1. kolokvij 2010, 3. zadatak (zadatak)

etaoin shrdlu

Molio bih pomoc sa sljedecim zadatkom:

Link na kolokvij:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/odif/kolokviji/20101025/odjkol12010ab.pdf

Treci zadatak u pdf-u.

Sve se vrti oko osi [tex]z[/tex], pa neka je [tex]z(t)[/tex] visina tekucine u trenutku t. Kao i na vjezbama.
Neka je [tex]A(z)[/tex] povrsina poprecnog presjeka na visini [tex]z[/tex].
Prema zadatku, [tex]r^2 \pi[/tex] je povrsina otvora na dnu.
Pokazali smo na vjezbama da je onda
[tex]A(z)\frac{dz}{dt}=-r^2 \pi \sqrt{2gz}[/tex].

E sad mi pomozite! Pray

Ako je [tex]z(t)[/tex] visina tekucine u trenutku t, onda je [tex]\frac{dz}{dt}[/tex] promjena visine tekucine, i to je po zadatku konstantno, znaci [tex]\frac{dz}{dt} = K[/tex]. Kako se visina smanjuje, da li mora biti [tex]K<0[/tex]? Ili je [tex]K>0[/tex] pa pišemo [tex]-K[/tex]?

Dobijemo diferencijalnu jednadzbu [tex]\frac{dz}{dt}=K[/tex].
I to je to?!?
Separacijom varijabli bi onda slijedilo da je [tex]z(t)=Kt+C [/tex].

Ali treba li nam to uopce?? Mozemo
[tex]\frac{dz}{dt} = K[/tex] uvrstiti u
[tex]A(z)\frac{dz}{dt}=-r^2 \pi \sqrt{2gz}[/tex] kako bi dobili
[tex]A(z)\cdot K=-r^2 \pi \sqrt{2gz}[/tex]

Jos mozemo napisati
[tex]A(z)\cdot K=-r^2 \pi \sqrt{2g(Kt+C)}[/tex]

I sto sad? Da li da sve uzmemo kao funkciju po z, pa kako idemo gore-dolje po osi z, to je udaljenost od osi z do krivulje neki [tex]f(z)[/tex], a kako je ploha rotacijska, povrsina jednog kruga je [tex](f(z))^2 \pi = A(z)[/tex]??
Pa onda iz [tex](f(z))^2 \pi \cdot K=-r^2 \pi \sqrt{2g(Kt+C)}[/tex] izvucemo [tex]f(z)[/tex]? I to je kao rjesenje? Ali sto je s konstantama? I ima li sve ovo uopce smisla? Mozda je postupak rjesavanja neki sasvim deseti? Confused

Hvala!!

pmli

Možemo uzeti da je [tex]\frac{dz}{dt} = -K[/tex], gdje je [tex]K > 0[/tex], jer je jasno da se razina vode smanjuje. Inače ne bi govorili o "istjecanju" vode. Smile

U zadatku se traži oblik posude. Kako obično doživljavamo gravitaciju kao silu prema dolje i da je posuda uspravna, prirodno je shvatiti oblik posude kao [tex]f^{-1}[/tex] ([tex]f[/tex] je ono što si rekao). Ok, neće biti baš inverz, jer bi htjeli da je to definirano na intervalu oko 0, no...

Sad to uvrstimo u ODJ sa vježbi: [dtex]f(z)^2 \pi (-K) = -r^2 \pi \sqrt{2 g z}[/dtex]
Kao što sam rekao, nas zanima "inverz", pa kao što se i inače radi, treba izraziti [tex]z[/tex]. Označit ću još [tex]R := f(z)[/tex] (zanima nas kako [tex]z[/tex] ovisi o [tex]R[/tex]). Lako se dobi [dtex]z = \frac{K^2}{2 g r^4} R^4[/dtex]
Eto, to je rješenje, ali ono što uočavaš je da posuda dobivena rotacijom te krivulje oko z-osi nema rupu na dnu (za [tex]z = 0[/tex] je i [tex]R = 0[/tex], a trebalo bi biti [tex]R = r[/tex]). Problem je što se u izvodu Torricelijevog zakona zanemaruje veličina rupe na dnu. Može se iz Bernoullijevog zakona dobiti precizniji izraz za brzinu istjecanja nestlačivog fluida koji i nije puno kompliciraniji, ali to se ne radi pa nije bitno. Ako te ipak zanima, ovo ti daje Bernoulli: [dtex]\frac{\rho v_1^2}{2} = \frac{\rho v_2^2}{2} + \rho g z,[/dtex] a zbog nestlačivosti još vrijedi [dtex]A_1 v_1 = A_2 v_2,[/dtex] gdje je [tex]v_1[/tex] brzina toka na dnu, [tex]v_2[/tex] brzina toka na vrhu, [tex]A_1[/tex] površina presjeka toka na dnu i [tex]A_2[/tex] površina presjeka toka na vrhu.