|
[quote="Miš"]1. Kako mogu odrediti da li su dvije ravnine paralelne ili mimoilazne?[/quote]
Prvo provjerimo da nema presjeka. Zatim odredimo smjerove (tj. vektore koji razapinju smjerove) i usporedimo ih - npr. imamo 2-ravninu smjera [a1,a2] i 3-ravninu smjera [b1,b2,b3] provjerimo da li su vektori a1 i a2 u smjeru druge ravnine, tj. mogu li se izraziti kao linearna kombinacija vektora b1,b2,b3. Ako svi vektori koji razapinju jedan smjer leze u drugom, onda je jedan smjer podskup drugog i ravnine su paralelne.
[quote="Miš"]2. Kako napisati njihovu sumu? Da li se tu gleda da li su im vektori smjerova lin.zavisni/nezavisni? [/quote]
Recimo da se radi o dvije mimosmjerne ravnine.
Iz skupa vektora [a1,...,an,b1,...,bm,AB] gdje se ai vektori smjera prve, a bi druge ravnine, A bilo koja tocka prve i B bilo koja tocka druge ravnine, odaberemo maksimalan nezavisan podskup.
Suma je odredjena npr. tockom A i tim nezavisnim vektorima.
Nezavisnost vektora nam treba recimo da bismo znali dimenziju sume, a i parametarski zapis neke ravnine podrazumijeva da imamo nezavisne vektore.
[quote="Miš"]3. Ako imam npr.vektore w1=[[1,2,3-1],[2,4,3,-2]] i w2=[[1,3,-2,1], kako se radi projekcija vektora w1 na w2? [/quote]
Najprije, W1 i W2 nisu vektori nego smjerovi, vektorski potprostori. A trebamo projekciju po volji odabranog vektora iz W1 na smjer W2. Drugo, mozemo pojednostavniti: W1=[[1,2,0,-1],[0,0,1,0]].
Neka je W1=[a1,a2] i W2=[b], trazimo projekciju vektora v= t1 a1 + t2 a2 (proizvoljni vektor iz W1) na W2. Konkretno, v=[t1, 2 t1, t2, -t1].
Projekcija je vektor iz W2, dakle oblika w=t b=[t, 3t, -2t, t]. Za "poznate" t1 i t2 treba odrediti t, tako da razlika v-w bude okomita na W2 (ravninu na koju projiciramo) - imamo dakle uvjet (t1 a1+t2 a2- t b)* b=0. * oznacava skalarni produkt.
U ovom slucaju to je
( t1 - t ) + 3 ( 2 t1 - 3 t ) - 2 ( t2 + 2 t ) + ( - t1 - t ) = 0,
jedna jednadzba s nepoznanicom t, dakle t mozemo izraziti pomocu parametara t1 i t2. Dalje kod racunanja kuta medju ravninama trazit cemo minimum (odnosno maksimum) po svim realnim t1, t2, to znaci po svim mogucim vektorima v iz W1.
(Opcenito, ako je W2 k-ravnina imat cemo sustav k jednadzbi s k nepoznanica.)
Mea
| Miš (napisa): | | 1. Kako mogu odrediti da li su dvije ravnine paralelne ili mimoilazne? |
Prvo provjerimo da nema presjeka. Zatim odredimo smjerove (tj. vektore koji razapinju smjerove) i usporedimo ih - npr. imamo 2-ravninu smjera [a1,a2] i 3-ravninu smjera [b1,b2,b3] provjerimo da li su vektori a1 i a2 u smjeru druge ravnine, tj. mogu li se izraziti kao linearna kombinacija vektora b1,b2,b3. Ako svi vektori koji razapinju jedan smjer leze u drugom, onda je jedan smjer podskup drugog i ravnine su paralelne.
| Miš (napisa): | | 2. Kako napisati njihovu sumu? Da li se tu gleda da li su im vektori smjerova lin.zavisni/nezavisni? |
Recimo da se radi o dvije mimosmjerne ravnine.
Iz skupa vektora [a1,...,an,b1,...,bm,AB] gdje se ai vektori smjera prve, a bi druge ravnine, A bilo koja tocka prve i B bilo koja tocka druge ravnine, odaberemo maksimalan nezavisan podskup.
Suma je odredjena npr. tockom A i tim nezavisnim vektorima.
Nezavisnost vektora nam treba recimo da bismo znali dimenziju sume, a i parametarski zapis neke ravnine podrazumijeva da imamo nezavisne vektore.
| Miš (napisa): | | 3. Ako imam npr.vektore w1=[[1,2,3-1],[2,4,3,-2]] i w2=[[1,3,-2,1], kako se radi projekcija vektora w1 na w2? |
Najprije, W1 i W2 nisu vektori nego smjerovi, vektorski potprostori. A trebamo projekciju po volji odabranog vektora iz W1 na smjer W2. Drugo, mozemo pojednostavniti: W1=[[1,2,0,-1],[0,0,1,0]].
Neka je W1=[a1,a2] i W2=[b], trazimo projekciju vektora v= t1 a1 + t2 a2 (proizvoljni vektor iz W1) na W2. Konkretno, v=[t1, 2 t1, t2, -t1].
Projekcija je vektor iz W2, dakle oblika w=t b=[t, 3t, -2t, t]. Za "poznate" t1 i t2 treba odrediti t, tako da razlika v-w bude okomita na W2 (ravninu na koju projiciramo) - imamo dakle uvjet (t1 a1+t2 a2- t b)* b=0. * oznacava skalarni produkt.
U ovom slucaju to je
( t1 - t ) + 3 ( 2 t1 - 3 t ) - 2 ( t2 + 2 t ) + ( - t1 - t ) = 0,
jedna jednadzba s nepoznanicom t, dakle t mozemo izraziti pomocu parametara t1 i t2. Dalje kod racunanja kuta medju ravninama trazit cemo minimum (odnosno maksimum) po svim realnim t1, t2, to znaci po svim mogucim vektorima v iz W1.
(Opcenito, ako je W2 k-ravnina imat cemo sustav k jednadzbi s k nepoznanica.)
Mea
|
