|
(2) Sad malo o linearnim funkcionalima i dualnim bazama.
Rađeno na vježbama, ali evo još jedanput.
Neka je V* dualni prostor konačnodim. prostora V,
neka je (e) = (e1,...,en) baza prostora V, recimo "kanonska"
(premda to nije bitno, ali obično je kanonska jer su u njoj
lagano zadani neki vektori - uređene n-torke, matrice
ili polinomi).
Nadalje, neka je (a) = (a1,a2,...,an) neka (druga) baza prostora V.
(e) ima dualnu bazu (e*), (a) ima dualnu bazu (a*).
Imamo matricu prijelaza T iz (e) u (a)
(obično se iz zadatka može izravno napisati).
Možemo sad npr. tražiti matricu prijelaza iz (e*) u (a*).
Također, s tim u uskoj vezi, možemo tražiti djelovanje
funkcionala iz (a*) ili općenito iz V* na neke vektore iz V.
Možemo tražiti prikaz nekog funkcionala u bazi (a*)
(obično je takav funkcional zadan na način da se izravno
vidi prikaz u (e*)).
Matrica nekog lin. funkionala f je jednoretčana matrica
[ f(e1) .... f(en) ]
pri čemu je (e) baza domene V, a baza kodomene - polja F
kao 1-dim. prostora - jednostavno je (1).
Ako za funkcional uzmemo npr a1*, imamo a1*(a1) = 1,
dok je a1*(aj) = 0 za sve j=2,3,...,n.
Kad to djelovanje a1* prikažemo matrično, a sve u bazi
(e) to jest u paru baza (1,e), imamo
redak [ a1*(e1) ... a1*(en) ]
puta stupci, redom: (a1)(e),..., (an)(e)
jednako retku [ 1 0 0... 0 ].
Navedenih n stupaca (a1)(e),..., (an)(e)
zajedno čine upravo matricu prijelaza T iz (e) u (a).
Dakle, kad analogno daljnje retke
[ ai*(e1) ... ai*(en) ] (i=2,3,...,n)
množimo s matricom T, dobivamo retke jedinične matrice I.
To sve zajedno možemo napisati tako da formiramo matricu.
recimo M, čiji retci su [ ai*(e1) ... ai*(en) ] , i=1,2....,n,
pa dobivamo
M T = I.
Odatle, jasno, M = T^(-1)
pa vidimo da su retci [ ai*(e1) ... ai*(en) ]
jednaki [b]retcima[/b] matrice T^(-1).
Koja je sad matrica prijelaza iz (e*) u (a*)?
Nju čine koeficijenti u prikazu funkcionala aj*
kao linearnih kombinacija funkcionala iz (e*).
No, ako je npr.
aj* = x_1j e1* + x_2j e2* +...+ x_nj en* (x_ij su skalari).
djelovanjem na ei
dobijemo (aj*)(ei) = x_ij.
Kako su x_ij upravo koeficijenti matrice prijelaza
iz (e*) u (a*), vidimo da je ta matrica prijelaza jednaka
[b]transponiranoj matrici matrice T[/b].
To je onda (T^(-1))^(t),
što je jednako (T^(t))^(-1).
(Uočimo da je za matricu M opći koeficijent ai*(ej),
odatle transponiranje).
Napokon, ako želimo prikazati neki lin. funkcional f
u bazi (a*), a znamo njegov prikaz u bazi (e*),
primijenimo poznatu formulu
f(a*) = [matrica prijelaza iz (a*) u (e*)] f(e*).
Ova matrica prijelaza inverzna je matrici prijelaza iz
(e*) u (a*), a ta je (T^(t))^(-1).
Znači, inverzna od inverzne, to je T^(t), transponirana od T.
f(a*) = T^(t) f(e*).
Napominjem da se sve ovo može i malo drukčije
prepričavati, no dosljedna primjena odgovarajućih
matrica svakako je dobar put rješavanja.
(2) Sad malo o linearnim funkcionalima i dualnim bazama.
Rađeno na vježbama, ali evo još jedanput.
Neka je V* dualni prostor konačnodim. prostora V,
neka je (e) = (e1,...,en) baza prostora V, recimo "kanonska"
(premda to nije bitno, ali obično je kanonska jer su u njoj
lagano zadani neki vektori - uređene n-torke, matrice
ili polinomi).
Nadalje, neka je (a) = (a1,a2,...,an) neka (druga) baza prostora V.
(e) ima dualnu bazu (e*), (a) ima dualnu bazu (a*).
Imamo matricu prijelaza T iz (e) u (a)
(obično se iz zadatka može izravno napisati).
Možemo sad npr. tražiti matricu prijelaza iz (e*) u (a*).
Također, s tim u uskoj vezi, možemo tražiti djelovanje
funkcionala iz (a*) ili općenito iz V* na neke vektore iz V.
Možemo tražiti prikaz nekog funkcionala u bazi (a*)
(obično je takav funkcional zadan na način da se izravno
vidi prikaz u (e*)).
Matrica nekog lin. funkionala f je jednoretčana matrica
[ f(e1) .... f(en) ]
pri čemu je (e) baza domene V, a baza kodomene - polja F
kao 1-dim. prostora - jednostavno je (1).
Ako za funkcional uzmemo npr a1*, imamo a1*(a1) = 1,
dok je a1*(aj) = 0 za sve j=2,3,...,n.
Kad to djelovanje a1* prikažemo matrično, a sve u bazi
(e) to jest u paru baza (1,e), imamo
redak [ a1*(e1) ... a1*(en) ]
puta stupci, redom: (a1)(e),..., (an)(e)
jednako retku [ 1 0 0... 0 ].
Navedenih n stupaca (a1)(e),..., (an)(e)
zajedno čine upravo matricu prijelaza T iz (e) u (a).
Dakle, kad analogno daljnje retke
[ ai*(e1) ... ai*(en) ] (i=2,3,...,n)
množimo s matricom T, dobivamo retke jedinične matrice I.
To sve zajedno možemo napisati tako da formiramo matricu.
recimo M, čiji retci su [ ai*(e1) ... ai*(en) ] , i=1,2....,n,
pa dobivamo
M T = I.
Odatle, jasno, M = T^(-1)
pa vidimo da su retci [ ai*(e1) ... ai*(en) ]
jednaki retcima matrice T^(-1).
Koja je sad matrica prijelaza iz (e*) u (a*)?
Nju čine koeficijenti u prikazu funkcionala aj*
kao linearnih kombinacija funkcionala iz (e*).
No, ako je npr.
aj* = x_1j e1* + x_2j e2* +...+ x_nj en* (x_ij su skalari).
djelovanjem na ei
dobijemo (aj*)(ei) = x_ij.
Kako su x_ij upravo koeficijenti matrice prijelaza
iz (e*) u (a*), vidimo da je ta matrica prijelaza jednaka
transponiranoj matrici matrice T.
To je onda (T^(-1))^(t),
što je jednako (T^(t))^(-1).
(Uočimo da je za matricu M opći koeficijent ai*(ej),
odatle transponiranje).
Napokon, ako želimo prikazati neki lin. funkcional f
u bazi (a*), a znamo njegov prikaz u bazi (e*),
primijenimo poznatu formulu
f(a*) = [matrica prijelaza iz (a*) u (e*)] f(e*).
Ova matrica prijelaza inverzna je matrici prijelaza iz
(e*) u (a*), a ta je (T^(t))^(-1).
Znači, inverzna od inverzne, to je T^(t), transponirana od T.
f(a*) = T^(t) f(e*).
Napominjem da se sve ovo može i malo drukčije
prepričavati, no dosljedna primjena odgovarajućih
matrica svakako je dobar put rješavanja.
|
