Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 11:03 uto, 18. 12. 2012 Naslov: 2. kolokvij |
|
|
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2006-07/kolokvij_2.pdf
druga grupa, 1 zadatak.
ja sam dobila za rješenje 3 točke: (0,1,0) , (0,-1,0) i (1,0,0) a u rješenju zadataka (http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2006-07/kol2-rjesenja.pdf) je samo zapisano da je rješenje točka (1,0,0)
kada uvrstim točke u plohu jednadžbe sve dobro dobijem, tj točke se nalaze na plohi. gdje griješim?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2006-07/kolokvij_2.pdf
druga grupa, 1 zadatak.
ja sam dobila za rješenje 3 točke: (0,1,0) , (0,-1,0) i (1,0,0) a u rješenju zadataka (http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2006-07/kol2-rjesenja.pdf) je samo zapisano da je rješenje točka (1,0,0)
kada uvrstim točke u plohu jednadžbe sve dobro dobijem, tj točke se nalaze na plohi. gdje griješim?
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 12:59 uto, 18. 12. 2012 Naslov: |
|
|
zadatak 3 iz druge grupe
dobila sam da su stacionarne točke (0,0) i (1,1)
za (1,1) hesseova matrica je indefinitna, to znamo da je onda to sedlasta točka
a za (0,0) dobijem matricu sa samim 0 pa ne znamo kako da provjerimo karakter točke pa moramo na neki drugi način. kako je to najbolje provjeriti?
[size=9][color=#999999]Added after 47 minutes:[/color][/size]
4 zadatak.
imam problema s diferencijalom funkcije F: R^2-> R
F(y^3*z*x,y^2+x^2)
definiram h(x,y,z)=(y^3*z*x,y^2+x^2) h: R^3->R^2
i kada oću izračunati diferencijal od funkcije g= F(h(x,y,z)) muči me kako da napišem dif od F, treba mi ispasti 1x2 matrica a ispada mi 1x3 jer idemo po varijabli x,y i z, a zapravo bi trebala ići po dvije varijable a ne znam koje, help
zadatak 3 iz druge grupe
dobila sam da su stacionarne točke (0,0) i (1,1)
za (1,1) hesseova matrica je indefinitna, to znamo da je onda to sedlasta točka
a za (0,0) dobijem matricu sa samim 0 pa ne znamo kako da provjerimo karakter točke pa moramo na neki drugi način. kako je to najbolje provjeriti?
Added after 47 minutes:
4 zadatak.
imam problema s diferencijalom funkcije F: R^2→ R
F(y^3*z*x,y^2+x^2)
definiram h(x,y,z)=(y^3*z*x,y^2+x^2) h: R^3→R^2
i kada oću izračunati diferencijal od funkcije g= F(h(x,y,z)) muči me kako da napišem dif od F, treba mi ispasti 1x2 matrica a ispada mi 1x3 jer idemo po varijabli x,y i z, a zapravo bi trebala ići po dvije varijable a ne znam koje, help
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 13:31 uto, 18. 12. 2012 Naslov: Re: 2. kolokvij |
|
|
1. Tangencijalne ravnine u točkama [tex](0,1,0)[/tex] i [tex](0,-1,0)[/tex] su, redom, [tex]y=1[/tex] i [tex]y=-1[/tex] (što se dobije uvrštavanjem [tex](x_0,y_0,z_0)=(0,\pm 1,0)[/tex] u drugu jednakost iz rješenja). Međutim, te ravnine ne sadržavaju točku [tex](0,0,1)[/tex].
Gdje točno griješiš, ne znam jer ne znam tvoj postupak i rješenje. Znam da si dobila neke točke plohe koje nisu traženo rješenje zadatka. :)
3. Možemo, primjerice, promatrati i analizirati funkciju pa vidjeti što se da iz prve zaključiti.
Prije svega, [tex]f(0,0)=0[/tex].
Sada, primijeti da je [tex]f(0,y)=\frac{4}{3}y^3[/tex], a preslikavanje [tex]y \mapsto \frac{4}{3}y^3[/tex] u nuli nema ni (lokalni) minimum ni maksimum.
Zaključujemo, za proizvoljnu okolinu [tex]U[/tex] od [tex]0[/tex], kako mora postojati [tex](0,y_1) \in U[/tex] i [tex](0,y_2) \in U[/tex] takve da je [tex]y_1>0[/tex] i [tex]y_2<0[/tex], vrijedi [tex]f(0,y_2)<f(0,0)<f(0,y_1)[/tex]. Stoga [tex](0,0)[/tex] nije lokalni ekstrem funkcije [tex]f[/tex].
4. Varijable nisu jednoznačne pa da moraš znati "preko kojih točno varijabli prikazati funkciju". Svejedno je je li [tex]f(x,y,z)[/tex] ili [tex]f(u,v,w)[/tex] ili [tex]f(a,b,c)[/tex], jer argumenti te funkcije su samo parametri, zamjene za konkretne vrijednosti.
(Ako ti iz nekog razloga i trebaju varijable da bi nekako zapisala [tex]F[/tex] u nekoj točki, stavi bilo koje i, zbog jasnoće, neka su različite od prethodno korištenih. Recimo, [tex]F(a,b)[/tex] ili [tex]F(u,v)[/tex] je sasvim dovoljno. Ali to ti i neće trebati za krajnje rješenje (ne smiješ ni imati u rješenju) - vidi dolje.)
Samo trebaš napisati sljedeće:
[tex]Dg(x,y,z)=DF(h(x,y,z))Dh(x,y,z)=DF(y^3zx,y^2+x^2) \begin{bmatrix} y^3z & 3y^2zx & y^3x \\ 2x & 2y & 0 \end{bmatrix}[/tex].
[tex]Dg(x,y,z)[/tex] mora biti matrica dimenzija [tex]1 \times 3[/tex], a [tex]DF(y^3zx,y^2+x^2)[/tex] dimenzija [tex]1 \times 2[/tex], što, zbog matričnog množenja s desne strane jednakosti, odgovara gornjoj formuli.
Ovo je i najdalje što možeš izračunati od diferencijala [tex]g[/tex] u točki jer ti [tex]F[/tex] nije zadan (samo znaš da je diferencijabilan na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]).
1. Tangencijalne ravnine u točkama [tex](0,1,0)[/tex] i [tex](0,-1,0)[/tex] su, redom, [tex]y=1[/tex] i [tex]y=-1[/tex] (što se dobije uvrštavanjem [tex](x_0,y_0,z_0)=(0,\pm 1,0)[/tex] u drugu jednakost iz rješenja). Međutim, te ravnine ne sadržavaju točku [tex](0,0,1)[/tex].
Gdje točno griješiš, ne znam jer ne znam tvoj postupak i rješenje. Znam da si dobila neke točke plohe koje nisu traženo rješenje zadatka.
3. Možemo, primjerice, promatrati i analizirati funkciju pa vidjeti što se da iz prve zaključiti.
Prije svega, [tex]f(0,0)=0[/tex].
Sada, primijeti da je [tex]f(0,y)=\frac{4}{3}y^3[/tex], a preslikavanje [tex]y \mapsto \frac{4}{3}y^3[/tex] u nuli nema ni (lokalni) minimum ni maksimum.
Zaključujemo, za proizvoljnu okolinu [tex]U[/tex] od [tex]0[/tex], kako mora postojati [tex](0,y_1) \in U[/tex] i [tex](0,y_2) \in U[/tex] takve da je [tex]y_1>0[/tex] i [tex]y_2<0[/tex], vrijedi [tex]f(0,y_2)<f(0,0)<f(0,y_1)[/tex]. Stoga [tex](0,0)[/tex] nije lokalni ekstrem funkcije [tex]f[/tex].
4. Varijable nisu jednoznačne pa da moraš znati "preko kojih točno varijabli prikazati funkciju". Svejedno je je li [tex]f(x,y,z)[/tex] ili [tex]f(u,v,w)[/tex] ili [tex]f(a,b,c)[/tex], jer argumenti te funkcije su samo parametri, zamjene za konkretne vrijednosti.
(Ako ti iz nekog razloga i trebaju varijable da bi nekako zapisala [tex]F[/tex] u nekoj točki, stavi bilo koje i, zbog jasnoće, neka su različite od prethodno korištenih. Recimo, [tex]F(a,b)[/tex] ili [tex]F(u,v)[/tex] je sasvim dovoljno. Ali to ti i neće trebati za krajnje rješenje (ne smiješ ni imati u rješenju) - vidi dolje.)
Samo trebaš napisati sljedeće:
[tex]Dg(x,y,z)=DF(h(x,y,z))Dh(x,y,z)=DF(y^3zx,y^2+x^2) \begin{bmatrix} y^3z & 3y^2zx & y^3x \\ 2x & 2y & 0 \end{bmatrix}[/tex].
[tex]Dg(x,y,z)[/tex] mora biti matrica dimenzija [tex]1 \times 3[/tex], a [tex]DF(y^3zx,y^2+x^2)[/tex] dimenzija [tex]1 \times 2[/tex], što, zbog matričnog množenja s desne strane jednakosti, odgovara gornjoj formuli.
Ovo je i najdalje što možeš izračunati od diferencijala [tex]g[/tex] u točki jer ti [tex]F[/tex] nije zadan (samo znaš da je diferencijabilan na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]).
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 9:49 sri, 19. 12. 2012 Naslov: Re: 2. kolokvij |
|
|
[quote="Phoenix"]1. Tangencijalne ravnine u točkama [tex](0,1,0)[/tex] i [tex](0,-1,0)[/tex] su, redom, [tex]y=1[/tex] i [tex]y=-1[/tex] (što se dobije uvrštavanjem [tex](x_0,y_0,z_0)=(0,\pm 1,0)[/tex] u drugu jednakost iz rješenja). Međutim, te ravnine ne sadržavaju točku [tex](0,0,1)[/tex].
Gdje točno griješiš, ne znam jer ne znam tvoj postupak i rješenje. Znam da si dobila neke točke plohe koje nisu traženo rješenje zadatka. :)
[/quote]
(to je 1 zadatak druge grupe)
ove jednadžbe sam dobila:
3z^2=0 (tang ravnina paralelna sa z-osi)
2x-2x^2=0 (tang rav porlazi točkom (1,0,0)
x^2+y^2+z^3-1=0 (točka se nalazi na plohi)
i dobijem tri rješenja:
(0,1,0)
(0,-1,0)
(1,0,0)
i u koji sad uvjet uvrštavamo točke da vidimo koja je točna?
Phoenix (napisa): | 1. Tangencijalne ravnine u točkama [tex](0,1,0)[/tex] i [tex](0,-1,0)[/tex] su, redom, [tex]y=1[/tex] i [tex]y=-1[/tex] (što se dobije uvrštavanjem [tex](x_0,y_0,z_0)=(0,\pm 1,0)[/tex] u drugu jednakost iz rješenja). Međutim, te ravnine ne sadržavaju točku [tex](0,0,1)[/tex].
Gdje točno griješiš, ne znam jer ne znam tvoj postupak i rješenje. Znam da si dobila neke točke plohe koje nisu traženo rješenje zadatka.
|
(to je 1 zadatak druge grupe)
ove jednadžbe sam dobila:
3z^2=0 (tang ravnina paralelna sa z-osi)
2x-2x^2=0 (tang rav porlazi točkom (1,0,0)
x^2+y^2+z^3-1=0 (točka se nalazi na plohi)
i dobijem tri rješenja:
(0,1,0)
(0,-1,0)
(1,0,0)
i u koji sad uvjet uvrštavamo točke da vidimo koja je točna?
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 10:13 sri, 19. 12. 2012 Naslov: Re: 2. kolokvij |
|
|
Aha, u rješenjima i zadacima su obrnute grupe, to nisam primijetio. :P
Prva i treća jednadžba su ti OK, ali druga nije dobra. Naime, ako pokušavaš konstruirati tangencijalnu ravninu u točki plohe [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex], vrijedi sljedeće:
[tex]2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+3z_0^2(z-z_0)=0[/tex]
I sada, kako je [tex](1,0,0)[/tex] točka te ravnine, uvrštavamo [tex]x=1, y=0, z=0[/tex] i dobivamo:
[tex]2x_0(1-x_0)+2y_0(-y_0)+3z_0^2(-z_0)=0[/tex]
Popraviš li tu jednadžbu i riješiš li ovaj sustav triju jednadžbi, dobit ćeš za rješenje samo jednu točku i to onu danu u rješenju kolokvija. :)
Aha, u rješenjima i zadacima su obrnute grupe, to nisam primijetio.
Prva i treća jednadžba su ti OK, ali druga nije dobra. Naime, ako pokušavaš konstruirati tangencijalnu ravninu u točki plohe [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex], vrijedi sljedeće:
[tex]2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+3z_0^2(z-z_0)=0[/tex]
I sada, kako je [tex](1,0,0)[/tex] točka te ravnine, uvrštavamo [tex]x=1, y=0, z=0[/tex] i dobivamo:
[tex]2x_0(1-x_0)+2y_0(-y_0)+3z_0^2(-z_0)=0[/tex]
Popraviš li tu jednadžbu i riješiš li ovaj sustav triju jednadžbi, dobit ćeš za rješenje samo jednu točku i to onu danu u rješenju kolokvija.
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 10:14 sri, 19. 12. 2012 Naslov: Re: 2. kolokvij |
|
|
[quote="Phoenix"]
3. Možemo, primjerice, promatrati i analizirati funkciju pa vidjeti što se da iz prve zaključiti.
Prije svega, [tex]f(0,0)=0[/tex].
Sada, primijeti da je [tex]f(0,y)=\frac{4}{3}y^3[/tex], a preslikavanje [tex]y \mapsto \frac{4}{3}y^3[/tex] u nuli nema ni (lokalni) minimum ni maksimum.
Zaključujemo, za proizvoljnu okolinu [tex]U[/tex] od [tex]0[/tex], kako mora postojati [tex](0,y_1) \in U[/tex] i [tex](0,y_2) \in U[/tex] takve da je [tex]y_1>0[/tex] i [tex]y_2<0[/tex], vrijedi [tex]f(0,y_2)<f(0,0)<f(0,y_1)[/tex]. Stoga [tex](0,0)[/tex] nije lokalni ekstrem funkcije [tex]f[/tex].
4. Varijable nisu jednoznačne pa da moraš znati "preko kojih točno varijabli prikazati funkciju". Svejedno je je li [tex]f(x,y,z)[/tex] ili [tex]f(u,v,w)[/tex] ili [tex]f(a,b,c)[/tex], jer argumenti te funkcije su samo parametri, zamjene za konkretne vrijednosti.
(Ako ti iz nekog razloga i trebaju varijable da bi nekako zapisala [tex]F[/tex] u nekoj točki, stavi bilo koje i, zbog jasnoće, neka su različite od prethodno korištenih. Recimo, [tex]F(a,b)[/tex] ili [tex]F(u,v)[/tex] je sasvim dovoljno. Ali to ti i neće trebati za krajnje rješenje (ne smiješ ni imati u rješenju) - vidi dolje.)
Samo trebaš napisati sljedeće:
[tex]Dg(x,y,z)=DF(h(x,y,z))Dh(x,y,z)=DF(y^3zx,y^2+x^2) \begin{bmatrix} y^3z & 3y^2zx & y^3x \\ 2x & 2y & 0 \end{bmatrix}[/tex].
[tex]Dg(x,y,z)[/tex] mora biti matrica dimenzija [tex]1 \times 3[/tex], a [tex]DF(y^3zx,y^2+x^2)[/tex] dimenzija [tex]1 \times 2[/tex], što, zbog matričnog množenja s desne strane jednakosti, odgovara gornjoj formuli.
Ovo je i najdalje što možeš izračunati od diferencijala [tex]g[/tex] u točki jer ti [tex]F[/tex] nije zadan (samo znaš da je diferencijabilan na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]).[/quote]
3. JASNO! hvalaa :D
4.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o12.pdf
jeli dovoljno ovako zapisati kao što si ti ili bi trebalo još raspisati kao u primjeru 12.12?
jesmo li tim prikazom odmah pokazali da je g diferencijabilna? ili to moramo na neki drugi način komentirati?
[size=9][color=#999999]Added after 45 seconds:[/color][/size]
[quote="Phoenix"]Aha, u rješenjima i zadacima su obrnute grupe, to nisam primijetio. :P
Prva i treća jednadžba su ti OK, ali druga nije dobra. Naime, ako pokušavaš konstruirati tangencijalnu ravninu u točki plohe [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex], vrijedi sljedeće:
[tex]2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+3z_0^2(z-z_0)=0[/tex]
I sada, kako je [tex](1,0,0)[/tex] točka te ravnine, uvrštavamo [tex]x=1, y=0, z=0[/tex] i dobivamo:
[tex]2x_0(1-x_0)+2y_0(-y_0)+3z_0^2(-z_0)=0[/tex]
Popraviš li tu jednadžbu i riješiš li ovaj sustav triju jednadžbi, dobit ćeš za rješenje samo jednu točku i to onu danu u rješenju kolokvija. :)[/quote]
aaaaaa, jesam li blentavaaaaaaaaa hahahahaha hvala puno !
Phoenix (napisa): |
3. Možemo, primjerice, promatrati i analizirati funkciju pa vidjeti što se da iz prve zaključiti.
Prije svega, [tex]f(0,0)=0[/tex].
Sada, primijeti da je [tex]f(0,y)=\frac{4}{3}y^3[/tex], a preslikavanje [tex]y \mapsto \frac{4}{3}y^3[/tex] u nuli nema ni (lokalni) minimum ni maksimum.
Zaključujemo, za proizvoljnu okolinu [tex]U[/tex] od [tex]0[/tex], kako mora postojati [tex](0,y_1) \in U[/tex] i [tex](0,y_2) \in U[/tex] takve da je [tex]y_1>0[/tex] i [tex]y_2<0[/tex], vrijedi [tex]f(0,y_2)<f(0,0)<f(0,y_1)[/tex]. Stoga [tex](0,0)[/tex] nije lokalni ekstrem funkcije [tex]f[/tex].
4. Varijable nisu jednoznačne pa da moraš znati "preko kojih točno varijabli prikazati funkciju". Svejedno je je li [tex]f(x,y,z)[/tex] ili [tex]f(u,v,w)[/tex] ili [tex]f(a,b,c)[/tex], jer argumenti te funkcije su samo parametri, zamjene za konkretne vrijednosti.
(Ako ti iz nekog razloga i trebaju varijable da bi nekako zapisala [tex]F[/tex] u nekoj točki, stavi bilo koje i, zbog jasnoće, neka su različite od prethodno korištenih. Recimo, [tex]F(a,b)[/tex] ili [tex]F(u,v)[/tex] je sasvim dovoljno. Ali to ti i neće trebati za krajnje rješenje (ne smiješ ni imati u rješenju) - vidi dolje.)
Samo trebaš napisati sljedeće:
[tex]Dg(x,y,z)=DF(h(x,y,z))Dh(x,y,z)=DF(y^3zx,y^2+x^2) \begin{bmatrix} y^3z & 3y^2zx & y^3x \\ 2x & 2y & 0 \end{bmatrix}[/tex].
[tex]Dg(x,y,z)[/tex] mora biti matrica dimenzija [tex]1 \times 3[/tex], a [tex]DF(y^3zx,y^2+x^2)[/tex] dimenzija [tex]1 \times 2[/tex], što, zbog matričnog množenja s desne strane jednakosti, odgovara gornjoj formuli.
Ovo je i najdalje što možeš izračunati od diferencijala [tex]g[/tex] u točki jer ti [tex]F[/tex] nije zadan (samo znaš da je diferencijabilan na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]). |
3. JASNO! hvalaa
4.
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/p_o12.pdf
jeli dovoljno ovako zapisati kao što si ti ili bi trebalo još raspisati kao u primjeru 12.12?
jesmo li tim prikazom odmah pokazali da je g diferencijabilna? ili to moramo na neki drugi način komentirati?
Added after 45 seconds:
Phoenix (napisa): | Aha, u rješenjima i zadacima su obrnute grupe, to nisam primijetio.
Prva i treća jednadžba su ti OK, ali druga nije dobra. Naime, ako pokušavaš konstruirati tangencijalnu ravninu u točki plohe [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex], vrijedi sljedeće:
[tex]2x_0(x-x_0)+2y_0(y-y_0)+3z_0^2(z-z_0)=0[/tex]
I sada, kako je [tex](1,0,0)[/tex] točka te ravnine, uvrštavamo [tex]x=1, y=0, z=0[/tex] i dobivamo:
[tex]2x_0(1-x_0)+2y_0(-y_0)+3z_0^2(-z_0)=0[/tex]
Popraviš li tu jednadžbu i riješiš li ovaj sustav triju jednadžbi, dobit ćeš za rješenje samo jednu točku i to onu danu u rješenju kolokvija. |
aaaaaa, jesam li blentavaaaaaaaaa hahahahaha hvala puno !
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 10:26 sri, 19. 12. 2012 Naslov: Re: 2. kolokvij |
|
|
4. Zadnja dva reda s linka ti ne trebaju. :)
Ali isto tako, ako te pita da prokomentiraš diferencijabilnost funkcije, napisao bih da je kao kompozicija dviju diferencijabilnih također diferencijabilna - to su [tex]F[/tex], po tvrdnji iz zadatka, te pomoćna funkcija [tex]h[/tex] jer su joj funkcije komponente diferencijabilne. A one su diferencijabilne kao produkt, zbroj (ili nešto treće) funkcija projekcija ([tex](x,y) \mapsto x[/tex] ili [tex](x,y) \mapsto y[/tex]) koje su diferencijabilne. Tako nekako. :D
Nije bitno da ovo objašnjenje bude preformalno. S jedne strane, da se vidi da znaš nabrojati da je po produktu, kompoziciji, kvocijentu, čemu već ne, diferencijabilna i to bih naveo. S druge strane, ipak nije lako posvetiti poveći paragraf te dragocjeno vrijeme na takvo objašnjenje - recimo, da umjesto "diferencijabilno" pišeš jednostavno "dfb" i slično. :)
4. Zadnja dva reda s linka ti ne trebaju.
Ali isto tako, ako te pita da prokomentiraš diferencijabilnost funkcije, napisao bih da je kao kompozicija dviju diferencijabilnih također diferencijabilna - to su [tex]F[/tex], po tvrdnji iz zadatka, te pomoćna funkcija [tex]h[/tex] jer su joj funkcije komponente diferencijabilne. A one su diferencijabilne kao produkt, zbroj (ili nešto treće) funkcija projekcija ([tex](x,y) \mapsto x[/tex] ili [tex](x,y) \mapsto y[/tex]) koje su diferencijabilne. Tako nekako.
Nije bitno da ovo objašnjenje bude preformalno. S jedne strane, da se vidi da znaš nabrojati da je po produktu, kompoziciji, kvocijentu, čemu već ne, diferencijabilna i to bih naveo. S druge strane, ipak nije lako posvetiti poveći paragraf te dragocjeno vrijeme na takvo objašnjenje - recimo, da umjesto "diferencijabilno" pišeš jednostavno "dfb" i slično.
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 10:32 sri, 19. 12. 2012 Naslov: |
|
|
e hvala :)
još sad imam samo problem s 2. zadatkom za (x,y) = (0,0)
dobijem da postoje parcijalne u (0,0) i da je jedini kandidat za diferencijal Df(0,0)=0
e sad me zeza limes, pretpostavljam da treba pomoću tm o sendviču a nemrem nikak ocjenit :S
ne znam koristit latex pa se neću ni trudit onako ružno napisati funkciju.
e hvala
još sad imam samo problem s 2. zadatkom za (x,y) = (0,0)
dobijem da postoje parcijalne u (0,0) i da je jedini kandidat za diferencijal Df(0,0)=0
e sad me zeza limes, pretpostavljam da treba pomoću tm o sendviču a nemrem nikak ocjenit :S
ne znam koristit latex pa se neću ni trudit onako ružno napisati funkciju.
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 11:22 sri, 19. 12. 2012 Naslov: |
|
|
Želiš pokazati vrijedi li:
[dtex]\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=0.[/dtex]
Za [tex](x_n,y_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})[/tex] vrijedi [dtex]\frac{x_n^2y_n}{(x_n^2+y_n^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{2\sqrt{2}}{n^3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.[/dtex]
Dakle, postoji niz koji konvergira prema nuli za koji razlomak ne konvergira prema nuli. Samim time, limes ne može biti jednak [tex]0[/tex].
(Možeš, kao i prije, uvrstiti još jedan niz i pokazati da limes i ne postoji, no to nije potrebno kod ovog zadatka.)
Dakle, [tex]f[/tex] nije diferencijabilna u [tex](0,0)[/tex].
Želiš pokazati vrijedi li:
[dtex]\displaystyle \lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^2y}{(x^2+y^2)^{\frac{3}{2}}}=0.[/dtex]
Za [tex](x_n,y_n)=(\frac{1}{n},\frac{1}{n})[/tex] vrijedi [dtex]\frac{x_n^2y_n}{(x_n^2+y_n^2)^{\frac{3}{2}}}=\frac{\frac{1}{n^3}}{\frac{2\sqrt{2}}{n^3}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}.[/dtex]
Dakle, postoji niz koji konvergira prema nuli za koji razlomak ne konvergira prema nuli. Samim time, limes ne može biti jednak [tex]0[/tex].
(Možeš, kao i prije, uvrstiti još jedan niz i pokazati da limes i ne postoji, no to nije potrebno kod ovog zadatka.)
Dakle, [tex]f[/tex] nije diferencijabilna u [tex](0,0)[/tex].
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 10:48 pet, 21. 12. 2012 Naslov: |
|
|
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf
kako točno radim 1 zad?
znači moram provjeriti neprekidnost i derivabilnost funkcije, jel tako?
gledam posebno za točke oblika (0,y) i one koje su različite od (0,y) i tražim parcijalne derivacije, ako postoje i neprekidne su onda je funkcija diferencijabilna. a kako provjerim neprekidnost?
[size=9][color=#999999]Added after 23 minutes:[/color][/size]
može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R
dobila sam da postoje parcijalne derivacije i da je jedinikandidat za diferencijal Df(0,y) = [y 0]
i onaj limes nikak da uspijem rješit :S
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/kolokvij1.pdf
kako točno radim 1 zad?
znači moram provjeriti neprekidnost i derivabilnost funkcije, jel tako?
gledam posebno za točke oblika (0,y) i one koje su različite od (0,y) i tražim parcijalne derivacije, ako postoje i neprekidne su onda je funkcija diferencijabilna. a kako provjerim neprekidnost?
Added after 23 minutes:
može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R
dobila sam da postoje parcijalne derivacije i da je jedinikandidat za diferencijal Df(0,y) = [y 0]
i onaj limes nikak da uspijem rješit :S
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 10:13 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
funkcija je diferencijabilna jer je umnožak i suma diferencijabilnih.
ajmo sada izračunati parcijalne derivacije.
[tex]\partial _kf(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1, i\neq k}^{n}x_i[/tex]
sada ću pokazati zašto:
[tex]\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{n}x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{k}x_i\displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j + \displaystyle\sum _{i=k+1}^{n} x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n} x_j[/tex]
kada parcijalno deriviramo po [tex]x_k[/tex], ova druga suma biti će [tex]0[/tex] jer se [tex]x_k[/tex] u njoj uopće ne pojavljuje, a kada prvu malo raspišeš, vidjet ćeš da je ona jednaka [tex]x_1(x_2+...+x_k+...+x_n)+x_2(x_3+...+x_k+...+x_n)+...+x_k(x_{k+1}+...+x_n)[/tex] i kada to parcijalno deriviraš dobiješ upravo ovo što sam gore napisala.
dobro, ajmo sad izračunati [tex]Df(x)(x)[/tex].
budući da je funkcija realna djelovanje diferencijala na neki vektor ekvivalentno je skalarnom množenju gradijenta s tim vektorom.
dakle
[tex]Df(x)(x)=((\displaystyle\sum_{i=2}^{n}x_i, \displaystyle\sum_{i=1, i\neq 2}^{n}x_i,..., \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}x_i)|(x_1,..., x_n))=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1, i\neq j}^{n}x_i = \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}x_i + \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_i=\displaystyle\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j + \displaystyle\sum_{1\leq j<i \leq n}x_ix_j[/tex]
zamjenom indeksa u drugoj sumi dobivamo da je to upravo
[tex]\displaystyle2\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j[/tex]
EDIT: aha zaboravila sam napisati što je diferencijal, odnosno njegov matrični prikaz. pa to je [tex]1\times n[/tex] matrica s koordinatama [tex]\partial _kf[/tex]. vidi gradijent :)
funkcija je diferencijabilna jer je umnožak i suma diferencijabilnih.
ajmo sada izračunati parcijalne derivacije.
[tex]\partial _kf(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1, i\neq k}^{n}x_i[/tex]
sada ću pokazati zašto:
[tex]\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{n}x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{k}x_i\displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j + \displaystyle\sum _{i=k+1}^{n} x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n} x_j[/tex]
kada parcijalno deriviramo po [tex]x_k[/tex], ova druga suma biti će [tex]0[/tex] jer se [tex]x_k[/tex] u njoj uopće ne pojavljuje, a kada prvu malo raspišeš, vidjet ćeš da je ona jednaka [tex]x_1(x_2+...+x_k+...+x_n)+x_2(x_3+...+x_k+...+x_n)+...+x_k(x_{k+1}+...+x_n)[/tex] i kada to parcijalno deriviraš dobiješ upravo ovo što sam gore napisala.
dobro, ajmo sad izračunati [tex]Df(x)(x)[/tex].
budući da je funkcija realna djelovanje diferencijala na neki vektor ekvivalentno je skalarnom množenju gradijenta s tim vektorom.
dakle
[tex]Df(x)(x)=((\displaystyle\sum_{i=2}^{n}x_i, \displaystyle\sum_{i=1, i\neq 2}^{n}x_i,..., \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}x_i)|(x_1,..., x_n))=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1, i\neq j}^{n}x_i = \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}x_i + \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_i=\displaystyle\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j + \displaystyle\sum_{1\leq j<i \leq n}x_ix_j[/tex]
zamjenom indeksa u drugoj sumi dobivamo da je to upravo
[tex]\displaystyle2\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j[/tex]
EDIT: aha zaboravila sam napisati što je diferencijal, odnosno njegov matrični prikaz. pa to je [tex]1\times n[/tex] matrica s koordinatama [tex]\partial _kf[/tex]. vidi gradijent
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 10:59 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Loo"]funkcija je diferencijabilna jer je umnožak i suma diferencijabilnih.
ajmo sada izračunati parcijalne derivacije.
[tex]\partial _kf(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1, i\neq k}^{n}x_i[/tex]
sada ću pokazati zašto:
[tex]\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{n}x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{k}x_i\displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j + \displaystyle\sum _{i=k+1}^{n} x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n} x_j[/tex]
kada parcijalno deriviramo po [tex]x_k[/tex], ova druga suma biti će [tex]0[/tex] jer se [tex]x_k[/tex] u njoj uopće ne pojavljuje, a kada prvu malo raspišeš, vidjet ćeš da je ona jednaka [tex]x_1(x_2+...+x_k+...+x_n)+x_2(x_3+...+x_k+...+x_n)+...+x_k(x_{k+1}+...+x_n)[/tex] i kada to parcijalno deriviraš dobiješ upravo ovo što sam gore napisala.
dobro, ajmo sad izračunati [tex]Df(x)(x)[/tex].
budući da je funkcija realna djelovanje diferencijala na neki vektor ekvivalentno je skalarnom množenju gradijenta s tim vektorom.
dakle
[tex]Df(x)(x)=((\displaystyle\sum_{i=2}^{n}x_i, \displaystyle\sum_{i=1, i\neq 2}^{n}x_i,..., \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}x_i)|(x_1,..., x_n))=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1, i\neq j}^{n}x_i = \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}x_i + \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_i=\displaystyle\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j + \displaystyle\sum_{1\leq j<i \leq n}x_ix_j[/tex]
zamjenom indeksa u drugoj sumi dobivamo da je to upravo
[tex]\displaystyle2\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j[/tex]
EDIT: aha zaboravila sam napisati što je diferencijal, odnosno njegov matrični prikaz. pa to je [tex]1\times n[/tex] matrica s koordinatama [tex]\partial _kf[/tex]. vidi gradijent :)[/quote]
mislim da ti nije dobro jer index i ti mora biti manji od j
ja sam dobila ovako za diferencijal:
[latex]\begin{bmatrix}
\sum_{i=2}^{n} xi&\sum_{i=3}^{n} xi &\sum_{i=4}^{n} xi & ...& & xn & 0 &
\end{bmatrix}[/latex]
[size=9][color=#999999]Added after 1 minutes:[/color][/size]
ja sam za pokazati diferencijabilnost išla to pomoću definicije. Jeli okej samo ovako komentirati zašto je funkcija dfb(vidi se) ili se mora pomoću def? jer piše "pokažite da je fun dfb..."
Loo (napisa): | funkcija je diferencijabilna jer je umnožak i suma diferencijabilnih.
ajmo sada izračunati parcijalne derivacije.
[tex]\partial _kf(x_1,...,x_n)=\displaystyle\sum_{i=1, i\neq k}^{n}x_i[/tex]
sada ću pokazati zašto:
[tex]\displaystyle\sum_{1\leq i < j\leq n}x_ix_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{n}x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j=\displaystyle\sum _{i=1}^{k}x_i\displaystyle\sum _{j=i+1}^{n}x_j + \displaystyle\sum _{i=k+1}^{n} x_i \displaystyle\sum _{j=i+1}^{n} x_j[/tex]
kada parcijalno deriviramo po [tex]x_k[/tex], ova druga suma biti će [tex]0[/tex] jer se [tex]x_k[/tex] u njoj uopće ne pojavljuje, a kada prvu malo raspišeš, vidjet ćeš da je ona jednaka [tex]x_1(x_2+...+x_k+...+x_n)+x_2(x_3+...+x_k+...+x_n)+...+x_k(x_{k+1}+...+x_n)[/tex] i kada to parcijalno deriviraš dobiješ upravo ovo što sam gore napisala.
dobro, ajmo sad izračunati [tex]Df(x)(x)[/tex].
budući da je funkcija realna djelovanje diferencijala na neki vektor ekvivalentno je skalarnom množenju gradijenta s tim vektorom.
dakle
[tex]Df(x)(x)=((\displaystyle\sum_{i=2}^{n}x_i, \displaystyle\sum_{i=1, i\neq 2}^{n}x_i,..., \displaystyle\sum_{i=1}^{n-1}x_i)|(x_1,..., x_n))=\displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1, i\neq j}^{n}x_i = \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=1}^{j-1}x_i + \displaystyle\sum_{j=1}^{n}x_j\displaystyle\sum_{i=j+1}^{n}x_i=\displaystyle\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j + \displaystyle\sum_{1\leq j<i \leq n}x_ix_j[/tex]
zamjenom indeksa u drugoj sumi dobivamo da je to upravo
[tex]\displaystyle2\sum_{1\leq i<j \leq n}x_ix_j[/tex]
EDIT: aha zaboravila sam napisati što je diferencijal, odnosno njegov matrični prikaz. pa to je [tex]1\times n[/tex] matrica s koordinatama [tex]\partial _kf[/tex]. vidi gradijent |
mislim da ti nije dobro jer index i ti mora biti manji od j
ja sam dobila ovako za diferencijal:
Added after 1 minutes:
ja sam za pokazati diferencijabilnost išla to pomoću definicije. Jeli okej samo ovako komentirati zašto je funkcija dfb(vidi se) ili se mora pomoću def? jer piše "pokažite da je fun dfb..."
|
|
[Vrh] |
|
Loo Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 06. 2012. (16:02:07) Postovi: (D0)16
Spol:
|
Postano: 11:12 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
raspiši si sumu, [tex]x_k[/tex] će ti se pojaviti kada je [tex]i=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_j[/tex] za koje je [tex]j>k[/tex], ali pojavit će se i kada je [tex]j=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_i[/tex] za koje je [tex]i<k[/tex]
uzmi npr. [tex]k=3[/tex].
pojavit će se [tex]x_1x_3, x_2x_3[/tex] za [tex]i=1, 2, j=3[/tex], ali i [tex]x_3x_4, x_3x_5,...,x_3x_n[/tex] za [tex]i=3[/tex]
kada deriviraš po [tex]x_3[/tex] dobiješ [tex]x_1+x_2+x_4+x_5+...+x_n[/tex] što je različito od ovog što si ti napisala
raspiši si sumu, [tex]x_k[/tex] će ti se pojaviti kada je [tex]i=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_j[/tex] za koje je [tex]j>k[/tex], ali pojavit će se i kada je [tex]j=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_i[/tex] za koje je [tex]i<k[/tex]
uzmi npr. [tex]k=3[/tex].
pojavit će se [tex]x_1x_3, x_2x_3[/tex] za [tex]i=1, 2, j=3[/tex], ali i [tex]x_3x_4, x_3x_5,...,x_3x_n[/tex] za [tex]i=3[/tex]
kada deriviraš po [tex]x_3[/tex] dobiješ [tex]x_1+x_2+x_4+x_5+...+x_n[/tex] što je različito od ovog što si ti napisala
|
|
[Vrh] |
|
R2-D2 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10) Postovi: (2F)16
|
Postano: 13:17 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
[quote]može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R [/quote]
okej, [tex] \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{ln(1+h^2y^2)}{h^2} = y^2 [/tex](primijenila sam L'Hospitalovo pravilo), i [tex] \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,y+h) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{0}{h} = 0 [/tex].
Sad trebamo pokazati da je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
[tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{2y^2}{1+x^2y^2 } - \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2}[/tex]
Limes prvog člana je očito [tex]2y_0^2[/tex], dok je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{y^2ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = y_0^2 \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = [t=x^2y^2] = y_0^2\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{ln(1+t)}{t} = y_0^2.[/tex] Dakle, [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = y_0^2 = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
Neprekidnost parcijalne derivacije po y se lako pokaže.
Citat: | može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R |
okej, [tex] \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{ln(1+h^2y^2)}{h^2} = y^2 [/tex](primijenila sam L'Hospitalovo pravilo), i [tex] \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,y+h) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{0}{h} = 0 [/tex].
Sad trebamo pokazati da je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
[tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{2y^2}{1+x^2y^2 } - \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2}[/tex]
Limes prvog člana je očito [tex]2y_0^2[/tex], dok je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{y^2ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = y_0^2 \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = [t=x^2y^2] = y_0^2\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{ln(1+t)}{t} = y_0^2.[/tex] Dakle, [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = y_0^2 = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
Neprekidnost parcijalne derivacije po y se lako pokaže.
|
|
[Vrh] |
|
pedro Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21) Postovi: (19B)16
|
Postano: 23:53 sub, 22. 12. 2012 Naslov: |
|
|
[quote="Loo"]raspiši si sumu, [tex]x_k[/tex] će ti se pojaviti kada je [tex]i=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_j[/tex] za koje je [tex]j>k[/tex], ali pojavit će se i kada je [tex]j=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_i[/tex] za koje je [tex]i<k[/tex]
uzmi npr. [tex]k=3[/tex].
pojavit će se [tex]x_1x_3, x_2x_3[/tex] za [tex]i=1, 2, j=3[/tex], ali i [tex]x_3x_4, x_3x_5,...,x_3x_n[/tex] za [tex]i=3[/tex]
kada deriviraš po [tex]x_3[/tex] dobiješ [tex]x_1+x_2+x_4+x_5+...+x_n[/tex] što je različito od ovog što si ti napisala[/quote]
ee hvalaa. :)
[size=9][color=#999999]Added after 2 minutes:[/color][/size]
[quote="R2-D2"][quote]može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R [/quote]
okej, [tex] \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{ln(1+h^2y^2)}{h^2} = y^2 [/tex](primijenila sam L'Hospitalovo pravilo), i [tex] \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,y+h) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{0}{h} = 0 [/tex].
Sad trebamo pokazati da je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
[tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{2y^2}{1+x^2y^2 } - \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2}[/tex]
Limes prvog člana je očito [tex]2y_0^2[/tex], dok je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{y^2ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = y_0^2 \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = [t=x^2y^2] = y_0^2\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{ln(1+t)}{t} = y_0^2.[/tex] Dakle, [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = y_0^2 = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
Neprekidnost parcijalne derivacije po y se lako pokaže.[/quote]
ja sam išla pokazivat po definciji da je lim (h1,h2)->(0,y0) == 0
možeš tako rješit?
Loo (napisa): | raspiši si sumu, [tex]x_k[/tex] će ti se pojaviti kada je [tex]i=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_j[/tex] za koje je [tex]j>k[/tex], ali pojavit će se i kada je [tex]j=k[/tex] i biti će pomnožen sa svim [tex]x_i[/tex] za koje je [tex]i<k[/tex]
uzmi npr. [tex]k=3[/tex].
pojavit će se [tex]x_1x_3, x_2x_3[/tex] za [tex]i=1, 2, j=3[/tex], ali i [tex]x_3x_4, x_3x_5,...,x_3x_n[/tex] za [tex]i=3[/tex]
kada deriviraš po [tex]x_3[/tex] dobiješ [tex]x_1+x_2+x_4+x_5+...+x_n[/tex] što je različito od ovog što si ti napisala |
ee hvalaa.
Added after 2 minutes:
R2-D2 (napisa): | Citat: | može pomoć s limesom za točke oblika (0,y) y iz R |
okej, [tex] \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,y) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{ln(1+h^2y^2)}{h^2} = y^2 [/tex](primijenila sam L'Hospitalovo pravilo), i [tex] \dfrac{\partial f}{\partial y}(0,y) = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,y+h) - f(0,y)}{h} = \displaystyle \lim_{h\to 0}\dfrac{0}{h} = 0 [/tex].
Sad trebamo pokazati da je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
[tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{2y^2}{1+x^2y^2 } - \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2}[/tex]
Limes prvog člana je očito [tex]2y_0^2[/tex], dok je [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} = \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{y^2ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = y_0^2 \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2y^2} = [t=x^2y^2] = y_0^2\displaystyle \lim_{t\to 0}\dfrac{ln(1+t)}{t} = y_0^2.[/tex] Dakle, [tex] \displaystyle \lim_{(x,y)\to (0,y_0)}\dfrac{\partial f}{\partial x }(x,y) = y_0^2 = \dfrac{\partial f}{\partial x}(0,y_0)[/tex].
Neprekidnost parcijalne derivacije po y se lako pokaže. |
ja sam išla pokazivat po definciji da je lim (h1,h2)→(0,y0) == 0
možeš tako rješit?
|
|
[Vrh] |
|
R2-D2 Forumaš(ica)
Pridružen/a: 11. 10. 2011. (20:32:10) Postovi: (2F)16
|
Postano: 0:51 ned, 23. 12. 2012 Naslov: |
|
|
okej, iz parcijalnih derivacija dobili smo da je kandidat za operator [tex]\begin{pmatrix}
y_0^2 & 0
\end{pmatrix} [/tex]
Sad imamo [tex] | \dfrac{f(x,y) - f(0,y_0) - y_0^2 \cdot x}{\sqrt{x^2 + (y-y_0)^2}}| \le | \dfrac{ f(x,y) - y_0^2 \cdot x}{\sqrt{x^2}}| = | \dfrac{f(x,y) - y_0^2 \cdot x}{x}| = | \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} - y_0^2| [/tex]
Sad ako pustimo [tex](x,y) \to (0,y_0) [/tex] na jednak način kao kod neprekidnosti parcijalne derivacije po x dobijemo da je limes prvog člana [tex]y_0^2 [/tex] pa po teoremu o sendviču slijedi da je cijeli limes 0. Ali, budući da se u zadatku traži da pokažemo da je funkcija klase [tex]C^1[/tex], onda opet trebamo pokazati neprekidnost parcijalnih derivacija.
okej, iz parcijalnih derivacija dobili smo da je kandidat za operator [tex]\begin{pmatrix}
y_0^2 & 0
\end{pmatrix} [/tex]
Sad imamo [tex] | \dfrac{f(x,y) - f(0,y_0) - y_0^2 \cdot x}{\sqrt{x^2 + (y-y_0)^2}}| \le | \dfrac{ f(x,y) - y_0^2 \cdot x}{\sqrt{x^2}}| = | \dfrac{f(x,y) - y_0^2 \cdot x}{x}| = | \dfrac{ln(1+x^2y^2)}{x^2} - y_0^2| [/tex]
Sad ako pustimo [tex](x,y) \to (0,y_0) [/tex] na jednak način kao kod neprekidnosti parcijalne derivacije po x dobijemo da je limes prvog člana [tex]y_0^2 [/tex] pa po teoremu o sendviču slijedi da je cijeli limes 0. Ali, budući da se u zadatku traži da pokažemo da je funkcija klase [tex]C^1[/tex], onda opet trebamo pokazati neprekidnost parcijalnih derivacija.
|
|
[Vrh] |
|
angelika Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51) Postovi: (5F)16
|
|
[Vrh] |
|
Phoenix Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 05. 2010. (18:46:07) Postovi: (164)16
Sarma: -
|
Postano: 19:56 sri, 26. 12. 2012 Naslov: |
|
|
Ako je [tex](x,y)[/tex] ekstrem od [tex]f[/tex] (na elipsi), tada za [tex]g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, g(x,y)=\frac{x^2}{2}+y^2-1[/tex] postoji [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] takav da vrijedi [tex]\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)[/tex].
To je ono što kaže teorem. A sada dalje imamo [tex](3x-2,-2y)=\lambda (x,2y)[/tex], odnosno sustav [tex]3x-2=\lambda x, -2y= \lambda \cdot 2y[/tex].
Iz druge jednadžbe slijedi [tex]\lambda = -1[/tex] ili [tex]y=0[/tex].
Za [tex]\lambda = -1[/tex] iz prve jednadžbe imamo [tex]3x-2=-x[/tex], odnosno [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Sada se treba prisjetiti da vrijedi [tex]g(x,y)=0[/tex] pa iz toga dobivamo [tex]y=\pm \frac{\sqrt{14}}{4}[/tex]. Dakle, prvi kandidati za ekstrem su [tex](\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})[/tex].
Preostaje slučaj [tex]y=0[/tex]. Iz uvjeta [tex]g(x,y)=0[/tex] dobivamo [tex]x=\pm \sqrt{2}[/tex], stoga su druga dva kandidata [tex](\pm \sqrt{2},0)[/tex].
Sada računamo koliko je [tex]f(x,y)[/tex] za sva četiri kandidata. Dobivamo:
[tex]f(\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}-2 \cdot \frac{1}{2}-(\pm \frac{\sqrt{14}}{4})^2=\frac{3}{4}-1-\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}[/tex]
[tex]f(\sqrt{2},0)=\frac{3}{2}\cdot 2-2\sqrt{2}-0^2=3-2\sqrt{2}[/tex]
[tex]f(-\sqrt{2},0)=\frac{3}{2}\cdot 2-2(-\sqrt{2})-0^2=3+2\sqrt{2}[/tex]
Konačno, globalni minimum se postiže u točkama [tex](\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})[/tex], a globalni maksimum u točki [tex](-\sqrt{2},0)[/tex].
Ako je [tex](x,y)[/tex] ekstrem od [tex]f[/tex] (na elipsi), tada za [tex]g:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, g(x,y)=\frac{x^2}{2}+y^2-1[/tex] postoji [tex]\lambda \in \mathbb{R}[/tex] takav da vrijedi [tex]\nabla f(x,y)=\lambda \nabla g(x,y)[/tex].
To je ono što kaže teorem. A sada dalje imamo [tex](3x-2,-2y)=\lambda (x,2y)[/tex], odnosno sustav [tex]3x-2=\lambda x, -2y= \lambda \cdot 2y[/tex].
Iz druge jednadžbe slijedi [tex]\lambda = -1[/tex] ili [tex]y=0[/tex].
Za [tex]\lambda = -1[/tex] iz prve jednadžbe imamo [tex]3x-2=-x[/tex], odnosno [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Sada se treba prisjetiti da vrijedi [tex]g(x,y)=0[/tex] pa iz toga dobivamo [tex]y=\pm \frac{\sqrt{14}}{4}[/tex]. Dakle, prvi kandidati za ekstrem su [tex](\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})[/tex].
Preostaje slučaj [tex]y=0[/tex]. Iz uvjeta [tex]g(x,y)=0[/tex] dobivamo [tex]x=\pm \sqrt{2}[/tex], stoga su druga dva kandidata [tex](\pm \sqrt{2},0)[/tex].
Sada računamo koliko je [tex]f(x,y)[/tex] za sva četiri kandidata. Dobivamo:
[tex]f(\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})=\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}-2 \cdot \frac{1}{2}-(\pm \frac{\sqrt{14}}{4})^2=\frac{3}{4}-1-\frac{7}{8}=-\frac{9}{8}[/tex]
[tex]f(\sqrt{2},0)=\frac{3}{2}\cdot 2-2\sqrt{2}-0^2=3-2\sqrt{2}[/tex]
[tex]f(-\sqrt{2},0)=\frac{3}{2}\cdot 2-2(-\sqrt{2})-0^2=3+2\sqrt{2}[/tex]
Konačno, globalni minimum se postiže u točkama [tex](\frac{1}{2},\pm \frac{\sqrt{14}}{4})[/tex], a globalni maksimum u točki [tex](-\sqrt{2},0)[/tex].
|
|
[Vrh] |
|
|