|
[quote="ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE"]Kvout: :)
[img]http://student.math.hr/~bbozo/chaky.jpg[/img]
Dakle.. Citam ja malo Caklovica skriptu i covjek u kontekstu slabe derivabilnosti spominje oznake L(I) i H(I)[/quote]
Koliko se ja sjećam, L(I) je bio skup integrabilnih funkcijâ na I . Naravno, Čaklovićev integral (ima nekih sličnosti s Lebesgueovim, npr.). :? :)
H(I) je (uz isti disclaimer) skup funkcijâ koje imaju slabu derivaciju na I .
[quote] i spominje nesto sto se zove hilbertov prostor. Pogledam na wikipediu a tamo mi kaze da je to prostor u kojem svaki cauchyev niz konvergira nekom elementu iz tog prostora sa obzirom na normu (kao.. norma razlike clanova niza teze 0).[/quote]
Ono što si vjerojatno propustio primijetiti je da je to _inner product space_ u Wikipedijinoj terminologiji, odnosno _unitaran_ prostor. Dakle, ne samo da ima normu, već ima skalarni produkt, i ta norma izvire iz skalarnog produkta na dobro poznat način ( ||x||:=sqrt( (x|x) ) .
[quote]Nadalje kaze da je (stoga) svaki hilbertov prostor banachov ali ne i obrnuto.[/quote]
Naravno. Da rezimiramo:
Hilbertov prostor je (najčešće beskonačnodimenzionalan, jer konačnodimenzionalni su svi takvi: ) _potpun _unitaran prostor.
Banachov prostor, kao što možda znaš, je _potpun _normiran prostor.
I sad naravno, svaki Hilbertov je Banachov jednako kao što je i svaki unitaran normiran (i kao što je svaki normiran metrički, i kao što je svaki metrički topološki, kad smo već perverzni: ) - dakle, neprecizno. :-o :-)
[quote]Ima netko dokaz toga? Mozda i kontraprimjer?[/quote]
Želi se reći da ako imamo unitaran prostor, na njemu možemo prirodno definirati normu pomoću skalarnog produkta tako da uz tu normu to bude normiran prostor. (Potpunost se, naravno, čuva.) Dokaz je dakle dokaz da ako imamo preslikavanje (|):SxS->|R koje ispunjava aksiome skalarnog produkta, tada preslikavanje || ||:S->|R;x|->sqrt( (x|x) ) ispunjava aksiome norme, što vjerujem da znaš i sam provjeriti ako znaš dotične aksiome. :-)
Kontraprimjer... jednako kao i "kontraprimjer" topološkog prostora koji "nije metrički" (ta naravno da nije metrički kad je topološki: )... zapravo nije _metrizabilan_ (odnosno, nemoguće je na njemu definirati metriku koja bi inducirala njegovu topologiju). Ovdje bi to bili (potpuni) normirani _neunitarizabilni_ prostori, odnosno oni koji imaju normu (i potpuni su u odnosu na nju), ali na kojima je nemoguće definirati skalarni produkt iz kojeg bi izlazila ta norma.
Tu dobro dođe zgodan teorem da norma izvire iz skalarnog produkta _akko_ zadovoljava tzv. relaciju paralelograma: ||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2 (jedan smjer, onaj koji nama treba, lako se provjeri uvrštavajući ||z||^2:=(z|z) i koristeći svojstva skalarnog produkta). Dakle, po kontrapoziciji, ako norma ne zadovoljava relaciju paralelograma, prostor nije unitarizabilan.
So, treba nam Banachov prostor u kojem norma ne zadovoljava relaciju paralelograma. Za takvo nešto uzet ćemo B([0,1],|R) , skup ograničenih funkcijâ :[0,1]->|R , sa sup-normom: ||f||:=sup im(| |of) . Da je to normiran prostor, lako se vidi. Da je Banachov (potpun), slijedi iz teorema da je B(X,Y) potpun ako je Y potpun (|R je potpun, aksiomatski: ). Da sup-norma ne zadovoljava relaciju paralelograma, vidi se npr. uzevši za x identitetu (na [0,1] ), a za y konstantu 1 . Provjeri to sam, trebaš dobiti 5 != 4 . :-)
Etoga.
[quote]I zna li netko sto je covjek mislio pod "kvadraticnom integrabilnoscu" :? ?[/quote]
Vjerojatno to da je kvadrat funkcije integrabilan ( f@L^2 <=> f^2@L ). No kod Čaklovića nikad ne znaš... [:-)]
HTH,
| ZELENIZUBNAPLANETIDOSADE (napisa): | Kvout: 
Dakle.. Citam ja malo Caklovica skriptu i covjek u kontekstu slabe derivabilnosti spominje oznake L(I) i H(I) |
Koliko se ja sjećam, L(I) je bio skup integrabilnih funkcijâ na I . Naravno, Čaklovićev integral (ima nekih sličnosti s Lebesgueovim, npr.). 
H(I) je (uz isti disclaimer) skup funkcijâ koje imaju slabu derivaciju na I .
| Citat: | | i spominje nesto sto se zove hilbertov prostor. Pogledam na wikipediu a tamo mi kaze da je to prostor u kojem svaki cauchyev niz konvergira nekom elementu iz tog prostora sa obzirom na normu (kao.. norma razlike clanova niza teze 0). |
Ono što si vjerojatno propustio primijetiti je da je to _inner product space_ u Wikipedijinoj terminologiji, odnosno _unitaran_ prostor. Dakle, ne samo da ima normu, već ima skalarni produkt, i ta norma izvire iz skalarnog produkta na dobro poznat način ( ||x||:=sqrt( (x|x) ) .
| Citat: | | Nadalje kaze da je (stoga) svaki hilbertov prostor banachov ali ne i obrnuto. |
Naravno. Da rezimiramo:
Hilbertov prostor je (najčešće beskonačnodimenzionalan, jer konačnodimenzionalni su svi takvi: ) _potpun _unitaran prostor.
Banachov prostor, kao što možda znaš, je _potpun _normiran prostor.
I sad naravno, svaki Hilbertov je Banachov jednako kao što je i svaki unitaran normiran (i kao što je svaki normiran metrički, i kao što je svaki metrički topološki, kad smo već perverzni: ) - dakle, neprecizno. 
| Citat: | | Ima netko dokaz toga? Mozda i kontraprimjer? |
Želi se reći da ako imamo unitaran prostor, na njemu možemo prirodno definirati normu pomoću skalarnog produkta tako da uz tu normu to bude normiran prostor. (Potpunost se, naravno, čuva.) Dokaz je dakle dokaz da ako imamo preslikavanje (|):SxS→|R koje ispunjava aksiome skalarnog produkta, tada preslikavanje || ||:S→|R;x|→sqrt( (x|x) ) ispunjava aksiome norme, što vjerujem da znaš i sam provjeriti ako znaš dotične aksiome.
Kontraprimjer... jednako kao i "kontraprimjer" topološkog prostora koji "nije metrički" (ta naravno da nije metrički kad je topološki: )... zapravo nije _metrizabilan_ (odnosno, nemoguće je na njemu definirati metriku koja bi inducirala njegovu topologiju). Ovdje bi to bili (potpuni) normirani _neunitarizabilni_ prostori, odnosno oni koji imaju normu (i potpuni su u odnosu na nju), ali na kojima je nemoguće definirati skalarni produkt iz kojeg bi izlazila ta norma.
Tu dobro dođe zgodan teorem da norma izvire iz skalarnog produkta _akko_ zadovoljava tzv. relaciju paralelograma: ||x+y||^2+||x-y||^2=2||x||^2+2||y||^2 (jedan smjer, onaj koji nama treba, lako se provjeri uvrštavajući ||z||^2:=(z|z) i koristeći svojstva skalarnog produkta). Dakle, po kontrapoziciji, ako norma ne zadovoljava relaciju paralelograma, prostor nije unitarizabilan.
So, treba nam Banachov prostor u kojem norma ne zadovoljava relaciju paralelograma. Za takvo nešto uzet ćemo B([0,1],|R) , skup ograničenih funkcijâ :[0,1]→|R , sa sup-normom: ||f||:=sup im(| |of) . Da je to normiran prostor, lako se vidi. Da je Banachov (potpun), slijedi iz teorema da je B(X,Y) potpun ako je Y potpun (|R je potpun, aksiomatski: ). Da sup-norma ne zadovoljava relaciju paralelograma, vidi se npr. uzevši za x identitetu (na [0,1] ), a za y konstantu 1 . Provjeri to sam, trebaš dobiti 5 != 4 .
Etoga.
| Citat: | | I zna li netko sto je covjek mislio pod "kvadraticnom integrabilnoscu" ? |
Vjerojatno to da je kvadrat funkcije integrabilan ( f@L^2 ⇔ f^2@L ). No kod Čaklovića nikad ne znaš... []
HTH,
|
