zadatak: podgrupe

[pitanje]

Zna li netko mozda rijesiti ovaj zadatak?

Nađite sve podgrupe reda 5 u grupama S5, S7 i S10.
Treba i dokazati da sigurno nema drugih podgrupa.

[Boris B.]

Podgrupa reda 5 je grupa s 5 elemenata, a takva je samo jedna (do na izomorfizam, naravno): Z/5Z, koja je ciklička grupa, tj. generirana je jednim elementom.
Dakle, podgrupe reda 5 su potpuno određene elementima reda 5 (ali pošto je Z/5Z generirana svim svojim netrivijalnim elementima, jednoj podgrupi odgovaraju četiri različita elementa reda 5), što znači da trebamo tražiti permutacije reda 5.
Svaka se permutacija može napisati kao kompozicija disjunktnih ciklusa, a njen red je nzm redova tih ciklusa, pa su jedine permutacije reda 5 one koje su kompozicije disjunktnih ciklusa reda 5, što znači i da će bit dovoljno riješiti zadatak za S5.

Od ukupno 5! permutacija pet elemenata, 4! su ciklusi reda 5 (ciklus uvijek možemo napisati s npr. 1 na prvom mjestu), pa podgrupa ima 4!/4, a to srećom nije tek slučajno jednako 3!. Naime, različite potencije (modulo 5) uvjek šalju neki fiksni elment u različite elemente (npr. za ciklus (12345) njegova prva potencija šalje 1 u 2, druga 1 u 3, treća 1 u 4, četvrta 1 u 5 i peta 1 u 1), pa je da dobijemo sve različite podgrupe dovoljno uzeti samo cikluse koji šalju 1 u 2:
(12345)
(12354)
(12435)
(12453)
(12534)
(12543).

Za S7 samo treba uzeti i svih 7 povrh 5 odabira pet elemenata za ciklus, a za S10 treba uzeti u obzir i permutacije koje su produkti dva disjunktna ciklusa reda 5.

Evo, nadam se da nisam zbrljao negdje. Ako treba nešt raspisati, reci.

_________________
The lyf so short, the craft so long to lerne

[pitanje]

Super, hvala ti puno!!
Samo kako da zapišem za grupu S7 i S10 njene podgrupe pomoću binomnog koeficijenta i faktorijela jer rješenje je
6 u S5, 126 u S7 i 1229184 u S10.

[Boris B.]

Ova brojka za S10 ne može valjati S10 ima 10! elemenata, što nije ni triput više od 1229184, a različite podgrupe reda 5 imaju različite netrivijalne elemente.

Uglavnom, postupi isto kao za S5: prebroj cikluse, i onda podijeli s 4.
U S7 je to 7povrh5 * 4!/4 = 126, a u S10:
10povrh5 * 4!/4 = 1512 (jedan 5-ciklus)
(dva 5-ciklusa)
(Na 10povrh5 načina izaberemo elemente za prvi ciklus. Od tih pet možemo napraviti ciklus na 4! načina, i na isto toliko načina se može napraviti ciklus od preostalih 5. Podijelimo s dva jer ciklusi komutiraju, a ovako smo parove brojali dvaput, i na kraju s 4 jer je svaka permutacija reda 5 neka potencija još triju drugih.)

Sve skupa je 19656, a i komp mi izbacuje da je to četvrtina broja permutacija reda 5 od deset elemenata.

_________________
The lyf so short, the craft so long to lerne