Podgrupa reda 5 je grupa s 5 elemenata, a takva je samo jedna (do na izomorfizam, naravno): Z/5Z, koja je ciklička grupa, tj. generirana je jednim elementom.
Dakle, podgrupe reda 5 su potpuno određene elementima reda 5 (ali pošto je Z/5Z generirana svim svojim netrivijalnim elementima, jednoj podgrupi odgovaraju četiri različita elementa reda 5), što znači da trebamo tražiti permutacije reda 5.
Svaka se permutacija može napisati kao kompozicija disjunktnih ciklusa, a njen red je nzm redova tih ciklusa, pa su jedine permutacije reda 5 one koje su kompozicije disjunktnih ciklusa reda 5, što znači i da će bit dovoljno riješiti zadatak za S5.
Od ukupno 5! permutacija pet elemenata, 4! su ciklusi reda 5 (ciklus uvijek možemo napisati s npr. 1 na prvom mjestu), pa podgrupa ima 4!/4, a to srećom nije tek slučajno jednako 3!. Naime, različite potencije (modulo 5) uvjek šalju neki fiksni elment u različite elemente (npr. za ciklus (12345) njegova prva potencija šalje 1 u 2, druga 1 u 3, treća 1 u 4, četvrta 1 u 5 i peta 1 u 1), pa je da dobijemo sve različite podgrupe dovoljno uzeti samo cikluse koji šalju 1 u 2:
(12345)
(12354)
(12435)
(12453)
(12534)
(12543).
Za S7 samo treba uzeti i svih 7 povrh 5 odabira pet elemenata za ciklus, a za S10 treba uzeti u obzir i permutacije koje su produkti dva disjunktna ciklusa reda 5.
Evo, nadam se da nisam zbrljao negdje. Ako treba nešt raspisati, reci.
Podgrupa reda 5 je grupa s 5 elemenata, a takva je samo jedna (do na izomorfizam, naravno): Z/5Z, koja je ciklička grupa, tj. generirana je jednim elementom.
Dakle, podgrupe reda 5 su potpuno određene elementima reda 5 (ali pošto je Z/5Z generirana svim svojim netrivijalnim elementima, jednoj podgrupi odgovaraju četiri različita elementa reda 5), što znači da trebamo tražiti permutacije reda 5.
Svaka se permutacija može napisati kao kompozicija disjunktnih ciklusa, a njen red je nzm redova tih ciklusa, pa su jedine permutacije reda 5 one koje su kompozicije disjunktnih ciklusa reda 5, što znači i da će bit dovoljno riješiti zadatak za S5.
Od ukupno 5! permutacija pet elemenata, 4! su ciklusi reda 5 (ciklus uvijek možemo napisati s npr. 1 na prvom mjestu), pa podgrupa ima 4!/4, a to srećom nije tek slučajno jednako 3!. Naime, različite potencije (modulo 5) uvjek šalju neki fiksni elment u različite elemente (npr. za ciklus (12345) njegova prva potencija šalje 1 u 2, druga 1 u 3, treća 1 u 4, četvrta 1 u 5 i peta 1 u 1), pa je da dobijemo sve različite podgrupe dovoljno uzeti samo cikluse koji šalju 1 u 2:
(12345)
(12354)
(12435)
(12453)
(12534)
(12543).
Za S7 samo treba uzeti i svih 7 povrh 5 odabira pet elemenata za ciklus, a za S10 treba uzeti u obzir i permutacije koje su produkti dva disjunktna ciklusa reda 5.
Evo, nadam se da nisam zbrljao negdje. Ako treba nešt raspisati, reci.
_________________ The lyf so short, the craft so long to lerne
|