Zadatak s vjezbi (objasnjenje gradiva)

[etaoin shrdlu]

Molim vas za pomoc!

Imali smo nehomogenu linearnu diferencijalnu jednadzbu s nekonstantnim koeficijentima

[tex]u'+\dfrac{x}{1-x^2}u = \dfrac{2}{1-x^2}[/tex] ................ (*)

Rjesavali smo homogenu, pa smo dobili

[tex]u_H (x) = \sqrt{\text{C} (x^2-1)}[/tex]

Onda trazimo partikularno rjesenje. Pretpostavljamo rjesenje u obliku

[tex]u (x)= \sqrt{\text{C}(x) (x^2-1)}[/tex]

I sad je asistent Erceg rekao da uvrstimo ovaj [tex]u(x)[/tex] u (*) i trazimo [tex]\text{C}(x)[/tex].

I sad sam to uvrstio, ali kako iz ovoga dobiti [tex]\text{C}(x)[/tex] ??

[tex]\dfrac{2 x \text{C}(x)+\left(x^2 -1\right) \text{C}'(x)}{2 \sqrt{\left(x^2 - 1\right) \text{C}(x)}}+\dfrac{x}{1-x^2}\sqrt{\text{C}(x)\left(x^2-1\right)}=\dfrac{2}{1-x^2}[/tex]



Asistent je rekao da on to nece racunati, nego da se dobije da je jedno partikularno rjesenje [tex]2x[/tex]. Moze li mi netko objasniti kako se do toga doslo (a da nije pogadjanje)?

Hvala!

[shimija]

Trik je kod varijacije konstante uvijek iskoristiti da
je funkcija od koje krećemo rješenje homogene
jednadžbe. Iz tog razloga maksimalno pojednostavimo
život tako da ne deriviramo do kraja sve, nego:

[dtex]
(\sqrt{C})'\sqrt{x^2-1} + \sqrt{C}(\sqrt{x^2-1})' + \frac{x}{1-x^2}\sqrt{C(x^2-1)} = \frac{2}{1-x^2}
[/dtex]

Drugi i treći pribrojnik na lijevoj strani daju nulu jer je rješenje pripadne homogene jednadžbe.

Sad dobivamo

[dtex]
\sqrt{C} = \int \frac{2}{(1-x^2)\sqrt{x^2-1}} = \frac{2x}{\sqrt{x^2-1}} + D
[/dtex]

i samo se uvrsti i dobije se što treba

[Luuka]

asistent Erceg

_________________
"Bolje bi prolazio na faxu da sam na drogama nego na netu" - by a friend of mine
"Poslije spavanja doma spavanje bilo di mi je najdraža stvar" - by the same guy

[etaoin shrdlu]

Puno hvala!!

I pridruzujem se Luuki