|
Sto se tice restrikcija u smislu matematicke korektnosti...
Pretpostavke L'H-a su:
(1) Brojnik f i nazivnik g su derivabilne funkcije na nekoj okolini tocke c u kojoj se gleda limes. (Ukoliko gledamo jednostrani limes, onda su to jednostrane okoline, npr. (c,c+delta). Takodjer je dozvoljena tocka beskonacno; njene okoline su npr. [a,+besk).)
(2) I g i njena derivacija g' su razlicite od 0 na nekoj okolini tocke c. (Ovaj uvjet treba naprosto da bi oba donja limesa imala smisla.)
(3) lim f(x)/g(x) u tocki c je oblika 0/0 ili beskonacno/beskonacno, tj. lim f(x)=0=lim g(x) ili lim f(x)=besk=lim g(x).
Uvjet (3) je krucijalan i uglavnom se samo njega provjerava jer su (1) i (2) obicno ocigledni.
Dakle, uz gornje uvjete, L'H kaze:
Ako postoji lim f'(x)/g'(x) i jednak je L, onda postoji i limes lim f(x)/g(x) i takodjer je jednak L. (Ovdje se takodjer dozvoljava da L bude + ili - beskonacno.)
Bitno je uociti da je ovo samo implikacija, a ne ekvivalencija (tako da drugi limes moze postojati cak i ako ne postoji prvi.) U zadacima se obicno krene sa:
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) = ...
pri cemu ce egzistencija od lim f'(x)/g'(x) tek biti dokazana iz onoga sto slijedi (obicno je to automatski jer se taj limes naprosto izracuna kao zbroj/razlika/produkt/kvocijent/kompozicija limesa), a egzistencija od lim f(x)/g(x) kao i gornja jednakost su tada posljedice L'H-a.
Sto se tice upotrebe na kolokvijima/pismenima...
Obicno se na MA1 ne dozvoljava ubotreba L'H-a jer racunanje limesa tada postaje krajnje nemastovit posao :) , nego se preferiraju neke vjestine poput dopuni/rastavi/nastimaj kombinirane s dobro poznatim limesima. Osim toga L'H cesto dovodi do vrlo ruzne kopacine.
Sto se tice MA2, upotreba L'H-a je sasvim legalna, pa k'o voli nek' izvoli... :wink:
Sto se tice restrikcija u smislu matematicke korektnosti...
Pretpostavke L'H-a su:
(1) Brojnik f i nazivnik g su derivabilne funkcije na nekoj okolini tocke c u kojoj se gleda limes. (Ukoliko gledamo jednostrani limes, onda su to jednostrane okoline, npr. (c,c+delta). Takodjer je dozvoljena tocka beskonacno; njene okoline su npr. [a,+besk).)
(2) I g i njena derivacija g' su razlicite od 0 na nekoj okolini tocke c. (Ovaj uvjet treba naprosto da bi oba donja limesa imala smisla.)
(3) lim f(x)/g(x) u tocki c je oblika 0/0 ili beskonacno/beskonacno, tj. lim f(x)=0=lim g(x) ili lim f(x)=besk=lim g(x).
Uvjet (3) je krucijalan i uglavnom se samo njega provjerava jer su (1) i (2) obicno ocigledni.
Dakle, uz gornje uvjete, L'H kaze:
Ako postoji lim f'(x)/g'(x) i jednak je L, onda postoji i limes lim f(x)/g(x) i takodjer je jednak L. (Ovdje se takodjer dozvoljava da L bude + ili - beskonacno.)
Bitno je uociti da je ovo samo implikacija, a ne ekvivalencija (tako da drugi limes moze postojati cak i ako ne postoji prvi.) U zadacima se obicno krene sa:
lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) = ...
pri cemu ce egzistencija od lim f'(x)/g'(x) tek biti dokazana iz onoga sto slijedi (obicno je to automatski jer se taj limes naprosto izracuna kao zbroj/razlika/produkt/kvocijent/kompozicija limesa), a egzistencija od lim f(x)/g(x) kao i gornja jednakost su tada posljedice L'H-a.
Sto se tice upotrebe na kolokvijima/pismenima...
Obicno se na MA1 ne dozvoljava ubotreba L'H-a jer racunanje limesa tada postaje krajnje nemastovit posao  , nego se preferiraju neke vjestine poput dopuni/rastavi/nastimaj kombinirane s dobro poznatim limesima. Osim toga L'H cesto dovodi do vrlo ruzne kopacine.
Sto se tice MA2, upotreba L'H-a je sasvim legalna, pa k'o voli nek' izvoli... 
|
