|
Ostao sam duzan jedan zadatak danas na vjezbama iz EM1.
Ako cijele brojeve definiramo kao klase ekvivalencije uredjenih parova prirodnih brojeva po relaciji danoj s (a,b) u relaciji s (c,d) ako i samo ako a+d=b+c, onda se lako vidi da zbrajanje klasa mozemo definirati s (pisem [x,y] umjesto [(x,y)] radi jednostavnosti):
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d].
Takva operacija je dobro definirana jer ako je [a,b]=[A,B] i [c,d]=[C,D], onda imamo po definiciji a+B=b+A i c+D=d+C sto nakon zbrajanja jednakosti daje (a+c)+(B+D)=(b+d)+(A+C), odnosno [a+c,b+d]=[A+C,B+D].
Kao i gore gdje zapravo zelimo da klasa [a,b] predstavlja broj a-b (samo sto operaciju oduzimanja nismo definirali, pa i ne smijemo koristiti), pa zato na odgovarajuci nacin definiramo ekvivalenciju uredjenih parova prirodnih brojeva i zbrajanje klasa, za umnozak klasa [a,b] i [c,d] zelimo da predstavlja broj (a-b)(c-d)=ac+bd-(ad+bc), pa definiramo:
[a,b]*[c,d]=[ac+bd,ad+bc].
Provjerimo da je i mnozenje klasa dobro definirano.
Neka je [a,b]=[A,B] i [c,d]=[C,D]. To po definiciji znaci da vrijedi
a+B=b+A (oznacimo s (1) ovu jednakost)
c+D=d+C (oznacimo s (2) ovu jednakost)
S (1') oznacimo jednakost u kojoj smo zamijenili lijevu i desnu stranu od (1), dakle b+A=a+B. Analogno za (2'). Upotreba npr. (1') umjesto (1) je jedan trik kojim se sluzimo da bismo izbjegli oduzimanje jednakosti sto ne smijemo/ne znamo raditi.
Pomnozimo sada (1) s c, (1') s d, (2) s A, (2') s B i sve skupa zbrojimo. Ponistit ce se svi umnosci u kojima se pojavljuje malo i veliko slovo i ostat ce samo (ac+bd)+(AD+BC)=(ad+bc)+(AC+BD), sto znaci da je
[ac+bd,ad+bc]=[AC+BD,AD+BC] a to smo i htjeli dokazati.
Ostao sam duzan jedan zadatak danas na vjezbama iz EM1.
Ako cijele brojeve definiramo kao klase ekvivalencije uredjenih parova prirodnih brojeva po relaciji danoj s (a,b) u relaciji s (c,d) ako i samo ako a+d=b+c, onda se lako vidi da zbrajanje klasa mozemo definirati s (pisem [x,y] umjesto [(x,y)] radi jednostavnosti):
[a,b]+[c,d]=[a+c,b+d].
Takva operacija je dobro definirana jer ako je [a,b]=[A,B] i [c,d]=[C,D], onda imamo po definiciji a+B=b+A i c+D=d+C sto nakon zbrajanja jednakosti daje (a+c)+(B+D)=(b+d)+(A+C), odnosno [a+c,b+d]=[A+C,B+D].
Kao i gore gdje zapravo zelimo da klasa [a,b] predstavlja broj a-b (samo sto operaciju oduzimanja nismo definirali, pa i ne smijemo koristiti), pa zato na odgovarajuci nacin definiramo ekvivalenciju uredjenih parova prirodnih brojeva i zbrajanje klasa, za umnozak klasa [a,b] i [c,d] zelimo da predstavlja broj (a-b)(c-d)=ac+bd-(ad+bc), pa definiramo:
[a,b]*[c,d]=[ac+bd,ad+bc].
Provjerimo da je i mnozenje klasa dobro definirano.
Neka je [a,b]=[A,B] i [c,d]=[C,D]. To po definiciji znaci da vrijedi
a+B=b+A (oznacimo s (1) ovu jednakost)
c+D=d+C (oznacimo s (2) ovu jednakost)
S (1') oznacimo jednakost u kojoj smo zamijenili lijevu i desnu stranu od (1), dakle b+A=a+B. Analogno za (2'). Upotreba npr. (1') umjesto (1) je jedan trik kojim se sluzimo da bismo izbjegli oduzimanje jednakosti sto ne smijemo/ne znamo raditi.
Pomnozimo sada (1) s c, (1') s d, (2) s A, (2') s B i sve skupa zbrojimo. Ponistit ce se svi umnosci u kojima se pojavljuje malo i veliko slovo i ostat ce samo (ac+bd)+(AD+BC)=(ad+bc)+(AC+BD), sto znaci da je
[ac+bd,ad+bc]=[AC+BD,AD+BC] a to smo i htjeli dokazati.
|
