1. kolokvij 2011. (zadatak)

[anabanana]

Jeli moze netko rijesit 2. (a) proslogodisnjeg kolokvija?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la1-1112-kol1a.pdf

[JM]

to nije potrostor,jer kad ideš provjerit je li "zatvoren" na množenje i zbrajanje,ispadne ti da nije zatvoreno na zbrajanje..nađeš neki primjer koji ti to potvrđuje i to je to

[anabanana]

da, vidim sada. a u grupi b isti zadatak?

[JM]

mislim da to je v.p.i sad odredi bazu i dimenziju

[anabanana]

u tome je i problem

jeli se gleda nad R ili nad C i kako to utjece na dimenziju?

[JM]

hmmm,ispravak,to uopće nije v.p..

[anabanana]

kako nije?

[JM]

rješili smo ga na demonstraturama

[nicki minaj]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/la/kolokviji/la1-1112-kol1b.pdf

trebala bih pomoc oko drugog zadatka u proslogodisnjem kolokviju, b grupa.
naime, vec sam dosta puta pokusavala ispocetka i jedno te isto dobijem, a nelogicno mi je.

pokazem da M je potprostor od C^3 pa idem trazit bazu. prvo nadem sustav izvodnica ( zadnji put kad sam rjesavala sam imala sistem izvodnica: {(1,0,1), (0,1,0), (1,0,0), (0,1,1)} ). ocito je linearno zavisan skup, pa izbacim npr (0,1,1). No nakon toga imam linearno nezavisan skup sto mi nema smisla jer u sebi ima 3 vektora; ako C^3 ima dimenziju 3, onda neki potprostor ima dimenziju manju od 3 ako ne sadrzi sve vektore iz C^3. A upravo imamo skup M koji ne sadrzi sve kompleksne trojke nego one koje izpunjavaju uvjet.

Je li jos netko rjesavao, dobio nesto slicno?

[hendrix]

Ali - [tex]M[/tex] nije potprostor vektorskog prostora [tex]\mathbb{C}^3[/tex]. Uzmi skalar [tex]i[/tex], pomnozi njime proizvoljno odabran element iz [tex]M[/tex] i trebala bi (ako nisam napravio neku gresku koja mi bas i nije uocljiva) dobiti da tako dobiven vektor nije u [tex]M[/tex], pa [tex]M[/tex] nije zatvoren na mnozenje, a time nije ni potprostor.

Banalan primjer:
Neka je [tex]z = (z_1, z_2, z_3) = (0, i, i) \in M[/tex]. Sada vidimo da je [tex]i \cdot z = (0, -1, -1)[/tex], gdje uvjet zadatka ocito nije zadovoljen.

[Popara]

[nicki minaj]

C^3 je vektorski prostor ali da, M nije potprostor. znala sam da sam nesto fulala, ito tako banalno od pocetka. hvala puno.

[room]

Zanima me 3. zadatak pod b) iz kolokvija 2011/2012, bilo koja grupa.

Pod a) treba pokazati za koji λ su vektori a, b i c komplanarni. To uspijem dobiti.
Onda pod b) treba pokazati za koji λ su vektori a, b, c i d komplanarni. E sad ako sam dobro shvatila na vježbama, u ovom slučaju ne smijemo napraviti ono αa+βb+γc+δd=0, zar ne?
E sad, jel mogu ja d prikazati kao linearnu kombinaciju a, b i c pa onda vidjeti za koji λ će mi to vrijediti ili se to radi na neki drugi način? Dobro mi bi došao samo hint nekakav pa ako ni onda ne uspijem riješiti, kompletno pojašnjenje.

[fmilink]

dovoljno ti je reći da su a, b, c i d elementi prostora V3(0), koji ima dimenziju 3, pa je nemoguće da skup od 4 vektora bude nekomplanaran (odnosno nezavisan) u prostoru dimenzije 3, odnosno vektori su komplanarni za svaki realan broj lambda.

Added after 11 minutes:

[room]

Hvala, sad mi je jasno.

Znam da nije iz te godine, ali da ne otvaramo za svaku godinu novu temu, sad me zanima iz kolokvija 2010/2011. prvi pod b), isto bilo koja grupa (ali ću tu napisati vektore zadane iz A grupe).
Treba naći za koje λ se vektor -4i+2j+2k ne nalazi u linearnoj ljusci skupa {a,b,c}? (a=j+λk, b=2i-λj-k, c=i+j+λk) I u a) dijelu zadatka sam dobila da su a,b,c komplanarni za λ=1 i λ=-1.

[fmilink]

Ista stvar, samo sad tražiš za koji λ se taj četvrti vektor (nazovimo ga d) nemože prikazati kao kombinacija a, b i c.
Pa ako je λ!=1 ili -1, onda su a, b i c sustav izvodnica pa je d u njihovoj linearnoj ljusci.
Za λ=1 je lako pokazati da je d=-2*b +4*a pa se i tada nalazi u njihovoj linearnoj ljusci.
Za λ=-1 se isto lako pokaže da su vektori a, b i d nezavisni, odnosno da se d ne može prikazati kao kombinacija a i b, a kako su a, b i c zavisni, slijedi da d nije u linearnoj ljusci vektora a, b i c.
[/tt][/table]

[room]

Super objašnjavaš, thanks.

E sad me još samo zanima od prošle godine kolokvij, 1b) zadatak.
Pitanje je postoji li vektor d iz V3(o) (koji ne ovisi o λ) takav da vektori a, b i d nisu komplanarni niti za jedan λ iz R?

Vjerujem da je nešto slično ovima prije, ali ne znam kako dobiti do kraja. Napisala sam ja αa+βb+γd=0 s tim da mi je a=i+λk, b=2i+λj, d=xi+yj+zk. I rješavanjem sustava jednadžbi sam došla do (z-λx+2y)γ=0 i sad ako moraju biti nekomplanarni znači da je γ=0, a z+λx+2y može biti bilo što. Ali ne znam kako dalje, ako sam i ovo uopće dobro napravila.

[fmilink]

Pa da bi bili nekomplanarni moralo bi vrijediti γ=0, a kad to uvrstiš u drugu jednadžbu (λ*(beta) + y*γ=0) dobiješ λ*(beta)=0.
Sad vidiš da za svaki vektor d možeš uzeti λ=0 i vektori će biti komplanarni.
Lakše rješenje zadatka je bilo uočiti da su čim uzmeš λ=0 vektori a i b zavisni, pa će u tom slučaju a, b i d biti komplanarni za svaki vektor d.

[room]

Ali treba naći neki vektor d kad neće biti komplanarni?

[fmilink]

Pitanje je postoji li d iz V3(O) takav da a, b i d nisu komplanarni niti za jedan λ, odnosno da a, b i d budu nekomplanarni za svaki λ.
Mi smo pokazali da za svaki vektor d, vektori a, b i d jesu komplanarni za λ=0, pa zaključujemo da ne postoji takav vektor d.