky"]Ono što naučiš kako treba, ne zaboravljaš. Bar do 30e. IMO. :-)[/quote]
:shock: VEC?!? :shock: Upomoooooooooc!!!! :shock:
;)
| veky (napisa): | | Anonymous (napisa): | | Hvala Vam dečki…kada će moj mozak proraditi na vašoj frekvenciji… |
Frekvencija je prilično nebitna. A odgovor na pitanje koje si zapravo htio postaviti je: za nekoliko godina.  |
Zapravo, vec do diplome...  Kad budes spremao diplomski, pa skuzis da ti nije jasno sto to moze biti nejasno u Analizama 1-4 i Linearnim algebrama 1-2...  Meni osobno najljepsi trenutak studija...
| veky (napisa): | | Ono što naučiš kako treba, ne zaboravljaš. Bar do 30e. IMO. |
VEC?!? Upomoooooooooc!!!!
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
krcko
Forumaš nagrađen za životno djelo
Pridružen/a: 07. 10. 2002. (15:57:59)
Postovi: (18B3)16
|
|
| [Vrh] |
|
vsego
Site Admin
Pridružen/a: 06. 10. 2002. (22:07:09)
Postovi: (3560)16
Spol:
Lokacija: /sbin/init
|
| Postano: 23:48 pon, 12. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="krcko"]Bez straha, decki. Amnezija je divna bolest... nemas pojma kako je bilo prije :lol:[/quote]
I svaki vic ti je nov, svaki dan cujes nesto novo,... :lol: :roll: :lol: :roll: :lol: :roll: :lol: :roll: ;)
| krcko (napisa): | Bez straha, decki. Amnezija je divna bolest... nemas pojma kako je bilo prije  |
I svaki vic ti je nov, svaki dan cujes nesto novo,... 
_________________ U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju. |
|
| [Vrh] |
|
|
