teorija (objasnjenje gradiva)

[matematika88888]

odrediti razliku između sljedećih matematičkih objekata df,df(Po),df(Po)(H),ako je diferencijabilna funkcija na
P.S.vazno je napisati gdje svatko od njih "živi"
Neznam što bih ovdje stavila,pa ako netko ima ideju..

Added after 12 minutes:

na praznini ispod potencija treba biti R,neće da mi prihvati latex kod pa se ne vidi....

[Phoenix]

[tex]df : \mathbb{R}^3 \rightarrow L(\mathbb{R}^3, \mathbb{R}^2)[/tex]

[tex]df(P_0) : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^2[/tex] je linearni operator koji predstavlja diferencijal funkcije [tex]f[/tex] u točki [tex]P_0[/tex] te zadovoljava:

[tex]\displaystyle \lim_{H \rightarrow 0} \frac{ \| f(P_0+H)-f(P_0)-df(P_0)(H) \| }{ \| H \| }=0[/tex]

Pošto je riječ o linearnom operatoru iz [tex]3[/tex]-dimenzionalnog u [tex]2[/tex]-dimenzionalni vektorski prostor, on ima i svoj prikaz preko matrice veličine [tex]2 \times 3[/tex]. Ta se matrica naziva Jacobijeva matrica i zapravo je to naš poznati prikaz diferencijala funkcije više varijabli (ili barem ono na što ćemo prvo pomisliti). I da budem skroz precizan, zapis matrice je u paru kanonskih baza od [tex]\mathbb{R}^3[/tex] i [tex]\mathbb{R}^2[/tex], što je, naravno, [tex]\left\{ (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) \right\}[/tex] te [tex]\left\{ (1,0), (0,1) \right\}[/tex]. Dakle, [tex]df(P_0) \in M_{2,3}(\mathbb{R})[/tex]
[tex]df(P_0)(H)[/tex] je vrijednost linearnog operatora [tex]df(P_0)[/tex] u točki [tex]H[/tex]. Naravno, [tex]df(P_0)(H) \in \mathbb{R}^2[/tex].


Za općeniti prikaz svega navedenog:
Recimo da je [tex]f(x,y,z)=(f_1(x,y,z),f_2(x,y,z))[/tex].
Tada je:

[tex]df(x,y,z)=\begin{bmatrix}
\frac{ \partial f_1(x,y,z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_1(x,y,z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_1(x,y,z) }{ \partial z } \\
\frac{ \partial f_2(x,y,z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_2(x,y,z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_2(x,y,z) }{ \partial z } \\
\end{bmatrix}[/tex]

za [tex](x,y,z) \in \mathbb{R}^3[/tex].

Stoga za [tex]P_0=(P_x,P_y,P_z)[/tex] slijedi:

[tex]df(P_0)=\begin{bmatrix}
\frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
\frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
\end{bmatrix}[/tex]

I za [tex]H=(H_x,H_y,H_z)[/tex] slijedi:

[tex]df(P_0)(H)=(
H_x \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } + H_y \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } + H_z \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z },
H_x \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } + H_y \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } + H_z \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z })[/tex]

Ova vrijednost je slična onoj nastala matričnim množenjem vrijednosti i diferencijala:

[tex]\begin{bmatrix}
\frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
\frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } & \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } & \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
H_x \\
H_y \\
H_z \\
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
H_x \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } + H_y \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } + H_z \frac{ \partial f_1(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
H_x \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial x } + H_y \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial y } + H_z \frac{ \partial f_2(P_x,P_y,P_z) }{ \partial z } \\
\end{bmatrix}[/tex]

A da pokažem da ni ovo nije grozomorno kako izgleda, dat ću i jedan primjer.

[tex]f(x,y,z)=(x+y^2+z^3, ze^x+\sin{y}-1)[/tex]

Tada je, po redoslijedu:

[tex]df(x,y,z) = \begin{bmatrix}
1 & 2y & 3z^2 \\
ze^x & \cos{y} & e^x \\
\end{bmatrix}[/tex]

Za [tex]P_0=(1,\frac{\pi}{6},3)[/tex] je:

[tex]df(0,\frac{\pi}{6},3) = \begin{bmatrix}
1 & \frac{\pi}{3} & 27 \\
3e & \frac{1}{2} & e \\
\end{bmatrix}[/tex]

I, konačno, za [tex]H=(-1,0,1)[/tex] slijedi:

[tex]df(0,\frac{\pi}{6},3)(-1,0,1) = (1 \cdot (-1) + \frac{\pi}{3} \cdot 0 + 27 \cdot 1, 3e \cdot (-1) + \frac{1}{2} \cdot 0 + e \cdot 1) = (26, -2e)[/tex]

Toliko ću napisati za sada. Pitaj dalje ako nisam sasvim potkrijepio što se traži od tebe i što ti nije jasno.
Ovo je inače jako dobro pitanje i, ne prouče li se temeljito definicije, lako je pogubiti se (znam jer sam prošao to... ). Dakle, za teoriju i dokaze dobro pripaziti je li riječ o linearnom operatoru, matrici ili čak i vektoru (kada je funkcija koju promatramo realna i skalarna, to jest kodomena joj je [tex]\mathbb{R}[/tex], matrica diferencijala ima samo jedan redak pa se promatra kao vektor - često nazvan i gradijent). Što se tiče zadataka, u principu samo deriviraš po određenoj varijabli što ti je poznato iz analize funkcija jedne varijable.

Za još detalja promotri [tex]11.[/tex] poglavlje skripte s predavanja. Ako kojim slučajem ne znaš za skriptu (nisam siguran pošto postavljaš pitanja koja će se tek za koji mjesec obraditi na našem faksu u sklopu ovog kolegija ), evo i linka na to poglavlje skripte: LINK

P. S. Još moram nadopisati ovo prvo i provjeriti ako opet nisam nešto pogriješio. Ako ti je žurba, zasad pišem samo ovo.

[goranm]

[Phoenix]

Da, mislim da ste u pravu, zanio sam se...
Nastojao sam se fokusirati na ono što se trenutno uči u Difrafu (bolje rečeno, očekivao sam takvo pitanje) pa mi nije palo na pamet razmišljati o diferencijalnim formama.

Hvala na ispravci, sada ću malo prepraviti prvi post da to ljepše izgleda.

P. S. Da, i "nas" (prošla akademska godina, kolegiji Difraf i Intraf) su učili tako.

[matematika88888]

hvala ti,sad sam bolje razumjela sto su zapravo ti pojmovi...Spomenuo si gradijent,ako ti nije problem da mi pomognes oko sljedećeg:
Neka je funkcija dva puta diferencijabilna u .Odgovoriti kratko i precizno koje matematičke objekte predstavljaju sljedeće oznake:gradf(P),df,df(P),

df i df(P) sad znam samo me muče ostala dva...

[goranm]

Izbaci sve $ iz svog latex koda. Tada ce ti se latex ispravno prikazivati.

_________________
The Dude Abides

[matematika88888]

[Phoenix]

Oh, znaš i prije nego sam dovršio post, super! Odlično surađujemo.

[tex]\mathrm{grad} f(P) : \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] je ništa drugo nego - diferencijal funkcije [tex]f[/tex] u točki [tex]P[/tex]. Isto što i [tex]df(P)[/tex]! Tako se naziva samo kada je [tex]f[/tex] skalarna funkcija, vjerujem, da se naglasi da se radi o konkretnom vektoru u [tex]\mathbb{R}^n[/tex] pošto je matrični prikaz dimenzija [tex]1 \times n[/tex] (da budem precizniji, ima korisnih primjena i povoda da se to promatra kao vektor, pa eto).
[tex]d^2f(P_0)(H)(K) \in \mathbb{R}[/tex] je pojam, ne identičan, ali sličan jednom iz prethodnog posta - [tex]df(P_0)(H)[/tex] za vektorsku funkciju [tex]f[/tex] iz mog prijašnjeg posta. Dakle, radi se o drugom diferencijalu funkcije [tex]f[/tex] u konkretnim točkama - u ovom slučaju [tex]H[/tex] i [tex]K[/tex]. Primijeti još da je drugi diferencijal skalarne funkcije zapravo prvi diferencijal funkcije koju interpretiramo preko gradijenta, odnosno funkcije koja, umjesto u [tex]\mathbb{R}[/tex], ide u [tex]\mathbb{R}^n[/tex], stoga će drugi diferencijal imati prikaz preko matrice dimenzija [tex]n \times n[/tex].
(OK, zadnja rečenica je napisana malo "blesavo", ali, nadam se, dovoljno jasno.)


Može primjer?

[tex]f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] zadana sa:

[tex]f(x,y,z)=3e^x-yz+8[/tex]

[tex]df(x,y,z)=\mathrm{grad}f(x,y,z)=(3e^x,-z,-y)[/tex]
(Namjerno vektorski prikaz karakterističan za gradijent.)

[tex]d^2f(x,y,z)=\begin{bmatrix}
3e^x & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0 \\
\end{bmatrix}[/tex]
(Sada već malo previše pišem, ali u jako sam dobrom raspoloženju nakon današnjeg dana (): Hesseova matrica je uvijek simetrična, pa tako i ova! )

A dalje ide ono konkretno uvrštavanje točke kao i prije. Prvo uvrstiš vrijednosti za [tex]x[/tex], [tex]y[/tex] i [tex]z[/tex] pa zatim i preostala dva vektora iz [tex]\mathbb{R}^3[/tex] na standardni način. Baci oko na slični postupak iz prethodnog posta.

[matematika88888]