zadaća s weba (zadatak)

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/zadaca1.pdf

12. zadatak pod b)
za gomilište sam dobila da je skup {(x,y): x element iz [0,1], y neki realni br}

jel to uredu?

Added after 5 minutes:

c) {(x,0) : x element [0,1]} jel ovo ok?

[Loo]

mislim da je zadatak malo neprecizno zadan, jer ovako ispada da su skupovi pod b) i c) jednaki. odnosno u b) dijelu je okej ako su mislili samo na interval <0,1>U{2} kao skup u R2, ali u c) dijelu uopće ne znamo što je taj y.
možda griješim, ali mislim da je u oba trebalo pisati (x,y) element od R2, a čini mi se da si i ti to tako interpretirala

pazi, pod b) je u skupu gomilišta x element iz [0,1]U{2}, jer budući da y može biti bilo što iz R, ako nacrtaš bilo kakvu kuglu oko neke točke oblika (2,y) sigurno ćeš u njoj zahvatiti još neku točku s pravca x=2, a ta točka je u tom skupu. stoga, su i sve točke oblika (2,y), pri čemu je y iz R, također u skupu gomilišta.

nacrtaj si, puno je jednostavnije tako

[la mer]

Jako me muče zadaci iz te zadaće...Ne znam doći do kraja.
Može li pliz netko lijepo raspisati 2. i 4. zadatak?
Unaprijed hvala !

[Loo]

4. [tex]A\subset B[/tex]
po definiciji interiora znamo da je [tex]IntA\subset A[/tex], pa je i [tex]IntA\subset B[/tex].
[tex]IntA[/tex] je otvoren skup koji je sadržan u [tex]B[/tex], a znamo da je [tex]IntB[/tex] najveći otvoren skup sadržan u [tex]B[/tex]. stoga vrijedi [tex]IntA\subset IntB[/tex]

Added after 25 minutes:

2.
meni se najljepše čini to pokazati ovako:
[tex]S=f^{-1}(←\infty, 0>)[/tex] pri čemu je [tex]f(x,y)=xy-1[/tex].
budući da je [tex]f[/tex] neprekidna, praslika otvorenog skupa [tex]←\infty , 0>[/tex] biti će također otvoren skup.

[sasha.f]

Može netko 8. i 12. d) iz iste zadaće? hvala

[Phoenix]

8. [tex]S \cup \left\{ 0 \right\}[/tex].
12. d) [tex]\mathbb{R} \times ( \left\{ \frac{1}{m} : m \in \mathbb{Z} \backslash \left\{ 0 \right\} \right\} \cup \left\{ 0 \right\})[/tex].

Treba li posebno obrazlagati rješenja? Oba se rješavaju promatrajući gustoće skupova [tex]\mathbb{Z}[/tex] i [tex]\mathbb{Q}[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex], što je poznata ideja. No, ako treba ponoviti...

[sasha.f]

Ne treba, hvala

[pedro]

[Shaman]

[PermutiranoPrase]

Tražila sam, nisam našla. Može uputa kako dokazati / opovrgnuti da se ova funkcija može dodef. do nepr.?

_________________
With great power comes great electricity bill.
n!!!!
Theorem 2: Alexander the Great did not exist and he had an infinite number of limbs.

[Loo]

uzmi si niz [tex]a_n=(\frac {1}{n},\frac {1}{n})[/tex] on je u domeni, a limes mu je [tex](0,0)[/tex], no što se događa s funkcijskim vrijednostima?

EDIT: ili možda spretnije [tex]b_n=(0,\frac {1}{n})[/tex]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2008-09/nepr.pdf

c)

tražila sam nizove

pa sam gledala npr

(1/n,1/n) -> (0,0)

ali f(1/n,1/n) nije definiran

onda za (0,1/n) -> (0,0), f(0, 1/n) -> 0

onda (1/n,0)->(0,0) f(1/n,0) nije definiran

jel to znači da limes u (0,0) ne postoji

domena je R^2 bez (0,0) zar ne?

[Loo]

ne znam kako si dobila da limes niza [tex]f(\frac {1}{n}, \frac{1}{n})[/tex] ne postoji, meni ispada da je 0 (dobila sam neki ružan razlomak u kojem je stupanj n-a u nazivniku veći nego u brojniku)
inače, može se ovako pokazati da je limes 0:
[tex]0\leq |\frac {x^3y^2-2y^4}{\sqrt {2x^2+y^4}}|\leq |\frac{x^3y^2-2y^4}{\sqrt {y^4}}|\leq |x^3-2y^2|[/tex] kad se pusti limes [tex](x,y)\rightarrow (0,0)[/tex] prema teoremu o sendviču izraz teži u 0

[simon11]

Kako si dobila da nije def?

link

pusti limes + tm o sendvichu (ogladnio sam od silnog spominjanja sendvicha )

edit:eh da sam znao Loo da ces odg,ne bih ja i sada bih bio sit

_________________

getting recognized

[quark]

Inače, jako je zgodno ako ne znate što biste, pustiti wolfram da vam nacrta f-ju (ili poslije za provjeru).

Ali baš u primjeru [tex]f(x,y)=\frac{\ln (x^2+y^2)}{x^2+y^2}[/tex] nije previše zgodno :



Kako ne vidimo "dno", tj. ako se ponaša kao npr. parabola u toj okolini, onda bi i mogla biti dodefinirana do neprekidnosti u (0,0). Ali evo za znatiželjne, malo rotirani graf (ovo je pak u Mathematici napravljeno):

[pedro]

[PermutiranoPrase]

[Zenon]

[Loo]

[slonic~tonic]

web.math.hr/nastava/difraf/dif/2007-08/zadaca_df.pdf
2.zadadak.
funkcija nije diferencijabilna u (0, 0) ??

_________________
Lakše je naučiti matematiku nego raditi bez nje.