Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Gost
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 11:25 ned, 2. 4. 2006 Naslov: Re: par pitanja iz usmenog |
|
|
[quote]tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??
[/quote]
f(a)+tp^j*f'(a) su prva dva clana u razvoju. Ostali clanovi su djeljivi sa
p^(2j), a jer je 2j >= j+1, djeljivi su i sa p^(j+1). Dakle, ti clanovi su
== 0 (mod p^(j+1)).
[quote]
tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu-> ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi?[/quote]
Pretpostavka je da je trojka primitivna, sto znaci da su x i z relativno prosti. Kad bi a i b imali neki zajednicki faktor (> 1), onda bi taj faktor dijelio i njihov zboj (sto je z) i njihovu razliku (sto je x), pa x i z ne bi bili relativno prosti. Zato je (a,b)=1.
[quote]
möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)? [/quote]
Po svojstvu funkcije v (tj. ni) (dokazano prije Primjera 5.1), v(n)=0 za n>1, v(1)=1. Tako da su u toj zadnjoj sumi svi pribrojnici jednaki 0, osim pribrojnika u kojem se javlja v(1). A to je pribrojnik koji se dobije za d'=n, tj. pribrojnik f(n)*v(1)=f(n).
Citat: | tm. 2.16 henselova lema
f(a+tp^j) razvijemo Taylorov polinom i sad kaže da se
f(a+tp^j)==f(a)+tp^j*f'(a)(mod p^(j+1)) dobije iz tog razvoja. kak??
|
f(a)+tp^j*f'(a) su prva dva clana u razvoju. Ostali clanovi su djeljivi sa
p^(2j), a jer je 2j >= j+1, djeljivi su i sa p^(j+1). Dakle, ti clanovi su
== 0 (mod p^(j+1)).
Citat: |
tm 7.3 pitagorine trojke
u dokazu→ ... z=a+b, x=a-b zaključujemo da je (a,b)=1 po čemu se to vidi? |
Pretpostavka je da je trojka primitivna, sto znaci da su x i z relativno prosti. Kad bi a i b imali neki zajednicki faktor (> 1), onda bi taj faktor dijelio i njihov zboj (sto je z) i njihovu razliku (sto je x), pa x i z ne bi bili relativno prosti. Zato je (a,b)=1.
Citat: |
möbiusova inverzija :kad se raspisuje dokaz, zašto je zadnja suma jednaka f(n)? |
Po svojstvu funkcije v (tj. ni) (dokazano prije Primjera 5.1), v(n)=0 za n>1, v(1)=1. Tako da su u toj zadnjoj sumi svi pribrojnici jednaki 0, osim pribrojnika u kojem se javlja v(1). A to je pribrojnik koji se dobije za d'=n, tj. pribrojnik f(n)*v(1)=f(n).
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 14:17 ned, 2. 4. 2006 Naslov: |
|
|
[quote]e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?
[/quote]
Ovako kako pise u pitanju i jest malo cudno.
No, i jednu i drugu sumu treba gledati kao dvostruku sumu, tj. sumu po dva parametra: d i d'. Dakle, u stvari se sumira po svim po svim parovima (d,d') za koje vrijedi da d*d' dijeli n. I sad se ta dvostruka suma prikaze na dva nacina:
1. nacin: fiksira se d (takav da d|n), pa se onda odredi uvjet na d' (a to je da d' | n/d);
2. nacin: fiksira se d' (takav da d'|n), pa se onda odredi uvjet na d (a to je da d | n/d').
Tako se dobije jednakost onih dvaju suma iz pitanja.
Citat: | e a kod te mobiusove, one sume:
sum_ mi(d)[po d|n] prelazi u sum_mi(d)[po d| n/d'] ??zašto?
|
Ovako kako pise u pitanju i jest malo cudno.
No, i jednu i drugu sumu treba gledati kao dvostruku sumu, tj. sumu po dva parametra: d i d'. Dakle, u stvari se sumira po svim po svim parovima (d,d') za koje vrijedi da d*d' dijeli n. I sad se ta dvostruka suma prikaze na dva nacina:
1. nacin: fiksira se d (takav da d|n), pa se onda odredi uvjet na d' (a to je da d' | n/d);
2. nacin: fiksira se d' (takav da d'|n), pa se onda odredi uvjet na d (a to je da d | n/d').
Tako se dobije jednakost onih dvaju suma iz pitanja.
|
|
[Vrh] |
|
e_caduc Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 03. 2006. (18:23:55) Postovi: (A)16
|
Postano: 13:02 pon, 3. 4. 2006 Naslov: |
|
|
Jos par pitanja, pa ako se nekom da... :)
- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?
- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?
- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?
- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?
hvala puno!
Jos par pitanja, pa ako se nekom da...
- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?
- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?
- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?
- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?
hvala puno!
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 13:46 pon, 3. 4. 2006 Naslov: |
|
|
[quote="e_caduc"]
- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?
[/quote]
Po Propoziciji 2.8 red d dijeli fi(p).
[quote="e_caduc"]
- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?
[/quote]
Po definiciji je kvadratni ostatak kongruentan kvadratu nekog broja relativno prostog s p, pa je kongruentan kvadratu nekog broja iz (bilo kojeg) reduciranog sustava ostataka modulo p. A ono gore je jedan takav sustav.
[quote="e_caduc"]
- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?
[/quote]
Imamo: x==x' (mod l), y==y' (mod l), z==z' (mod l), w==w' (mod l),
pa je n==x^2+y^2+z^2+w^2 = lp == 0 (mod l).
[quote="e_caduc"]
- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?
[/quote]
Znamo da postoje nekakvi p i q sa svojstvom iz Teorema 6.1. Ako ti p i q nisu relativno prosti, onda ih podijelimo s njihovim najvecim zajednicjim djeliteljem. Tako cemo dobiti brojeve p' i q' koji jesu relativno prosti i koji imaju svojstvo iz Teorema 6.1 (ovo zadnje se (nadam se) lako vidi).
e_caduc (napisa): |
- primitivni korijeni modulo p; sto tocno znaci da svaki od brojeva 1, 2, ..., p-1 pripada modulo p nekom eksponentu od d, koji je djelitelj od p-1=fi(p)?
|
Po Propoziciji 2.8 red d dijeli fi(p).
e_caduc (napisa): |
- teorem 3.1.; kako znamo da je svaki kvadratni ostarak modulo p kongruentan kvadratu nekog od brojeva -(p-1)/2, ..., -1, 1, ..., (p-1)/2?
|
Po definiciji je kvadratni ostatak kongruentan kvadratu nekog broja relativno prostog s p, pa je kongruentan kvadratu nekog broja iz (bilo kojeg) reduciranog sustava ostataka modulo p. A ono gore je jedan takav sustav.
e_caduc (napisa): |
- u dokazu teorema o cetiri kvadrata, zasto je n==0(mod l)?
|
Imamo: x==x' (mod l), y==y' (mod l), z==z' (mod l), w==w' (mod l),
pa je n==x^2+y^2+z^2+w^2 = lp == 0 (mod l).
e_caduc (napisa): |
- korolar 6.2; pise da 'teorem 6.1 ocito vrijedi ako zahtijevamo da su p i q relativno prosti'. kako znamo da postoje takvi relativno prosti p i q?
|
Znamo da postoje nekakvi p i q sa svojstvom iz Teorema 6.1. Ako ti p i q nisu relativno prosti, onda ih podijelimo s njihovim najvecim zajednicjim djeliteljem. Tako cemo dobiti brojeve p' i q' koji jesu relativno prosti i koji imaju svojstvo iz Teorema 6.1 (ovo zadnje se (nadam se) lako vidi).
|
|
[Vrh] |
|
e_caduc Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 03. 2006. (18:23:55) Postovi: (A)16
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 19:38 pon, 3. 4. 2006 Naslov: |
|
|
[quote="e_caduc"]U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)?[/quote]
Vrijedi x == y (mod m_i) za i=1,2,..,r. To znaci da je y-x djeljivo sa m_1,m_2,...,m_r, pa je djeljivo i sa njihovim najmanjim zajednickim visekratnikom. No, brojevi m_1,m_2,...,m_r su u parovima relativno prosti, pa im je NZV jednak m_1*m_2*...*m_r = m. Dakle, y-x je djeljivo sa m, a to znaci da je x == y (mod m).
e_caduc (napisa): | U kineskom teoremu o ostacima, ako je x rjesenje sustava, zasto je svako drugo rjesenje y, x==y(mod m)? |
Vrijedi x == y (mod m_i) za i=1,2,..,r. To znaci da je y-x djeljivo sa m_1,m_2,...,m_r, pa je djeljivo i sa njihovim najmanjim zajednickim visekratnikom. No, brojevi m_1,m_2,...,m_r su u parovima relativno prosti, pa im je NZV jednak m_1*m_2*...*m_r = m. Dakle, y-x je djeljivo sa m, a to znaci da je x == y (mod m).
|
|
[Vrh] |
|
e_caduc Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 03. 2006. (18:23:55) Postovi: (A)16
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
menschen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2004. (00:14:25) Postovi: (38)16
Spol:
|
Postano: 1:09 sri, 14. 2. 2007 Naslov: |
|
|
Imam i ja par nejasnoća ako može... :)
Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?
U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?
Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p) primitivnoh korjena modulo p, označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d, i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1. Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena? Nekak mi nije baš uopće jasan taj dokaz... :oops:
Imam i ja par nejasnoća ako može...
Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?
U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?
Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p) primitivnoh korjena modulo p, označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d, i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1. Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena? Nekak mi nije baš uopće jasan taj dokaz...
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
Postano: 7:33 sri, 14. 2. 2007 Naslov: |
|
|
[quote="menschen"]
Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn
slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?
[/quote]
Brojeva oblika an+bm ima koliko i uređenih parova (a,b), a to je fi(m)*fi(n).
S druge strane, u reduciranom sustavu ostataka modulo mn ima fi(mn) brojeva.
[quote="menschen"]
U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?
[/quote]
Broj i je relativno prost s modulom p, pa kongruncija i*j==1 (mod p)
(u kojoj j shvatimo kao nepoznanicu) ima tocno jedno rjesenje.
[quote="menschen"]
Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p-1) primitivnoh korjena modulo p,
označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d,
i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1.
Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena?
[/quote]
Svaki broj u nizu 1,2,...,p-1 pripada tocno jednom eksponentu d, i pokazali smo ranije da d|p-1.
Zato je suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) jednaka broju elemenata skupa {1,2,...,p-1},
a to je p-1.
Ako pokazemo da psi(d)=fi(d) za svaki d, onda je posebno i
psi(p-1)=fi(p-1), a psi(p-1) je upravo broj primitivnih korijena,
jer su po definiciji primitivni korijeni upravo oni brojevi koji
pripadaju eksponentu p-1.
menschen (napisa): |
Kad dokazujemo da je fi multiplikativna funkcija, kako iz tvrdnje da an+bm prolaze reduciranim sustavom ostataka modulo mn
slijedi da je fi(m)*fi(n)=fi(mn)?
|
Brojeva oblika an+bm ima koliko i uređenih parova (a,b), a to je fi(m)*fi(n).
S druge strane, u reduciranom sustavu ostataka modulo mn ima fi(mn) brojeva.
menschen (napisa): |
U dokazu Wilsonovog Teorema smo grupirali brojeve {2,3,...,p-2} u parove (i,j) takve da je i*j==1 (mod p). Zašto to možemo?
|
Broj i je relativno prost s modulom p, pa kongruncija i*j==1 (mod p)
(u kojoj j shvatimo kao nepoznanicu) ima tocno jedno rjesenje.
menschen (napisa): |
Kad dokazujemo da za prosti broj p postoji fi(p-1) primitivnoh korjena modulo p,
označili smo sa psi(d) broj brojeva u nizu 1,2,...,p-1 koji pripadaju nekom eksponentu d,
i suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) je jednaka p-1.
Kak to i zašto, i zašto točno iz psi(d)=fi(d) slijedi da postoji fi(p-1) primitivnih korjena?
|
Svaki broj u nizu 1,2,...,p-1 pripada tocno jednom eksponentu d, i pokazali smo ranije da d|p-1.
Zato je suma po djeliteljima d od p-1, od psi(d) jednaka broju elemenata skupa {1,2,...,p-1},
a to je p-1.
Ako pokazemo da psi(d)=fi(d) za svaki d, onda je posebno i
psi(p-1)=fi(p-1), a psi(p-1) je upravo broj primitivnih korijena,
jer su po definiciji primitivni korijeni upravo oni brojevi koji
pripadaju eksponentu p-1.
|
|
[Vrh] |
|
menschen Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 02. 2004. (00:14:25) Postovi: (38)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Gost
|
|
[Vrh] |
|
duje Forumaš(ica)
Pridružen/a: 07. 11. 2002. (12:21:31) Postovi: (55C)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
Postano: 23:07 pet, 16. 2. 2007 Naslov: |
|
|
Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?
Jedno pitanje u vezi Teorema 4.5
Uzmimo da je nasa forma oblika f(x,y)=2x*x+108y*y tada je ocito reducirana pozitivno definitna kvadratna forma.
U teoremu se tvrdi da su najmanje vrijednosti koje svaka reducirana pa i ova forma moze primiti a=2, c=108, a-abs(b)+c=110 i to u tom redoslijedu, ali ocito je da su najmanje vrijednoti koje ova forma prima 2,8,18 i to za (1,0), (2,0), (3,0) Misim da se teorem mora nekako drugacije dokazati... Kako?
|
|
[Vrh] |
|
Braslav Forumaš(ica)
Pridružen/a: 18. 10. 2005. (19:47:44) Postovi: (ED)16
Spol:
|
|
[Vrh] |
|
|