zadatak s demonstratura (zadatak)

[Loo]

obećala sam objaviti rješenje 14. zadatka iz 4. zadaće jer ga nismo stigli riješiti, pa evo ga:

ako polinom ima dvije dvostruke nultočke, tada vrijedi
[tex]p(x)=(x-\alpha )^2(x-\beta )^2[/tex]

kada se to sve iskvadrira i izmnoži dobijemo:
[tex]p(x)=x^4+(-2\alpha - 2\beta)x^3 + (\alpha ^2+4\alpha \beta + \beta ^2)x^2+(-2\alpha ^2\beta - 2\alpha \beta ^2)x + \alpha ^2 \beta ^2[/tex]

po teoremu o jednakosti polinoma, mora vrijediti:
[tex]-2\alpha -2\beta =-4\Rightarrow \alpha + \beta =2[/tex]
[tex]\alpha ^2+4\alpha \beta + \beta ^2=10 \Rightarrow (\alpha + \beta)^2+2\alpha \beta =10 \Rightarrow \alpha \beta =3[/tex]
[tex]-2\alpha ^2\beta - 2\alpha \beta ^2=a \Rightarrow -2\alpha \beta (\alpha + \beta)=a \Rightarrow a=-12[/tex]
[tex]\alpha ^2 \beta ^2=b \Rightarrow b=9[/tex]

(ove zadnje 4 jednadžbe ste mogli dobiti i direktno uvrštavanjem u vieteove formule [tex]x_1=x_2=\alpha , x_3=x_4=\beta[/tex])

Added after 23 minutes:

također me dosta ljudi pitalo za 5. zadatak iz zadaće, pa evo i njega:
zapišimo [tex]f(x)=\sum_{k=0}^{n} a_kx^k[/tex] vrijedi [tex]f(1)=\sum_{k=0}^{n} a_k, f(-1)=\sum_{k=0}^{n} a_k(-1)^k[/tex]
pogledajmo sada [tex]f(1)+f(-1)=\sum_{k=0}^{n}((-1)^k+1 )a_k[/tex]
izraz [tex](-1)^k+1[/tex] je [tex]0[/tex] za neparne [tex]k[/tex], a [tex]2 [/tex] za parne. slijedi da je [tex]f(1)+f(-1)=2\sum_{k paran, 0\leq k \leq n} a_k[/tex] (raspišite si malo ove sume ako je nejasno)
tražena suma je stoga [tex]\frac {f(1)+f(-1)}{2}[/tex] što je jednako [tex]\frac {3^n+1}{2}[/tex]