Vandermondeova determinanta (objasnjenje gradiva)

[Masiela]

Nije mi jasno kako dobijem zadnji red - ovaj član aj-a1.

Ja bi u ovoj determinanti u predzanjem redu (analogno onome što smo napravili početnoj determinanti) svaki redak množila s -a2 i dodavala donjem pa bi u toj zagradi dolje u biti dobila aj-a2.
Jesam li krivo prepisala ili mi nije jasno?

_________________
mladac: e.k.s. je možda 8%, moje znanje ni toliko

[Novi]

Da, da.... krivo si prepisala. Ide (aj- a2) (j € 3..n). Naime kad bi tu bilo jedan onda bi se ponavljali clanovi iz onog prethodnog umnoska (ai-a1) (i€2..n). npr (a5-a1) bi se javljalo u oba umnoska, a u rjesenju nema niti jedna zagrada na kvadrat..... pa da zaključim, greska u prijepisu

[Masiela]

Hvala

Na vježbama mi je bilo čudno kako se u konačnici dobije da je svaki član umnoška oblika ai-aj kad mi je svugdje a(neki indeks)-a1, ali sam računala da ću valjda uvidjeti ako malo raspišem

_________________
mladac: e.k.s. je možda 8%, moje znanje ni toliko

[13_mac]

Rjesenje od prosle godine, a nadam se da se vandermonde-ova det. nije od tad mijenjala
(veliko pi=umnozak) (aj-ai)
gdje i€1,2,...,n
gdje j€i+1,...,n

_________________
Đante tanda fandiga?

[Zenon]

Evo, neka stoji:
[dtex]V(x_0,x_1,\ldots ,x_n)=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
x_0 & x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n\\
x_0^2 & x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_{n-1}^2 & x_n^2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_0^{n-1} & x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_{n-1}^{n-1} & x_n^{n-1}\\
x_0^n & x_1^n & x_2^n & \ldots & x_{n-1}^n & x_n^n\\
\end{vmatrix}=[/dtex]
[dtex]=\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
x_0 & x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n\\
x_0^2 & x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_{n-1}^2 & x_n^2\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_0^{n-1} & x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_{n-1}^{n-1} & x_n^{n-1}\\
0 & x_1^{n-1}(x_1-x_0) & x_2^{n-1}(x_2-x_0) & \ldots & x_{n-1}^{n-1}(x_{n-1}-x_0) & x_n^{n-1}(x_n-x_0)\\
\end{vmatrix}=[/dtex]
[dtex]=\dots=
\begin{vmatrix}
1 & 1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
0 & x_1-x_0 & x_2-x_0 & \ldots & x_{n-1}-x_0 & x_n-x_0\\
0 & x_1(x_1-x_0) & x_2(x_2-x_0) & \ldots & x_{n-1}(x_{n-1}-x_0) & x_n(x_n-x_0)\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & x_1^{n-2}(x_1-x_0) & x_2^{n-2}(x_2-x_0) & \ldots & x_{n-1}^{n-2}(x_{n-1}-x_0) & x_n^{n-2}(x_n-x_0)\\
0 & x_1^{n-1}(x_1-x_0) & x_2^{n-1}(x_2-x_0) & \ldots & x_{n-1}^{n-1}(x_{n-1}-x_0) & x_n^{n-1}(x_n-x_0)\\
\end{vmatrix}
[/dtex]

Sada napravimo Laplaceov razvoj po prvom stupcu, a zatim iz svakog stupca izlučimo [tex]x_i-x_0, \ i=1,\ldots ,n[/tex]. Dobijemo
[dtex]\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\begin{vmatrix}
1 & 1 & \ldots & 1 & 1\\
x_1 & x_2 & \ldots & x_{n-1} & x_n\\
x_1^2 & x_2^2 & \ldots & x_{n-1}^2 & x_n^2\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\
x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \ldots & x_{n-1}^{n-1} & x_n^{n-1}\\
x_1^n & x_2^n & \ldots & x_{n-1}^n & x_n^n\\
\end{vmatrix}=\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\cdot V(x_1,\ldots ,x_n)[/dtex]

Dakle, [tex]V(x_0,x_1,\ldots ,x_n)=\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\cdot V(x_1,\ldots ,x_n)[/tex]. Iteriramo:
[dtex]\begin{array}{ccl}
V(x_0,x_1,\ldots ,x_n) & = & \displaystyle\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\cdot V(x_1,\ldots ,x_n)\\
& = & \displaystyle\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\prod_{i=2}^n (x_i-x_1)\cdot V(x_2,\ldots ,x_n)\\
& \vdots & \\
& = & \displaystyle\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\prod_{i=2}^n (x_i-x_1)\cdots\prod_{i=n-1}^n (x_i-x_{n-2})\cdot V(x_{n-1},x_n)\\
& = & \displaystyle\prod_{i=1}^n (x_i-x_0)\prod_{i=2}^n (x_i-x_1)\cdots\prod_{i=n-1}^n (x_i-x_{n-2})\prod_{i=n}^n (x_i-x_{n-1})\cdot V(x_n)
\end{array}[/dtex]
Primijetimo [tex]V(x_n)=\vert 1\vert=1[/tex].
Na kraju dobijemo
[dtex]V(x_0,x_1,\ldots ,x_n)=\prod_{i<j}(x_j-x_i), \ j=0,\ldots ,n.[/dtex]

_________________
It's a wonderful, wonderful life!
[tex]\heartsuit \ \mathcal{PMF-MO} \ \heartsuit[/tex]
[tex]\mathbb Z\Sigma\mathbb N\emptyset\mathbb N[/tex]