INTRAF 2. dio - skripta (objasnjenje gradiva)

[kosani]

Imam nekoliko pitanja vezano za drugio dio gradiva iz skripte (glatki putevi pa nadalje)

1) Glatki Putevi (str 32) Teorem 14.9.
Zašto vrijedi ta jednakost: [tex] \int_a^b f ( \beta ( \varphi (t))) \| \beta'( \varphi (t) ) \varphi '(t) \| dt = \int_a^b f ( \beta ( \varphi (t) ) ) \| \beta'( \varphi (t)) \| \varphi '(t) dt[/tex]
Kako možemo samo tako 'izvaditi' [tex] \varphi '(t)[/tex] izvan norme?

2) Greenov teorem (str 41) Definicija 17.1 3o
Zašto tu i još na nekim mjestima (Definicija 17.14) definiramo diferencijalnu 1-formu na na nekom širem skupu U koji sadrži sliku po dijelovima glatkog puta. Šta nedostaje da definiramo dif. 1-formu odmah na slici od puta?

3) Greenov teorem (str 45) Definicija 17.14
osim što vrijedi isto pitanje kao i gore, zašto smo rekli da je [tex]D \subset \mathbb{R}^{2} [/tex] tj. zašto smo stali na [tex]\mathbb{R}^{2}[/tex], u generalizaciji ćelija smo rekli da je k-ćeija skup [tex]D \subset \mathbb{R}^{n} [/tex]

4) Greenov teorem (str 43) Primjer 17.20
Zašto radimo dekompoziciju trokuta uopće? Šta nije trokut već odmah 2-ćelija bez ikakvih rastava na više područja?

5) Multilinearne funkcije (str 49) Teorem 18.1
Kolko sam ja skužio svaki M možemo prikazati kao linearnu kombinaciju [tex]dx_{I} [/tex]. Buni me što su "koeficijenti" uz [tex]dx_{I} [/tex] zaprao neke druge k-multilinearne funkcije. Kad smo već kod toga, što je zapravo [tex]M( e^{ i_{1} } ,...,e^{ i_{k} } )[/tex]? ja sam to shvatio kao neke bazne alternirajuće k-multilinerne funkcije, al onda mi je logično da su te funkcije elementi baze, a da su [tex]dx_{I} [/tex] koeficijenti, jer kada djelujemo konkretnim vektorom na M dobijemo baš linearnu kombinaciju tih 'baznih' alt. k-multilinearnih funkcija. Jel bi mogao netko ovo stvarno pojsanit?

6) Isto kao i gore samo dokaz
muči me redak [tex]=(-1) ^{ \sigma (per)} M(......[/tex] tj. otkud dobijem otaj (-1). Jasno mi je da to dolazi iz [tex]dx_{per(J)}(e^{j_{1} },...e^{j_{k} })[/tex] gdje se 'poubijaju' članovi kada [tex]I \neq J[/tex], kao što piše na stranici lijevo, ali zašto nije to = 1?

7) Multilinearne funkcije (str 50) Teorem 18.3
Zašto transponiramo matricu A? Mislio sam da je BC samo det(AB)=det(A)det(B)

8 ) Isto kao i gore samo dokaz
Fiksiramo A, ali di on nestane tu kod M(b... ?

9) Površina plohe (str 54) Teorem 16.9
Kako dobijemo: [tex]( \nabla \psi \circ T\nabla T) ^{T} \nabla \psi \circ T \nabla T = \nabla T ^{T} \nabla \psi ^{T} \nabla \psi \nabla T[/tex] te kako dobivamo zadnju jednakost na toj stranici?

Unaprijed hvala

[spot137]

3) Zato jer je Greenov teorem definiran na R^2, a isto to al definirano na R^n se zove Stokesov teorem i to ti je negdje zadnja lekcija

[Phoenix]

Evo, ako dobro razumijem u ovo kasno doba i pod dojmom nakon današnjih algebarskih strukturi...

1. [tex]\varphi[/tex] je funkcija iz [tex]\mathbb{R}[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex] i to takva da je [tex]\varphi '(t)>0[/tex] - pogledaj definiciju 14. 7.

2. Ako sam dobro shvatio, kada bi to išlo tako "direktno" kao što spominješ, ne bi više bilo tako "glatko". Recimo, promatraj rub kvadrata kao neki put od jednog vrha preko četiri stranice natrag u isti vrh. Ide se po glatkom putu pa onda "naglo skretanje" za [tex]90°[/tex] - baš i nije tako "glatko". Razumiješ intuitivno što hoću reći?
A strogo po definiciji, kada bi pokušao definirati točno jedno preslikavanje koje bi predstavljalo gladak put takav da mu je slika rub kvadrata, ne bi uspio jer u tim vrhovima ne bi postojala derivacija puta. Nešto poput poznate realne funkcije realne varijable koja se zove modul, tj. vraća apsolutnu vrijednost realnog broja.

3. Mislim da je to zato što u cijelom poglavlju radimo tako da je domena maksimalno dimenzije [tex]2[/tex], a kodomena maksimalno dimenzije [tex]2[/tex], ako shvaćaš što hoću reći. Bitno da poslije imaš generalizaciju, a i cijelo poglavlje o plohama pa si lagano sve "posložiš" na mjesto.

4. Nije! Na 46. stranici u onom većem paragrafu na početku ti točno piše da trokut nije [tex]2[/tex]-ćelija te da svaka [tex]2[/tex]-ćelija ima točno 4 vrha.

5. Rekao bih da [tex]\alpha_I[/tex] ipak nisu multilinearne funkcije pošto ispod piše da je to zapravo funkcijska vrijednost M u [tex]k[/tex]-torki opisanoj u skripti. Po meni su to koeficijenti, a [tex]dx_I[/tex]-evi elementi baze, ako ćeš tako gledati.

6. Pogledaj u redu prije "komad" koji izgleda ovako: [tex]dx_{per(J)}(e^{j_1},...,e^{j_k})[/tex]. (Usput, čini mi se da je drugo slovo [tex]M[/tex] greškom na tom mjestu.) Po definiciji uzimamo određene retke iz matrice koja je popunjena samo nulama i jedinicama, a kako ih točno uzima i koja je na kraju determinanta, najbolje ćeš shvatiti ako za neke manje brojeve ili barem intuitivno u glavi zamisliš kako nastaje ista matrica i determinanta. Više-manje, determinanta dobivene matrice je stvarno produkt brojeva [tex]-1[/tex] ovisno o broju inverzija, pa stoga i rezultat slijedi.
(Ako te buni [tex]dx_{per(J)}[/tex], to je samo da elementi iz vektora [tex]J[/tex] budu u rastućem poretku, pošto su svi članovi u sumi (red iznad) bili po rastućim [tex]I[/tex]-torkama.)

7. Ovo je poopćeni Binet-Cauchy. A zašto ide transponiranje? Eto, ne može drukčije. Ne znam kako da ti ovo baš objasnim, probaj si uzeti "dovoljno kreativne" matrice, recimo, [tex]2 \times 3[/tex] i [tex]3 \times 2[/tex] pa probaj upotrijebiti formulu takvu da je prvi faktor svakog sumanda [tex]det A_I[/tex], dakle bez transponiranja. Vrlo vjerojatno (ako je dobar primjer) ćeš vidjeti da takvo nešto ne ide. A na sličan način probaš još koji primjer s transponiranim matricama i vidjet ćeš "Hm, ova formula zaista izgleda istinita." A to se da zaključiti iz samog dokaza.

8. Kako misliš, gdje nestaje? Funkcijsko preslikavanje [tex]M[/tex] je definirano uz pomoć matrice [tex]A[/tex], dok je [tex]B[/tex] varijabilan. A iznad toga ti je preko matričnog prikaza pokazano što je fiksirano, a što ne.

9. U toj jednakosti mislim da na desnoj strani nedostaje komponiranje s [tex]T[/tex], barem se meni tako jasnije čini. Odnosno, [tex]( \nabla \psi \circ T\nabla T) ^{T} \nabla \psi \circ T \nabla T = \nabla T ^{T} \nabla \psi ^{T} \circ T \nabla \psi \circ T \nabla T[/tex].
Što ti točno nije jasno u posljednjem redu dokaza? Sve mi se čini kao korištenje svega što je raspisano u posljednjim redovima iznad ovoga, uz činjenicu da koristi i zamjenu varijabli - tako "u sredini reda" nestaje sve što je vezano uz [tex]T[/tex].

Eto! Ja se nadam da sam pomogao barem nekako. Ili, bolje rečeno, da ima smisla ovo što pišem.
Posebno, ako netko misli da sam u krivu s ovim dvijema stvarima što sam proglasio krivim, neka me ispravi jer su i meni ti zapisi u skripti bili malo čudni.
Ako sam totalno u krivu, onda oprosti, umor me već naveliko hvata i moram spavati... Sretno ti s učenjem i s ispitom (a i drugim ispitima)!

[Borgcube]

[ceps]

9. Da, nedostaje komponiranje sa T, kao što se to može vidjeti odmah u sljedećem retku kad piše ovu jednakost pod korijenom i sa determinantom.

Previše je grešaka u ovoj skripti, nekad imam osjećaj da više vremena provodim ''boreći se'' sa greškama, nelogičnim oznakama i ostalim nebitnim stvarima nego zbilja učeći gradivo.

[kosani]

Hvala na pomoći,

još samo jedno kratko pitanje vezano za 8. pitanje (Binet Cauchy)

što označava: [tex]detA( e^{ i_{1} },...,e^{ i_{k} } )[/tex]

[Borgcube]

[kosani]

Ali matrica A nije kvadratna?

[Phoenix]

Ne mora ni biti. Bitno da je kvadratna matrica ona koja je nastala produktom dvije opisane.

[kosani]