Picard / separabilne jednadžbe (zadatak)

[Gost]

Može li netko napisati koja su rješenja zadatka sa današnjeg kolokvija:

Zadana je diferencijalna jednadžba:

[dtex]u' = \frac{x | u - 1 |}{1 + x^4}[/dtex]

Možemo li primijeniti Picardov teorem, odnosno teorem o separabilnim jednadžbama ako za početni uvjet uzmemo:

a) u(1) = 0

b) u(0) = 1

I što napraviti s ovom apsolutnom vrijednosti

Puno hvala!

[Phoenix]

U prvom slučaju, a), možemo uzeti dovoljno malenu okolinu, točnije, po iskazu teorema s predavanja, pravokutnik, oko [tex](1,0)[/tex] takvu da vrijedi [tex]|u-1|=1-u[/tex] (recimo, [tex]\left< 0,2 \right> \times \left< -\frac{1}{2},\frac{1}{2} \right>[/tex] je dobar primjer). Sada je jasno da je funkcija [tex]f(x,u)=\frac{x|u-1|}{1+x^4}[/tex] Lipschitz-neprekidna po drugoj varijabli. Također je i neprekidna. Stoga možemo primijeniti Picardov teorem.
Picardov teorem se može primijeniti i u b), s tim da je možda nešto teže dokazati Lipschitz-neprekidnost po drugoj varijabli, ali isto se to može napraviti jednostavnim računom, ako ništa drugo, na slučajeve ovisno o predznaku izraza [tex]u-1[/tex].

Za teorem o separiranim varijablama nameće se izbor [tex]g(x)=\frac{x}{1+x^4}[/tex] i [tex]h(u)=|u-1|[/tex]. Obe funkcije su neprekidne na [tex]\mathbb{R}[/tex] te je [tex]h(\mathbb{R}) = \left[ 0,+\infty \right>[/tex], s tim da je [tex]h(u)=0 \Leftrightarrow u=1[/tex]. Dakle, [tex]h[/tex] je strogo pozitivna akko promatramo područje u kojem [tex]u[/tex] ne poprima vrijednost [tex]1[/tex].
Pod a) vidimo da se može uzeti dovoljno maleni pravokutnik takav da se ta vrijednost izbjegne pa se teorem o separiranim jednadžbama može primijeniti. Međutim, u b) mora vrijediti [tex]1 \in h( \left< 1-\alpha_u, 1+\beta_u \right>)[/tex], koje god konstante [tex]\alpha_u, \beta_u \in \left< 0, +\infty \right>[/tex] izabrali. Stoga tu ne možemo primijeniti teorem o separiranim jednadžbama.