|
Neka je A linearni operator na konačnodimenzionalnom
vektorskom prostoru V, dim V ≥ 1.
Kad nastojimo dijagonalizirati taj operator ili, budući da to
nije uvijek moguće, naći bazu prostora V u kojoj će
matrica pridružena tom operatoru biti što jednostavnija,
želimo bazu formirati tako da ona sadrži što više svojstvenih vektora.
Tada će u svakom stupcu matrice operatora koji odgovara
nekom svojstvenom vektoru u bazi biti 0 na svim mjestima
osim jednog, na kojem je pridružena svojstvena vrijednost
(koja, posebno, također može biti jednaka 0, što sad nije
bitno). Dakako, svojstveni vektori koje uvrštavamo u bazu
moraju
činiti linearno nezavisan skup.
U tom smislu, važno je znati da svojstveni vektori koji
dolaze od različitih svojstvenih vrijednosti uvijek čine
linearno nezavisan skup. Pritom mislimo na [b]po jedan
svojstveni vektor pridružen različitim svojstvenim
vrijednostima. [/b]
No, vrijedi i više od toga. Ako nekoj svojstvenoj vrijednosti
pripada svojstveni potprostor dimenzije veće od 1 (tj.
geometrijska kratnost joj je veća od 1) pa iz tog potprostora uzmemo
linearno nezavisan podskup vektora, možemo "kombinirati"
te vektore sa svojstvenim vektorima drugih svojstvenih
vrijednosti (no, uvijek biranjem linearno
nezavisnih vektora iz pojedinog svojstvenog potprostora)
pa ćemo opet,
kao uniju izabranih podskupova, dobiti linearno
nezavisan skup
vektora. U "najpovoljnijem" slučaju na taj način
možemo
sastaviti bazu
cijelog prostora i tada je operator dijagonalizabilan.
Primjerice, ako je dim V = n (n≥1) i A ima upravo
n različitih svojstvenih vrijednosti, sigurni smo da
se A dijagonalizira, u
bazi sastavljenoj od po jednog svojstvenog vektora
za svaku svojstvenu vrijednost.
No, neka je npr. dim V = 8 i neka su λ1, λ2 i λ3 svojstvene
vrijednosti s algebarskim kratnostima redom
jednakima 2,3,3.
Sad možemo unaprijed biti sigurni samo u to
da ćemo naći linearno nezavisan podskup od
barem 3 svojstvena vektora
(od različitih svojstvenih vrijednosti).
Dijagonalizacija će biti moguća samo ako su
sve tri geometrijske kratnosti jednake
algebarskima, dakle 2,3,3. U slučaju da su npr.
geometrijske kratnosti redom jednake 2,3,2, moći
ćemo sastaviti linearno nezavisan podskup od 7 svojstvenih vektora, a
pritom ćemo
samo trebati pripaziti da iz odgovarajućih svojstvenih
potprostora uzmemo ne bilo koja dva (za λ1 i za λ3)
odnosno
ne bilo koja tri (za λ2) svojstvena vektora, nego da izabrani
vektori budu linearno nezavisni unutar svojih svojstvenih potprostora.
Za "ukupnu, međusobnu" linearnu nezavisnost ne trebamo
se brinuti, jer nju će osigurati različitost svojstvenih
vrijednosti kojima pripadaju ti potprostori.
Dokažimo sada spomenutu ključnu tvrdnju:
[b]PROPOZICIJA 1.
Neka su λ1,λ2,...,λk različite svojstvene vrijednosti
linearnog operatora A,
a v1,v2,...,vk neki njima redom pridruženi
svojstveni vektori. Tada je skup
{v1,v2,...,vk} linearno nezavisan.[/b]
Iako ovdje nećemo provoditi dokaz u kojem se
formalno primjenjuje matematička indukcija, valja
uočiti kako je
za k=1 tvrdnja trivijalno ispunjena, a također je
korisno (barem za vježbu)
samostalno provjeriti tvrdnju za slučaj k=2
(koji je pokriven općim dokazom).
Pretpostavimo, suprotno tvrdnji, da je navedeni skup
linearno zavisan. Tada se neki vektor iz tog skupa može
prikazati kao linearna kombinacija prethodnih, a da
prethodni čine linearno nezavisan skup.
Bez ograničenja općenitosti, radi jednostavnosti označavanja, možemo
uzeti da je {v1,v2,...,v(k-1)} linearno nezavisan, a da se
vk može napisati kao linearna kombinacija vk = ∑ αjvj
(1≤ j≤ k-1). Sad djelujemo operatorom A na ovu
jednakost
pa će se svi vektori pomnožiti pripadnim svojstvenim vrijednostima:
λk vk = ∑ αj λj vj.
Razlikujemo dva slučaja: λk = 0 i λk ≠ 0.
U prvom slučaju svi λj za 1≤ j≤ k-1 različiti su od 0.
Imamo linearnu kombinaciju vektora v1,v2,...,v(k-1)
jednaku nulvektoru pa svi koeficijenti moraju biti
jednaki 0,
a to znači da su svi αj=0 i tada je dokaz završen, jer
ne može
biti vk = ∑ αjvj = 0 (vk je svojstveni vektor!).
U drugom slučaju pomnožimo jednakost inverzom od λk
pa dobivamo vk = ∑ αj (λj λk^(–1))vj . Zbog jednoznačnosti
prikaza vk slijedi da za svaki j vrijedi αj = αj (λj λk^(–1)).
Ako je neki αj različit od 0, imamo 1 = λj λk^(–1), dakle
λj = λk, suprotno pretpostavci o međusobnoj
različitosti svih razmatranih svojstvenih vrijednosti.
To opet znači da su svi
αj=0 i time je dokaz završen.
Drugu navedenu važnu tvrdnju nećemo ovdje detaljno
dokazivati jer se lako svodi na posljedicu Propozicije 1.
Bitno je uočiti sljedeće: ako smo iz nekog svojstvenog
potprostora mogli uzeti više od jednog svojstvenog
vektora,
ali tako da su izabrani vektori linearno nezavisni,
pa kad
gledamo "veliku" linearnu kombinaciju svih izabranih
vektora
iz različitih svojstvenih potprostora, "parcijalna"
linearna kombinacija vektora iz pojedinog svojstvenog
potprostora ili
je također svojstveni vektor ili je nulvektor.
Tada se "velika"
linearna kombinacija reducira na izraz u kojem je svaki
svojstveni potprostor zastupljen samo jednim vektorom, koji
je ili svojstveni ili nulvektor. Primijeni se Propozicija 1 i lako
slijedi zaključak
da je čitav promatrani skup svojstvenih vektora linearno
nezavisan.
(Kako bi se izbjeglo kompliciranje s oznakama, korisno
je prethodno razmatranje napisati u slučaju s
npr. 4 različite svojstvene vrijednosti, od kojih svaka daje
po 2-3 linearno nezavisna svojstvena vektora; onda se
"velika" linearna kombinacija od 4 puta po 2-3 vektora sažme
na linearnu kombinaciju 4 vektora od kojih je svaki ili
svojstveni
ili nulvektor, a dalje je lako).
Neka je A linearni operator na konačnodimenzionalnom
vektorskom prostoru V, dim V ≥ 1.
Kad nastojimo dijagonalizirati taj operator ili, budući da to
nije uvijek moguće, naći bazu prostora V u kojoj će
matrica pridružena tom operatoru biti što jednostavnija,
želimo bazu formirati tako da ona sadrži što više svojstvenih vektora.
Tada će u svakom stupcu matrice operatora koji odgovara
nekom svojstvenom vektoru u bazi biti 0 na svim mjestima
osim jednog, na kojem je pridružena svojstvena vrijednost
(koja, posebno, također može biti jednaka 0, što sad nije
bitno). Dakako, svojstveni vektori koje uvrštavamo u bazu
moraju
činiti linearno nezavisan skup.
U tom smislu, važno je znati da svojstveni vektori koji
dolaze od različitih svojstvenih vrijednosti uvijek čine
linearno nezavisan skup. Pritom mislimo na po jedan
svojstveni vektor pridružen različitim svojstvenim
vrijednostima.
No, vrijedi i više od toga. Ako nekoj svojstvenoj vrijednosti
pripada svojstveni potprostor dimenzije veće od 1 (tj.
geometrijska kratnost joj je veća od 1) pa iz tog potprostora uzmemo
linearno nezavisan podskup vektora, možemo "kombinirati"
te vektore sa svojstvenim vektorima drugih svojstvenih
vrijednosti (no, uvijek biranjem linearno
nezavisnih vektora iz pojedinog svojstvenog potprostora)
pa ćemo opet,
kao uniju izabranih podskupova, dobiti linearno
nezavisan skup
vektora. U "najpovoljnijem" slučaju na taj način
možemo
sastaviti bazu
cijelog prostora i tada je operator dijagonalizabilan.
Primjerice, ako je dim V = n (n≥1) i A ima upravo
n različitih svojstvenih vrijednosti, sigurni smo da
se A dijagonalizira, u
bazi sastavljenoj od po jednog svojstvenog vektora
za svaku svojstvenu vrijednost.
No, neka je npr. dim V = 8 i neka su λ1, λ2 i λ3 svojstvene
vrijednosti s algebarskim kratnostima redom
jednakima 2,3,3.
Sad možemo unaprijed biti sigurni samo u to
da ćemo naći linearno nezavisan podskup od
barem 3 svojstvena vektora
(od različitih svojstvenih vrijednosti).
Dijagonalizacija će biti moguća samo ako su
sve tri geometrijske kratnosti jednake
algebarskima, dakle 2,3,3. U slučaju da su npr.
geometrijske kratnosti redom jednake 2,3,2, moći
ćemo sastaviti linearno nezavisan podskup od 7 svojstvenih vektora, a
pritom ćemo
samo trebati pripaziti da iz odgovarajućih svojstvenih
potprostora uzmemo ne bilo koja dva (za λ1 i za λ3)
odnosno
ne bilo koja tri (za λ2) svojstvena vektora, nego da izabrani
vektori budu linearno nezavisni unutar svojih svojstvenih potprostora.
Za "ukupnu, međusobnu" linearnu nezavisnost ne trebamo
se brinuti, jer nju će osigurati različitost svojstvenih
vrijednosti kojima pripadaju ti potprostori.
Dokažimo sada spomenutu ključnu tvrdnju:
PROPOZICIJA 1.
Neka su λ1,λ2,...,λk različite svojstvene vrijednosti
linearnog operatora A,
a v1,v2,...,vk neki njima redom pridruženi
svojstveni vektori. Tada je skup
{v1,v2,...,vk} linearno nezavisan.
Iako ovdje nećemo provoditi dokaz u kojem se
formalno primjenjuje matematička indukcija, valja
uočiti kako je
za k=1 tvrdnja trivijalno ispunjena, a također je
korisno (barem za vježbu)
samostalno provjeriti tvrdnju za slučaj k=2
(koji je pokriven općim dokazom).
Pretpostavimo, suprotno tvrdnji, da je navedeni skup
linearno zavisan. Tada se neki vektor iz tog skupa može
prikazati kao linearna kombinacija prethodnih, a da
prethodni čine linearno nezavisan skup.
Bez ograničenja općenitosti, radi jednostavnosti označavanja, možemo
uzeti da je {v1,v2,...,v(k-1)} linearno nezavisan, a da se
vk može napisati kao linearna kombinacija vk = ∑ αjvj
(1≤ j≤ k-1). Sad djelujemo operatorom A na ovu
jednakost
pa će se svi vektori pomnožiti pripadnim svojstvenim vrijednostima:
λk vk = ∑ αj λj vj.
Razlikujemo dva slučaja: λk = 0 i λk ≠ 0.
U prvom slučaju svi λj za 1≤ j≤ k-1 različiti su od 0.
Imamo linearnu kombinaciju vektora v1,v2,...,v(k-1)
jednaku nulvektoru pa svi koeficijenti moraju biti
jednaki 0,
a to znači da su svi αj=0 i tada je dokaz završen, jer
ne može
biti vk = ∑ αjvj = 0 (vk je svojstveni vektor!).
U drugom slučaju pomnožimo jednakost inverzom od λk
pa dobivamo vk = ∑ αj (λj λk^(–1))vj . Zbog jednoznačnosti
prikaza vk slijedi da za svaki j vrijedi αj = αj (λj λk^(–1)).
Ako je neki αj različit od 0, imamo 1 = λj λk^(–1), dakle
λj = λk, suprotno pretpostavci o međusobnoj
različitosti svih razmatranih svojstvenih vrijednosti.
To opet znači da su svi
αj=0 i time je dokaz završen.
Drugu navedenu važnu tvrdnju nećemo ovdje detaljno
dokazivati jer se lako svodi na posljedicu Propozicije 1.
Bitno je uočiti sljedeće: ako smo iz nekog svojstvenog
potprostora mogli uzeti više od jednog svojstvenog
vektora,
ali tako da su izabrani vektori linearno nezavisni,
pa kad
gledamo "veliku" linearnu kombinaciju svih izabranih
vektora
iz različitih svojstvenih potprostora, "parcijalna"
linearna kombinacija vektora iz pojedinog svojstvenog
potprostora ili
je također svojstveni vektor ili je nulvektor.
Tada se "velika"
linearna kombinacija reducira na izraz u kojem je svaki
svojstveni potprostor zastupljen samo jednim vektorom, koji
je ili svojstveni ili nulvektor. Primijeni se Propozicija 1 i lako
slijedi zaključak
da je čitav promatrani skup svojstvenih vektora linearno
nezavisan.
(Kako bi se izbjeglo kompliciranje s oznakama, korisno
je prethodno razmatranje napisati u slučaju s
npr. 4 različite svojstvene vrijednosti, od kojih svaka daje
po 2-3 linearno nezavisna svojstvena vektora; onda se
"velika" linearna kombinacija od 4 puta po 2-3 vektora sažme
na linearnu kombinaciju 4 vektora od kojih je svaki ili
svojstveni
ili nulvektor, a dalje je lako).
|
