Dakle, u kružnicu treba upisati pravilni osmerokut, pravilni šenaesterokut i pravilni 32-terokut te izračunati njihov opseg i površinu. Vjerojatno je poanta u tome da se to poveže s radijusom kružnice, pa ću njihovu površinu napisati u terminu radijusa.
Ok. Dakle, zamisli da imaš općenito neki pravilni n-terokut i oko njega opisanu kružnicu. Ako spojiš središte te kružnice sa svih n vrhova pravilnog n-terkuta, dobit ćeš n karakterističnih trokuta. Svi su oni jednakokračni. Kako je to n sukladnih trokuta, zaključujemo da je kut pri vrhu S u svakom od njih [tex]\frac{2\pi}{n}[/tex]. Znamo da je površina jednog tog trokuta [tex]P_t = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{2\pi}{n}[/tex] (Zašto? Površinu trokuta možemo računati kao 1/2 umnoška susjednih stranica i sinusa kuta među njima). Odnosno površina pravilnog n-terokuta upisanog u kružnicu radijus [tex]r[/tex] je [tex]P = \frac{n}{2}r^2\sin \frac{2\pi}{n}[/tex].
Za pravilni četverokut - [tex]P = 2r^2[/tex]
Za pravilni osmerokut - [tex]P = 2\sqrt{2} \cdot r^2[/tex]
Za pravilni šesnaesterokut - [tex]P = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \cdot r^2[/tex]
Za pravilni 32-terokut - [tex]P = 8\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot r^2[/tex]
Provjerom kalkulatorom možeš naslutiti da se ovaj dio prije [tex]r^2[/tex] približava broju [tex]\pi[/tex]. Lupiš limes ([tex]n \to \infty[/tex]), malo se sa tim pomučić i dobiš formulu koju znaš od 7. razreda OŠ. :D
[size=9][color=#999999]Added after 26 minutes:[/color][/size]
Što se tiče opsega... Sličnu logiku ćemo i tu primijeniti. S tim da ćemo sada spustiti visinu u jednom tom karakterističnom trokutu. Ona dijeli kut pri vrhu S na dva sukladna dijela, pa kut koji zatvara visina i jedan krak tog kuta mjere [tex]\frac{\pi}{n}[/tex]. Osim toga, ta visina dijeli osnovicu na dva jednaka dijela. Primjenom trigonometrije pravokutnog trokuta možemo izračunati da je osnovica jednog karakterističnog trokuta duljine [tex]a = 2r\sin\frac{\pi}{n}[/tex], a opseg pravilnog mnogokuta je [tex]o = n\cdot 2r\sin\frac{\pi}{n}[/tex]. (U daljnjem računu ću odvojiti 2r, tako da se vidi da je preostali dio isti kao ovaj koji sam imao gore kod površine).
Za pravilni četverokut - [tex]o = 4\sqrt{2}\cdot r = 2r\cdot 2\sqrt{2}[/tex]
Za pravilni osmetokut - [tex]o = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot r = 2r\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2}} [/tex]
Za pravilni šesnaesterokut - [tex]o = 16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot r = 2r\cdot 8\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}[/tex]
Za pravilni 32-terokut [tex]o = 32\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot r = 2r\cdot 16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}[/tex]. (provjeri koliko ćeš dobiti kad u kalkulator ukucaš [tex]16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}[/tex] ;) )
Ukratko, naslućujemo da u onoj gore općoj formuli dio [tex]n\sin\frac{\pi}{n}[/tex] teži u broj [tex]\pi[/tex].
Btw, ovaj zadnji me dosta izmučio...pogotovo jer nemam papira u blizini, pa sam pisao na komadu ubrusa. :D Provjeri! Kako sam došao do svih ovih korijena? Nekoliko puta sam primijenio trigonometriju polovičnog kuta...
Dakle, u kružnicu treba upisati pravilni osmerokut, pravilni šenaesterokut i pravilni 32-terokut te izračunati njihov opseg i površinu. Vjerojatno je poanta u tome da se to poveže s radijusom kružnice, pa ću njihovu površinu napisati u terminu radijusa.
Ok. Dakle, zamisli da imaš općenito neki pravilni n-terokut i oko njega opisanu kružnicu. Ako spojiš središte te kružnice sa svih n vrhova pravilnog n-terkuta, dobit ćeš n karakterističnih trokuta. Svi su oni jednakokračni. Kako je to n sukladnih trokuta, zaključujemo da je kut pri vrhu S u svakom od njih [tex]\frac{2\pi}{n}[/tex]. Znamo da je površina jednog tog trokuta [tex]P_t = \frac{1}{2}r^2 \sin \frac{2\pi}{n}[/tex] (Zašto? Površinu trokuta možemo računati kao 1/2 umnoška susjednih stranica i sinusa kuta među njima). Odnosno površina pravilnog n-terokuta upisanog u kružnicu radijus [tex]r[/tex] je [tex]P = \frac{n}{2}r^2\sin \frac{2\pi}{n}[/tex].
Za pravilni četverokut - [tex]P = 2r^2[/tex]
Za pravilni osmerokut - [tex]P = 2\sqrt{2} \cdot r^2[/tex]
Za pravilni šesnaesterokut - [tex]P = 4\sqrt{2-\sqrt{2}} \cdot r^2[/tex]
Za pravilni 32-terokut - [tex]P = 8\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \cdot r^2[/tex]
Provjerom kalkulatorom možeš naslutiti da se ovaj dio prije [tex]r^2[/tex] približava broju [tex]\pi[/tex]. Lupiš limes ([tex]n \to \infty[/tex]), malo se sa tim pomučić i dobiš formulu koju znaš od 7. razreda OŠ. 
Added after 26 minutes:
Što se tiče opsega... Sličnu logiku ćemo i tu primijeniti. S tim da ćemo sada spustiti visinu u jednom tom karakterističnom trokutu. Ona dijeli kut pri vrhu S na dva sukladna dijela, pa kut koji zatvara visina i jedan krak tog kuta mjere [tex]\frac{\pi}{n}[/tex]. Osim toga, ta visina dijeli osnovicu na dva jednaka dijela. Primjenom trigonometrije pravokutnog trokuta možemo izračunati da je osnovica jednog karakterističnog trokuta duljine [tex]a = 2r\sin\frac{\pi}{n}[/tex], a opseg pravilnog mnogokuta je [tex]o = n\cdot 2r\sin\frac{\pi}{n}[/tex]. (U daljnjem računu ću odvojiti 2r, tako da se vidi da je preostali dio isti kao ovaj koji sam imao gore kod površine).
Za pravilni četverokut - [tex]o = 4\sqrt{2}\cdot r = 2r\cdot 2\sqrt{2}[/tex]
Za pravilni osmetokut - [tex]o = 8\sqrt{2-\sqrt{2}}\cdot r = 2r\cdot 4\sqrt{2-\sqrt{2}} [/tex]
Za pravilni šesnaesterokut - [tex]o = 16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}\cdot r = 2r\cdot 8\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}}[/tex]
Za pravilni 32-terokut [tex]o = 32\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}\cdot r = 2r\cdot 16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}[/tex]. (provjeri koliko ćeš dobiti kad u kalkulator ukucaš [tex]16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}[/tex] 
)
Ukratko, naslućujemo da u onoj gore općoj formuli dio [tex]n\sin\frac{\pi}{n}[/tex] teži u broj [tex]\pi[/tex].
Btw, ovaj zadnji me dosta izmučio...pogotovo jer nemam papira u blizini, pa sam pisao na komadu ubrusa. Provjeri! Kako sam došao do svih ovih korijena? Nekoliko puta sam primijenio trigonometriju polovičnog kuta...
_________________
Dvije stvari su beskonacne: svemir i ljudska glupost. Za ono prvo nisam siguran.
by A.Einstein
