|
[b]Zadaci na popravnom kolokviju,
kratka rješenja i neke česte pogreške
[/b]
1. Neka je K = {A = [aij] iz M2(R): a11=a12, a21=a22=0}. Ispitajte
je li K s operacijom uobičajenog množenja matrica grupoid, je li
K asocijativni grupoid s neutralnim elementom te ima li svaki
element od K, različit od O, svoj inverzni element u K.
2. Neka je T podskup R4,
T = {(x1,x2,x3,x4): x1x2x3x4 > 0 (tj. umnožak je
pozitivan)}. Odredite dimenziju potprostora [T]. Nađite neku bazu
tog potprostora koja je sadržana u skupu T. Provjerite da je to
baza i prikažite vektor (0,-1,1,0) u toj bazi.
3. Zadane su matrice A
-1 1 1 1
1 a 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1
i B =
1
a
0
1
Odredite rang matrice A (u zavisnosti od a iz R), izračunajte
inverznu matricu u slučaju kada postoji te riješite sustav
linearnih jednadžbi AX = B (također u zavisnosti od a).
4. Služeći se poznatim svojstvima determinante, pokažite da za
svaku kvadratnu matricu A vrijedi det(A AT) = det(AT A) (pritom
navedite koja svojstva primjenjujete). Na primjeru matrice
B = [bij] iz M32(R), zadane s b_ij = i+j (i=1,2,3; j=1,2) pokažite
da to svojstvo ne vrijedi općenito za nekvadratne matrice, tj.
da može biti det(B BT)≠ det(BT B). (AT - transponirana)
5. (a) Postoji li rješivi nehomogeni sustav od n linearnih jednadžbi
s n+1 nepoznanica? (b) Postoji li nehomogeni sustav od n linearnih
jednadžbi s n-1 nepoznanica, koji ima jedinstveno rješenje?
Obrazložite odgovore.
6. Dokažite da je kvadratna matrica invertibilna ako i samo ako je
njezin rang maksimalan.
Rješenja:
1. K se sastoji od svih matrica oblika
a a
0 0
Izracuna se da je umnožak takvih matrica također matrica
jednakog oblika (jednaki koeficijenti u prvom retku, nule u drugom),
asocijativnost svakako vrijedi pa je to asocijativni grupoid
(polugrupa).
Lako se izračuna da postoji neutralni element, to je
1 1
0 0
i za svaku matricu iz K, različitu od nulmatrice (tj. a nije 0)
inverzni element je matrica koja u prvom retku ima 1/a 1/a.
Dakle, K ima neutralni element i svaki element osim 0 je
invertibilan.
Česte pogreške: pogrešan oblik matrica iz K, uvjerenje da samo
jedinična matrica može biti neutralni element (ali ona uopće nije
u K) te onda da inverzna matrica nije u skupu K. Dakle, ili nije
uopće prepoznat (točno pročitan) oblik matrica iz K ili se ne
uzima u obzir da sva tražena svojstva trebaju biti ostvarena
unutar K.
2. Vektori iz T su takvi da je umnožak koordinata pozitivan,
dakle ili su sve koordinate pozitivne ili sve negativne ili su
neke dvije pozitivne, a preostale dvije negativne. (Ali,
nijedna nije 0 pa vektori kanonske baze ne dolaze u obzir).
Lako se nađe baza od R4 kojoj su svi vektori iz T pa je
[T]= R4.
Npr. u jednom rješenju odabrani su vektori (1,1,1,1), (1,2,1,1),
(1,1,2,1) i (1,1,1,2). Lako se provjeri linearna nezavisnost
i zadani vektor prikaže u toj bazi.
Česte pogreške: neprepoznavanje što uopće znači uvjet
da vektor bude u T, miješanje skalara i vektora, pogrešno
tumačenje da uvjet znači da je umnožak veći od 1 (??) pa
da mora npr. biti x1 > 1/(x2x3x4) i slično.
3. Rang matrice A je 4 osim za a=3, kada je jednak 3.
Za a=3 sustav nema rješenja, za a=4 sustav je Cramerov
i ima jednoznačno rješenje.
Ima dosta točnih rješenja za inverz od A i rješenje Cramerovog
sustava, ili pretežno točnih, uz male računske pogreške.
No, većinom se uopće nije razmatrao slučaj kad sustav nije
Cramerov. U slučajevima težih pogrešaka dobivaju se npr.
različite kritične vrijednosti za a kada rang nije maksimalan i
kada je det A = 0 (što se, dakako, mora podudarati), a da se
ta pogreška uopće ne primijeti.
U nekim radovima "pogađa" se koje bi vrijednosti a možda bile
kritične, umjesto da se to točno izračuna, a za što je
potrebno samo nekoliko elementarnih transformacija.
4. Primjenom Binet-Cauchyjevog teorema i činjenice da
det A = det (AT) lako se dobiva da je det (A AT) = det (AT A)
= (det A)**2.
U primjeru za zadanu B, dobiva se det (B BT) = 0,
a det (BT B) = 6.
Neke pogreške: neobično česte pogreške u množenju
matrica tipa (3,2) i (2,3), zatim komplicirano izračunavanje
determinante reda 2 i reda 3 (bez korištenja elementarnih
transformacija koje bitno olakšavaju račun), uvjerenje da
matrice različitih tipova ne mogu imati jednaku vrijednost
determinante, provjera samo za matrice reda 3 (i to
nedovršena).
5. (a) Postoje rješivi sustavi od n jednadžbi s n+1 nepoznanicom,
dakako, dovoljno bi bilo npr. navesti sustav od 2 jednadžbe
s 3 nepoznanice, takav da je rang matrice sustava 2
(općenito, ako je rang matrice sustava n, onda je sigurno
rješiv sustav, no taj uvjet nije nužan da bi bila ispunjena
jednakost ranga matrice sustava i proširene matrice).
Neke pogreške u zaključivanju: miješanje postojanja
rješenja s jednoznačnosti rješenja; ako je taj sustav
rješiv, onda rješenje nije jednoznačno, ali nije svaki
takav sustav rješiv.
(b) Postoje sustavi od n jednadžbi s n-1 nepoznanica
koji imaju jednoznačno rješenje. Rang matrice sustava
mora biti n-1, a i rang proširene matrice treba biti
n-1. Takav sustav možemo dobiti tako da Cramerovom
sustavu s n-1 nepoznanicom pridodamo još jednu
jednadžbu koja je linearna kombinacija prethodnih.
6. Ako je rang A maksimalan, A je ekvivalentna jediničnoj I
pa postoje regularne R i S takve da je A = R I S = RS pa je
A regularna kao umnožak regularnih.
Ako je A regularna i ekvivalentna kanonskoj Kr, postoje
regularne R i S takve da je Kr = RAS. Tada je Kr regularna
kao umnožak regularnih, nokvadratna kanonska matrica
regularna je ako i samo ako je r=n tj ako je to I
(inače zbog nulretka i nulstupca ne može množenjem s
bilo kojom matricom dati jediničnu).
Zadaci na popravnom kolokviju,
kratka rješenja i neke česte pogreške
1. Neka je K = {A = [aij] iz M2(R): a11=a12, a21=a22=0}. Ispitajte
je li K s operacijom uobičajenog množenja matrica grupoid, je li
K asocijativni grupoid s neutralnim elementom te ima li svaki
element od K, različit od O, svoj inverzni element u K.
2. Neka je T podskup R4,
T = {(x1,x2,x3,x4): x1x2x3x4 > 0 (tj. umnožak je
pozitivan)}. Odredite dimenziju potprostora [T]. Nađite neku bazu
tog potprostora koja je sadržana u skupu T. Provjerite da je to
baza i prikažite vektor (0,-1,1,0) u toj bazi.
3. Zadane su matrice A
-1 1 1 1
1 a 1 1
1 1 -1 1
1 1 1 -1
i B =
1
a
0
1
Odredite rang matrice A (u zavisnosti od a iz R), izračunajte
inverznu matricu u slučaju kada postoji te riješite sustav
linearnih jednadžbi AX = B (također u zavisnosti od a).
4. Služeći se poznatim svojstvima determinante, pokažite da za
svaku kvadratnu matricu A vrijedi det(A AT) = det(AT A) (pritom
navedite koja svojstva primjenjujete). Na primjeru matrice
B = [bij] iz M32(R), zadane s b_ij = i+j (i=1,2,3; j=1,2) pokažite
da to svojstvo ne vrijedi općenito za nekvadratne matrice, tj.
da može biti det(B BT)≠ det(BT B). (AT - transponirana)
5. (a) Postoji li rješivi nehomogeni sustav od n linearnih jednadžbi
s n+1 nepoznanica? (b) Postoji li nehomogeni sustav od n linearnih
jednadžbi s n-1 nepoznanica, koji ima jedinstveno rješenje?
Obrazložite odgovore.
6. Dokažite da je kvadratna matrica invertibilna ako i samo ako je
njezin rang maksimalan.
Rješenja:
1. K se sastoji od svih matrica oblika
a a
0 0
Izracuna se da je umnožak takvih matrica također matrica
jednakog oblika (jednaki koeficijenti u prvom retku, nule u drugom),
asocijativnost svakako vrijedi pa je to asocijativni grupoid
(polugrupa).
Lako se izračuna da postoji neutralni element, to je
1 1
0 0
i za svaku matricu iz K, različitu od nulmatrice (tj. a nije 0)
inverzni element je matrica koja u prvom retku ima 1/a 1/a.
Dakle, K ima neutralni element i svaki element osim 0 je
invertibilan.
Česte pogreške: pogrešan oblik matrica iz K, uvjerenje da samo
jedinična matrica može biti neutralni element (ali ona uopće nije
u K) te onda da inverzna matrica nije u skupu K. Dakle, ili nije
uopće prepoznat (točno pročitan) oblik matrica iz K ili se ne
uzima u obzir da sva tražena svojstva trebaju biti ostvarena
unutar K.
2. Vektori iz T su takvi da je umnožak koordinata pozitivan,
dakle ili su sve koordinate pozitivne ili sve negativne ili su
neke dvije pozitivne, a preostale dvije negativne. (Ali,
nijedna nije 0 pa vektori kanonske baze ne dolaze u obzir).
Lako se nađe baza od R4 kojoj su svi vektori iz T pa je
[T]= R4.
Npr. u jednom rješenju odabrani su vektori (1,1,1,1), (1,2,1,1),
(1,1,2,1) i (1,1,1,2). Lako se provjeri linearna nezavisnost
i zadani vektor prikaže u toj bazi.
Česte pogreške: neprepoznavanje što uopće znači uvjet
da vektor bude u T, miješanje skalara i vektora, pogrešno
tumačenje da uvjet znači da je umnožak veći od 1 (??) pa
da mora npr. biti x1 > 1/(x2x3x4) i slično.
3. Rang matrice A je 4 osim za a=3, kada je jednak 3.
Za a=3 sustav nema rješenja, za a=4 sustav je Cramerov
i ima jednoznačno rješenje.
Ima dosta točnih rješenja za inverz od A i rješenje Cramerovog
sustava, ili pretežno točnih, uz male računske pogreške.
No, većinom se uopće nije razmatrao slučaj kad sustav nije
Cramerov. U slučajevima težih pogrešaka dobivaju se npr.
različite kritične vrijednosti za a kada rang nije maksimalan i
kada je det A = 0 (što se, dakako, mora podudarati), a da se
ta pogreška uopće ne primijeti.
U nekim radovima "pogađa" se koje bi vrijednosti a možda bile
kritične, umjesto da se to točno izračuna, a za što je
potrebno samo nekoliko elementarnih transformacija.
4. Primjenom Binet-Cauchyjevog teorema i činjenice da
det A = det (AT) lako se dobiva da je det (A AT) = det (AT A)
= (det A)**2.
U primjeru za zadanu B, dobiva se det (B BT) = 0,
a det (BT B) = 6.
Neke pogreške: neobično česte pogreške u množenju
matrica tipa (3,2) i (2,3), zatim komplicirano izračunavanje
determinante reda 2 i reda 3 (bez korištenja elementarnih
transformacija koje bitno olakšavaju račun), uvjerenje da
matrice različitih tipova ne mogu imati jednaku vrijednost
determinante, provjera samo za matrice reda 3 (i to
nedovršena).
5. (a) Postoje rješivi sustavi od n jednadžbi s n+1 nepoznanicom,
dakako, dovoljno bi bilo npr. navesti sustav od 2 jednadžbe
s 3 nepoznanice, takav da je rang matrice sustava 2
(općenito, ako je rang matrice sustava n, onda je sigurno
rješiv sustav, no taj uvjet nije nužan da bi bila ispunjena
jednakost ranga matrice sustava i proširene matrice).
Neke pogreške u zaključivanju: miješanje postojanja
rješenja s jednoznačnosti rješenja; ako je taj sustav
rješiv, onda rješenje nije jednoznačno, ali nije svaki
takav sustav rješiv.
(b) Postoje sustavi od n jednadžbi s n-1 nepoznanica
koji imaju jednoznačno rješenje. Rang matrice sustava
mora biti n-1, a i rang proširene matrice treba biti
n-1. Takav sustav možemo dobiti tako da Cramerovom
sustavu s n-1 nepoznanicom pridodamo još jednu
jednadžbu koja je linearna kombinacija prethodnih.
6. Ako je rang A maksimalan, A je ekvivalentna jediničnoj I
pa postoje regularne R i S takve da je A = R I S = RS pa je
A regularna kao umnožak regularnih.
Ako je A regularna i ekvivalentna kanonskoj Kr, postoje
regularne R i S takve da je Kr = RAS. Tada je Kr regularna
kao umnožak regularnih, nokvadratna kanonska matrica
regularna je ako i samo ako je r=n tj ako je to I
(inače zbog nulretka i nulstupca ne može množenjem s
bilo kojom matricom dati jediničnu).
|
