|
[tex]1.[/tex] Neka je [tex]f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] zadana s [tex]f(x,y)=|xy|-1[/tex].
Primijetimo da je [tex]f[/tex] neprekidna funkcija - dobivena je kompozicijom neprekidnih funkcija [tex]f_1(x)=x-1[/tex], [tex]f_2(x)=|x|[/tex] te [tex]f_3(x,y)=p_1(x,y)p_2(x,y)[/tex]. Pritom je [tex]f_3[/tex] produkt neprekidnih funkcija [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] koje su zapravo projekcije na koordinatu, a za to je pokazano da su neprekidne funkcije.
Također primijetimo da je [tex]<-\infty,0> \backslash \left\{ -1 \right\}[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}[/tex].
Prema napomeni [tex]6.13[/tex], odnosno prema karakterizaciji neprekidnih funkcija, [tex]f^{-1}(<-\infty,0> \backslash \left\{ -1 \right\})=A[/tex] je otvoren skup, što je i trebalo pokazati.
Prema propoziciji [tex]3.9[/tex], [tex]\mathrm{Int} A = A[/tex].
Pokazat ćemo da je [tex]A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Pošto je [tex]A[/tex] otvoren skup, dovoljno je pokazati [tex]\left\{ |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\} \subset A'[/tex].
Neka je [tex](a,b) \in \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}[/tex]. Nekoliko je slučajeva:
[tex]1[/tex]° [tex]a=b=0[/tex]
Za otvorenu kuglu [tex]K((0,0),r)[/tex] (smijem promatrati otvorenu kuglu za otvorenu okolinu po napomeni [tex]3.19[/tex]) neka je [tex]c := \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex]. Promatramo točku [tex](c,c)[/tex].
Uočimo da je [tex]\sqrt{c^2+c^2} \leq \sqrt{\frac{r^2}{4} \cdot 2} = \frac{r}{\sqrt{2}} < r[/tex] pa je [tex](c,c) \in K((0,0),r)[/tex].
Također, [tex]|c \cdot c| \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} < 1[/tex]. Uz činjenicu da je [tex]c \neq 0[/tex], zaključujemo da je [tex](c,c) \neq (0,0)[/tex] te [tex](c,c) \in A[/tex].
Dakle, [tex](0,0)[/tex] je gomilište skupa [tex]A[/tex].
[tex]2[/tex]° [tex]a \neq 0[/tex], [tex]b = 0[/tex]
Možemo pokazati da, za proizvoljan [tex]r>0[/tex], odnosno kuglu [tex]K((a,0),r)[/tex] i za [tex]c := \min \left\{ \frac{1}{2a}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] vrijedi [tex](a,c) \in K((a,0),r) \cap A[/tex] i [tex](a,c) \neq (a,0)[/tex].
Dakle, točke oblika [tex](a,0)[/tex] su gomilišta skupa [tex]A[/tex].
[tex]3[/tex]° [tex]a=0[/tex], [tex]b \neq 0[/tex]
Sasvim analogno kao u [tex]2[/tex]°, uz zamjenu uloga koordinati.
[tex]4[/tex]° [tex]a \neq 0 \neq b[/tex]
Za [tex]a' := \min \left\{ \frac{a}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] te [tex]b' := \min \left\{ \frac{b}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] vrijedi [tex](a',b') \neq (a,b)[/tex] te [tex](a',b') \in A \cap K((a,b),r)[/tex]. Dakle, [tex](a,b)[/tex] je gomilište skupa.
Konačno, pokazali smo: [tex]A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Prema propoziciji [tex]3.29[/tex], [tex]\bar{A}=A \cup A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Iz zadatka [tex]1.19[/tex] s vježbi, [tex]\partial A \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Iz zadatka [tex]1.18[/tex] s vježbi, [tex]\partial A \supseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Pokažemo li da je [tex]\partial A \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\} = \emptyset[/tex], slijedit će [tex]\partial A \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex], a zatim i [tex]\partial A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Uočimo da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\})[/tex] otvoren skup (pokaže se sasvim analogno kao i s početnim skupom [tex]A[/tex]). Stoga [tex]( \forall (x,y) \in \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\}) (\exists r' >0 )( K((x,y),r') \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\})[/tex]. Jasno, za svaki [tex]0<r \leq r'[/tex] vrijedi [tex]K((x,y),r) \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\} = \emptyset[/tex]. Samim time, nijedan element tog skupa nije gomilište skupa [tex]A[/tex], pa nije element ni zatvarača [tex]A'[/tex], pa ni samog ruba [tex]\partial A[/tex] (po definiciji [tex]3.32[/tex]).
Konačno, prema prethodno navedenom: [tex]\partial A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}[/tex].
[tex]2.[/tex] (a) Uočimo:
[tex]S= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\} \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \frac{1}{1+x^2} \right\}[/tex]. Presjek dva kompaktna skupa je kompaktan (jer je presjek dva zatvorena, odnosno ograničena skupa zatvoren, odnosno ograničen skup).
Neka je [tex](a,b) \in S[/tex]. Iz [tex]b \leq \frac{1}{1+a^2} \leq 1[/tex] te [tex]b \geq \mathrm{ch}(a)-1 \geq 0[/tex] slijedi [tex]b \in \left[ 0,1 \right][/tex]. Sada iz [tex]\mathrm{ch}(a)-1 \leq b \leq 1[/tex] slijedi [tex]\mathrm{ch}(a) \leq 2[/tex], odnosno [tex]a \in \left[ -\mathrm{Arch}(2), \mathrm{Arch}(2) \right][/tex]
Dakle, [tex](a,b) \in \left[ -\mathrm{Arch}(2), \mathrm{Arch}(2) \right] \times \left[ 0,1 \right][/tex], što je zatvoreni pravokutnik, odnosno ograničeni skup.
Formalno, možemo pronaći otvorenu kuglu koja sadrži ovaj pravokutnik. U slučaju da nismo sigurni koliko je [tex]\mathrm{Arch}(2)[/tex] (ali znamo otprilike), možemo uzeti neku "jako veliku" kuglu za koju smo sigurni da sadrži pravokutnik. Recimo, [tex]K((0,0), 1000)[/tex] je dobra.
Dakle, [tex]S \in K((0,0), 1000)[/tex], stoga je [tex]S[/tex] ograničen.
Da je skup [tex]S[/tex] zatvoren, pokazujemo preko svakog od dva skupa na kojeg smo ga razdvojili posebno.
Pokažimo da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\}[/tex] zatvoren. Ako [tex]f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definiramo s [tex]f(x,y)=\mathrm{ch}(x)-1-y[/tex], možemo skup prikazati ovako: [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\} = f^{-1}(\left< -\infty, 0 \right]) = f^{-1}(\mathbb{R} \backslash <0,+\infty>)=f^{-1}(\mathbb{R}) \backslash f^{-1}(<0,+\infty>)[/tex]. Stoga prema prema definiciji [tex]3.11[/tex] dovoljno je pokazati da je [tex]f^{-1}(<0,+\infty>)[/tex] otvoren. To pak slijedi iz činjenice da je [tex]f[/tex] neprekidno preslikavanje te iz već navedene karakterizacije neprekidnih funkcija. Dakle, ovaj skup jest zatvoren.
Analogno se pokaže i da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \frac{1}{1+x^2} \right\}[/tex] zatvoren skup.
Kao presjek dva zatvorena skupa, [tex]S[/tex] je također zatvoren skup.
Konačno, [tex]S[/tex] je ograničen i zatvoren, pa je prema definiciji [tex]5.1[/tex] kompaktan.
(b) Uočimo:
[tex]f(x,y)= \max \left\{ |x|, |y| \right\} - \min \left\{ |x|, |y| \right\} = \left\{ \begin{array}{rcl}
|y|-|x| & \mbox{,} & |y|>|x| \\
|x|-|y| & \mbox{,} & |y| \leq |x| \\
\end{array}\right. = ||y|-|x||
[/tex]
Funkcija [tex]f[/tex] je neprekidna, [tex]S[/tex] je kompaktan pa prema teoremu [tex]7.1[/tex] skup [tex]f(S)[/tex] je također kompaktan.
[tex]1.[/tex] Neka je [tex]f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] zadana s [tex]f(x,y)=|xy|-1[/tex].
Primijetimo da je [tex]f[/tex] neprekidna funkcija - dobivena je kompozicijom neprekidnih funkcija [tex]f_1(x)=x-1[/tex], [tex]f_2(x)=|x|[/tex] te [tex]f_3(x,y)=p_1(x,y)p_2(x,y)[/tex]. Pritom je [tex]f_3[/tex] produkt neprekidnih funkcija [tex]p_1[/tex] i [tex]p_2[/tex] koje su zapravo projekcije na koordinatu, a za to je pokazano da su neprekidne funkcije.
Također primijetimo da je [tex]←\infty,0> \backslash \left\{ -1 \right\}[/tex] otvoren skup u [tex]\mathbb{R}[/tex].
Prema napomeni [tex]6.13[/tex], odnosno prema karakterizaciji neprekidnih funkcija, [tex]f^{-1}(←\infty,0> \backslash \left\{ -1 \right\})=A[/tex] je otvoren skup, što je i trebalo pokazati.
Prema propoziciji [tex]3.9[/tex], [tex]\mathrm{Int} A = A[/tex].
Pokazat ćemo da je [tex]A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Pošto je [tex]A[/tex] otvoren skup, dovoljno je pokazati [tex]\left\{ |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\} \subset A'[/tex].
Neka je [tex](a,b) \in \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}[/tex]. Nekoliko je slučajeva:
[tex]1[/tex]° [tex]a=b=0[/tex]
Za otvorenu kuglu [tex]K((0,0),r)[/tex] (smijem promatrati otvorenu kuglu za otvorenu okolinu po napomeni [tex]3.19[/tex]) neka je [tex]c := \min \left\{ \frac{1}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex]. Promatramo točku [tex](c,c)[/tex].
Uočimo da je [tex]\sqrt{c^2+c^2} \leq \sqrt{\frac{r^2}{4} \cdot 2} = \frac{r}{\sqrt{2}} < r[/tex] pa je [tex](c,c) \in K((0,0),r)[/tex].
Također, [tex]|c \cdot c| \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} < 1[/tex]. Uz činjenicu da je [tex]c \neq 0[/tex], zaključujemo da je [tex](c,c) \neq (0,0)[/tex] te [tex](c,c) \in A[/tex].
Dakle, [tex](0,0)[/tex] je gomilište skupa [tex]A[/tex].
[tex]2[/tex]° [tex]a \neq 0[/tex], [tex]b = 0[/tex]
Možemo pokazati da, za proizvoljan [tex]r>0[/tex], odnosno kuglu [tex]K((a,0),r)[/tex] i za [tex]c := \min \left\{ \frac{1}{2a}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] vrijedi [tex](a,c) \in K((a,0),r) \cap A[/tex] i [tex](a,c) \neq (a,0)[/tex].
Dakle, točke oblika [tex](a,0)[/tex] su gomilišta skupa [tex]A[/tex].
[tex]3[/tex]° [tex]a=0[/tex], [tex]b \neq 0[/tex]
Sasvim analogno kao u [tex]2[/tex]°, uz zamjenu uloga koordinati.
[tex]4[/tex]° [tex]a \neq 0 \neq b[/tex]
Za [tex]a' := \min \left\{ \frac{a}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] te [tex]b' := \min \left\{ \frac{b}{2}, \frac{r}{2} \right\}[/tex] vrijedi [tex](a',b') \neq (a,b)[/tex] te [tex](a',b') \in A \cap K((a,b),r)[/tex]. Dakle, [tex](a,b)[/tex] je gomilište skupa.
Konačno, pokazali smo: [tex]A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Prema propoziciji [tex]3.29[/tex], [tex]\bar{A}=A \cup A' = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \right\}[/tex].
Iz zadatka [tex]1.19[/tex] s vježbi, [tex]\partial A \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \leq 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Iz zadatka [tex]1.18[/tex] s vježbi, [tex]\partial A \supseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Pokažemo li da je [tex]\partial A \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\} = \emptyset[/tex], slijedit će [tex]\partial A \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex], a zatim i [tex]\partial A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| = 1 \vee |xy|=0 \right\}[/tex].
Uočimo da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\})[/tex] otvoren skup (pokaže se sasvim analogno kao i s početnim skupom [tex]A[/tex]). Stoga [tex]( \forall (x,y) \in \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\}) (\exists r' >0 )( K((x,y),r') \subseteq \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\})[/tex]. Jasno, za svaki [tex]0<r \leq r'[/tex] vrijedi [tex]K((x,y),r) \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| > 1\right\} = \emptyset[/tex]. Samim time, nijedan element tog skupa nije gomilište skupa [tex]A[/tex], pa nije element ni zatvarača [tex]A'[/tex], pa ni samog ruba [tex]\partial A[/tex] (po definiciji [tex]3.32[/tex]).
Konačno, prema prethodno navedenom: [tex]\partial A = \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |xy| \in \left\{ 0,1 \right\} \right\}[/tex].
[tex]2.[/tex] (a) Uočimo:
[tex]S= \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\} \cap \left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \frac{1}{1+x^2} \right\}[/tex]. Presjek dva kompaktna skupa je kompaktan (jer je presjek dva zatvorena, odnosno ograničena skupa zatvoren, odnosno ograničen skup).
Neka je [tex](a,b) \in S[/tex]. Iz [tex]b \leq \frac{1}{1+a^2} \leq 1[/tex] te [tex]b \geq \mathrm{ch}(a)-1 \geq 0[/tex] slijedi [tex]b \in \left[ 0,1 \right][/tex]. Sada iz [tex]\mathrm{ch}(a)-1 \leq b \leq 1[/tex] slijedi [tex]\mathrm{ch}(a) \leq 2[/tex], odnosno [tex]a \in \left[ -\mathrm{Arch}(2), \mathrm{Arch}(2) \right][/tex]
Dakle, [tex](a,b) \in \left[ -\mathrm{Arch}(2), \mathrm{Arch}(2) \right] \times \left[ 0,1 \right][/tex], što je zatvoreni pravokutnik, odnosno ograničeni skup.
Formalno, možemo pronaći otvorenu kuglu koja sadrži ovaj pravokutnik. U slučaju da nismo sigurni koliko je [tex]\mathrm{Arch}(2)[/tex] (ali znamo otprilike), možemo uzeti neku "jako veliku" kuglu za koju smo sigurni da sadrži pravokutnik. Recimo, [tex]K((0,0), 1000)[/tex] je dobra.
Dakle, [tex]S \in K((0,0), 1000)[/tex], stoga je [tex]S[/tex] ograničen.
Da je skup [tex]S[/tex] zatvoren, pokazujemo preko svakog od dva skupa na kojeg smo ga razdvojili posebno.
Pokažimo da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\}[/tex] zatvoren. Ako [tex]f : \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}[/tex] definiramo s [tex]f(x,y)=\mathrm{ch}(x)-1-y[/tex], možemo skup prikazati ovako: [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : \mathrm{ch}(x)-1 \leq y \right\} = f^{-1}(\left< -\infty, 0 \right]) = f^{-1}(\mathbb{R} \backslash <0,+\infty>)=f^{-1}(\mathbb{R}) \backslash f^{-1}(<0,+\infty>)[/tex]. Stoga prema prema definiciji [tex]3.11[/tex] dovoljno je pokazati da je [tex]f^{-1}(<0,+\infty>)[/tex] otvoren. To pak slijedi iz činjenice da je [tex]f[/tex] neprekidno preslikavanje te iz već navedene karakterizacije neprekidnih funkcija. Dakle, ovaj skup jest zatvoren.
Analogno se pokaže i da je [tex]\left\{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : y \leq \frac{1}{1+x^2} \right\}[/tex] zatvoren skup.
Kao presjek dva zatvorena skupa, [tex]S[/tex] je također zatvoren skup.
Konačno, [tex]S[/tex] je ograničen i zatvoren, pa je prema definiciji [tex]5.1[/tex] kompaktan.
(b) Uočimo:
[tex]f(x,y)= \max \left\{ |x|, |y| \right\} - \min \left\{ |x|, |y| \right\} = \left\{ \begin{array}{rcl}
|y|-|x| & \mbox{,} & |y|>|x| \\
|x|-|y| & \mbox{,} & |y| \leq |x| \\
\end{array}\right. = ||y|-|x||
[/tex]
Funkcija [tex]f[/tex] je neprekidna, [tex]S[/tex] je kompaktan pa prema teoremu [tex]7.1[/tex] skup [tex]f(S)[/tex] je također kompaktan.
Zadnja promjena: Phoenix; 23:08 pon, 1. 10. 2012; ukupno mijenjano 3 put/a.
|
