|
Ako je [tex]\delta_1\in\mathbb{R}[/tex], onda po definiciji supremuma vrijedi da [dtex]\forall\epsilon >0\quad \exists a\in X \quad\delta_1-\epsilon\leq a\leq\delta_1,[/dtex]
gdje je [tex]X=\{\nu(E):E\in\mathcal{F},\,E\subseteq A\}[/tex] pa, ako uzmemo [tex]\epsilon=\frac{\delta_1}{2}[/tex], dobivamo postojanje skupa [tex]A_1\in\mathcal{F}[/tex] t. d. [tex] \nu(A_1)\geq\frac{\delta_1}{2}[/tex].
Ali ista tvrdnja ne vrijedi ako je [tex]\delta_1=+\infty[/tex] (tvrdili bismo da skup sa supremumom [tex]+\infty[/tex] nužno sadrži element [tex]\geq+\infty[/tex], što očito nije istina). Ali, znamo da u tom slučaju sigurno postoji neki element skupa X veći ili jednak od 1.
Dakle, bio [tex]\delta_1[/tex] realan broj ili [tex]+\infty[/tex], možemo tvrditi da postoji element skupa X koji je [tex]\geq\min\{\frac{\delta_1}{2},1\}[/tex], tj. da postoji skup [tex]A_1\in\mathcal{F}[/tex] t. d. [tex] \nu(A_1)\geq\min\{\frac{\delta_1}{2},1\}[/tex].
Kasnije u dokazu onda iz činjenice da je [tex]\lim_n \nu(A_n)=0[/tex] zaključujemo da je, posebno, za dovoljno velike n-ove [tex]\nu(A_n)<1[/tex], što povlači da je [tex]\min\{\frac{\delta_n}{2},1\}\leq\nu(A_n)<1[/tex], tj. [tex]\min\{\frac{\delta_n}{2},1\}=\frac{\delta_n}{2}[/tex], dakle za dovoljno velike n je [tex]\nu(A_n)\geq\frac{\delta_n}{2}\geq 0[/tex] pa iz [tex]\lim_n \nu(A_n)=0[/tex] slijedi [tex]\lim_n \frac{\delta_n}{2}=0[/tex], tj. [tex]\lim_n \delta_n=0[/tex].
Eto, toliko čudnovatih detalja u dokazu samo zbog jedne možda-beskonačnosti! :shock:
Ako je [tex]\delta_1\in\mathbb{R}[/tex], onda po definiciji supremuma vrijedi da [dtex]\forall\epsilon >0\quad \exists a\in X \quad\delta_1-\epsilon\leq a\leq\delta_1,[/dtex]
gdje je [tex]X=\{\nu(E):E\in\mathcal{F},\,E\subseteq A\}[/tex] pa, ako uzmemo [tex]\epsilon=\frac{\delta_1}{2}[/tex], dobivamo postojanje skupa [tex]A_1\in\mathcal{F}[/tex] t. d. [tex] \nu(A_1)\geq\frac{\delta_1}{2}[/tex].
Ali ista tvrdnja ne vrijedi ako je [tex]\delta_1=+\infty[/tex] (tvrdili bismo da skup sa supremumom [tex]+\infty[/tex] nužno sadrži element [tex]\geq+\infty[/tex], što očito nije istina). Ali, znamo da u tom slučaju sigurno postoji neki element skupa X veći ili jednak od 1.
Dakle, bio [tex]\delta_1[/tex] realan broj ili [tex]+\infty[/tex], možemo tvrditi da postoji element skupa X koji je [tex]\geq\min\{\frac{\delta_1}{2},1\}[/tex], tj. da postoji skup [tex]A_1\in\mathcal{F}[/tex] t. d. [tex] \nu(A_1)\geq\min\{\frac{\delta_1}{2},1\}[/tex].
Kasnije u dokazu onda iz činjenice da je [tex]\lim_n \nu(A_n)=0[/tex] zaključujemo da je, posebno, za dovoljno velike n-ove [tex]\nu(A_n)<1[/tex], što povlači da je [tex]\min\{\frac{\delta_n}{2},1\}\leq\nu(A_n)<1[/tex], tj. [tex]\min\{\frac{\delta_n}{2},1\}=\frac{\delta_n}{2}[/tex], dakle za dovoljno velike n je [tex]\nu(A_n)\geq\frac{\delta_n}{2}\geq 0[/tex] pa iz [tex]\lim_n \nu(A_n)=0[/tex] slijedi [tex]\lim_n \frac{\delta_n}{2}=0[/tex], tj. [tex]\lim_n \delta_n=0[/tex].
Eto, toliko čudnovatih detalja u dokazu samo zbog jedne možda-beskonačnosti! 
|
