Dugo ne taknuh Vektorske, pa da probam: :)
1. r(T+I)=2 pa je d(T+I)=n-2, tj. u Jordanovoj formi od T nalaze se n-2 bloka sa svojstvenom vrijednosti -1 na dijagonali; iz toga izvlačimo da se -1 na dijagonali pojavljuje barem n-2 puta. Budući da je 1 u spektru, barem jedno mjesto na dijagonali pripada jedinici.
T+I onda u toj bazi na dijagonali ima bar n-2 nule i bar jednu 2 pa vidimo da je uvjet o tragu zadovoljen samo ako T na dijagonali ima točno n-2 (-1)-ice (i svaka čini poseban blok), jednu 1 i jednu -3 --> radi se o poluprostom operatoru sa spektrom {-3,1,-1} pa je minimalni polinom (x+3)(x+1)(x-1).
2. Iz minimalnog polinoma zaključujemo da se u Jordanovoj formi mora pojaviti bar jedan blok 1x1 sa s.v. 2pi i bar jedan blok 2x2 sa s.v. 0. Pa sad samo zapišeš kako izgleda fja operatora na tim blokovima (ona formula s funkcijskim vrijednostima na dijagonali i derivacijama kroz faktorijele iznad dijagonale) i zaključiš može li operator s takvim prikazom biti regularan.
Kako izgleda spektar, odnosno minimalni polinom, nilpotentnog operatora?
3. Neka je Im P razapeta sa w1, a Im Q sa w2. Tada su w1 i w2 linearno nezavisni. Im(P+Q) je sadržana u Im P + Im Q pa je njena dimenzija <= 2.
Ako su jezgre operatora P i Q različite, onda možemo uzeti x iz Ker P\Ker Q i y iz Ker Q\Ker P. (P+Q)x = nenulnesto*w2, (P+Q)y = nestonenula*w1 --> u Im(P+Q) imamo 2 linearno nezavisna vektora pa je r(P+Q)=2.
Ako su jezgre operatora P i Q jednake, onda Ker(P+Q) sadrži Ker P = Ker Q pa je d(P+Q) >= d(P), tj., po Tmu o rangu i defektu, r(P+Q) <= r(P) = 1. Očito ne može biti < 1 (bilo bi P + Q = 0, tj. P = -Q, pa bi P i Q imali istu sliku), dakle u tom je slučaju r(P+Q) = 1.
4. Slično kao 1. (mislim da rješenje ovdje ovisi o n).
5. Izračunaj spektar i, npr. uočavanjem da je d(A) = 1, d(A^2) = 2, odredi kako izgleda Jordanova forma od A. Onda, kao u 2., zapiši kako u Jordanovoj bazi od A izgledaju dane fje operatora; mislim da se odmah dobiju u Jordanovoj formi. U svakom slučaju, uvijek vrijedi ona: operator je nilpotentan akko mu je spektar {0}.
Dugo ne taknuh Vektorske, pa da probam:
1. r(T+I)=2 pa je d(T+I)=n-2, tj. u Jordanovoj formi od T nalaze se n-2 bloka sa svojstvenom vrijednosti -1 na dijagonali; iz toga izvlačimo da se -1 na dijagonali pojavljuje barem n-2 puta. Budući da je 1 u spektru, barem jedno mjesto na dijagonali pripada jedinici.
T+I onda u toj bazi na dijagonali ima bar n-2 nule i bar jednu 2 pa vidimo da je uvjet o tragu zadovoljen samo ako T na dijagonali ima točno n-2 (-1)-ice (i svaka čini poseban blok), jednu 1 i jednu -3 --> radi se o poluprostom operatoru sa spektrom {-3,1,-1} pa je minimalni polinom (x+3)(x+1)(x-1).
2. Iz minimalnog polinoma zaključujemo da se u Jordanovoj formi mora pojaviti bar jedan blok 1x1 sa s.v. 2pi i bar jedan blok 2x2 sa s.v. 0. Pa sad samo zapišeš kako izgleda fja operatora na tim blokovima (ona formula s funkcijskim vrijednostima na dijagonali i derivacijama kroz faktorijele iznad dijagonale) i zaključiš može li operator s takvim prikazom biti regularan.
Kako izgleda spektar, odnosno minimalni polinom, nilpotentnog operatora?
3. Neka je Im P razapeta sa w1, a Im Q sa w2. Tada su w1 i w2 linearno nezavisni. Im(P+Q) je sadržana u Im P + Im Q pa je njena dimenzija <= 2.
Ako su jezgre operatora P i Q različite, onda možemo uzeti x iz Ker P\Ker Q i y iz Ker Q\Ker P. (P+Q)x = nenulnesto*w2, (P+Q)y = nestonenula*w1 --> u Im(P+Q) imamo 2 linearno nezavisna vektora pa je r(P+Q)=2.
Ako su jezgre operatora P i Q jednake, onda Ker(P+Q) sadrži Ker P = Ker Q pa je d(P+Q) >= d(P), tj., po Tmu o rangu i defektu, r(P+Q) <= r(P) = 1. Očito ne može biti < 1 (bilo bi P + Q = 0, tj. P = -Q, pa bi P i Q imali istu sliku), dakle u tom je slučaju r(P+Q) = 1.
4. Slično kao 1. (mislim da rješenje ovdje ovisi o n).
5. Izračunaj spektar i, npr. uočavanjem da je d(A) = 1, d(A^2) = 2, odredi kako izgleda Jordanova forma od A. Onda, kao u 2., zapiši kako u Jordanovoj bazi od A izgledaju dane fje operatora; mislim da se odmah dobiju u Jordanovoj formi. U svakom slučaju, uvijek vrijedi ona: operator je nilpotentan akko mu je spektar {0}.
|