|
U skladu sa najavom, napisat ću ponešto o rješavanju
5. zadatka na kolokviju.
Po grupama, to je bio zadatak:
A. (a) Neka je λ svojstvena vrijednost linearnog operatora
A. Napišite i obrazložite kako se izračunava geometrijska
kratnost te svojstvene vrijednosti.
(b) Neka je A linearni operator na 3-dimenzionalnom realnom
prostoru V, takav da su svi koeficijenti karakterističnog
polinoma operatora A međusobno jednaki. Odredite A
i ispitajte može li se taj operator dijagonalizrati.
B. (a) Neka je λ svojstvena vrijednost linearnog operatora
A. Definirajte njezinu algebarsku kratnost i njezinu
geometrijsku kratnost.
(b) Neka je A linearni operator na 3-dimenzionalnom realnom
prostoru V, takav da je r(A) = 2, tr(A) = 0. Kakav oblik ima
karakteristični polinom operatora A? Zadajte jedan takav
operator.
Rješenja:
A. (a) Geometrijska kratnost po definiciji je dimenzija pripadnog
svojstvenog potprostora svojetvene vrijednosti λ.
Taj potprostor je {x iz V: Ax = λx} = Ker (A-λI) pa je
njegova dimenzija jednaka defektu od A-λI.
Zato je geom. kratnost jednaka n - rang(A-λI), a
rang se izračunava uobičajenim postupkom.
(Ovako je najkraće. Većina je tumačila određivanje
dimenzije svojstvenog potprostora pomoću rješavanja
sustava, što je korektno, premda nije nužno, ali u
tom opisu rješavanja sustava često se nalaze mnoge i
raznovrsne pogreške).
(b) Koeficijent uz najvišu potenciju λ^n uvijek je (-1)^n, u
ovom slučaju to je -1 pa su svi koeficijenti jednaki -1.
Dakle, k(λ) = -(λ^3 + λ^2 + λ + 1) = -(λ+1)(λ^2 + 1).
Rang operatora je 3 jer mu je determinanta jednaka -1
(slobodni član polinoma). Operator se ne može
dijagonalizirati jer ima samo jednu realnu svojstvenu
vrijednost, to je -1 i dvije kompleksne koje nisu realne.
U ovom zadatku najčešća je pogreška bila miješanje
koeficijenata polinoma i svojstvenih vrijednosti.
Zadano je da su koeficijenti jednaki, a ne svojstvene
vrijednosti. To bitno mijenja stvar. Nadalje, mnogi nisu
uočili da je zajednička vrijednost koeficijenata
upravo -1, a ne "neki a". Međutim, i s tim se moglo
zaključiti o rangu i mogućnosti dijagonalizacije.
Bilo je i pojedinačnih, uobičajenih zabluda poput npr. da
se operator može dijagonalizirati ako i samo ako mu
je rang maksimalan, što je potpuno pogrešno.
(Za bilo koji rang, osim 0, postoje operatori tog ranga
koji se mogu i koji se ne mogu dijagonalizirati).
B. (a) Definicije su dobro poznate, no mnogi ne znaju formulirati
što je to algebarska kratnost pa je kod toga učinjeno
veliko šarenilo pogrešaka. Može se prepričati "svojim
riječima", no tako da bude istinito.
(b) Treba se sjetiti da se trag i determinanta pojavljuju
kao neki od koeficijenata u karakterističnom
polinomu, pa je opći oblik tog polinoma
-λ^3 + c λ , gdje je c neki realni broj.
Naime, slobodni član je 0, jer je to det A, a rang A
nije maksimalan. Primjer se lako napiše.
I ovdje je bilo kojekakvih pogrešaka, između ostalog
da se za prostor dimenzije 3 stalno piše polinom
stupnja 2 kao karakteristični.
Eto, možda ovo pomogne kod učenja.
Kao mala nagrada onima koji su na 5. zadatku dobli barem 8
bodova, evo popisa (i neki od njih imali su sitnih pogrešaka,
ali su u biti riješili zadatak pa im nisu previše uzimane u obzir):
1191223895 10
1191217903 9
1191223330 9
1191222905 9
1191224824 8
1191224140 8
1191223400 8
1191223421 8
1191220199 8
0082044116 8
1191223458 8
U skladu sa najavom, napisat ću ponešto o rješavanju
5. zadatka na kolokviju.
Po grupama, to je bio zadatak:
A. (a) Neka je λ svojstvena vrijednost linearnog operatora
A. Napišite i obrazložite kako se izračunava geometrijska
kratnost te svojstvene vrijednosti.
(b) Neka je A linearni operator na 3-dimenzionalnom realnom
prostoru V, takav da su svi koeficijenti karakterističnog
polinoma operatora A međusobno jednaki. Odredite A
i ispitajte može li se taj operator dijagonalizrati.
B. (a) Neka je λ svojstvena vrijednost linearnog operatora
A. Definirajte njezinu algebarsku kratnost i njezinu
geometrijsku kratnost.
(b) Neka je A linearni operator na 3-dimenzionalnom realnom
prostoru V, takav da je r(A) = 2, tr(A) = 0. Kakav oblik ima
karakteristični polinom operatora A? Zadajte jedan takav
operator.
Rješenja:
A. (a) Geometrijska kratnost po definiciji je dimenzija pripadnog
svojstvenog potprostora svojetvene vrijednosti λ.
Taj potprostor je {x iz V: Ax = λx} = Ker (A-λI) pa je
njegova dimenzija jednaka defektu od A-λI.
Zato je geom. kratnost jednaka n - rang(A-λI), a
rang se izračunava uobičajenim postupkom.
(Ovako je najkraće. Većina je tumačila određivanje
dimenzije svojstvenog potprostora pomoću rješavanja
sustava, što je korektno, premda nije nužno, ali u
tom opisu rješavanja sustava često se nalaze mnoge i
raznovrsne pogreške).
(b) Koeficijent uz najvišu potenciju λ^n uvijek je (-1)^n, u
ovom slučaju to je -1 pa su svi koeficijenti jednaki -1.
Dakle, k(λ) = -(λ^3 + λ^2 + λ + 1) = -(λ+1)(λ^2 + 1).
Rang operatora je 3 jer mu je determinanta jednaka -1
(slobodni član polinoma). Operator se ne može
dijagonalizirati jer ima samo jednu realnu svojstvenu
vrijednost, to je -1 i dvije kompleksne koje nisu realne.
U ovom zadatku najčešća je pogreška bila miješanje
koeficijenata polinoma i svojstvenih vrijednosti.
Zadano je da su koeficijenti jednaki, a ne svojstvene
vrijednosti. To bitno mijenja stvar. Nadalje, mnogi nisu
uočili da je zajednička vrijednost koeficijenata
upravo -1, a ne "neki a". Međutim, i s tim se moglo
zaključiti o rangu i mogućnosti dijagonalizacije.
Bilo je i pojedinačnih, uobičajenih zabluda poput npr. da
se operator može dijagonalizirati ako i samo ako mu
je rang maksimalan, što je potpuno pogrešno.
(Za bilo koji rang, osim 0, postoje operatori tog ranga
koji se mogu i koji se ne mogu dijagonalizirati).
B. (a) Definicije su dobro poznate, no mnogi ne znaju formulirati
što je to algebarska kratnost pa je kod toga učinjeno
veliko šarenilo pogrešaka. Može se prepričati "svojim
riječima", no tako da bude istinito.
(b) Treba se sjetiti da se trag i determinanta pojavljuju
kao neki od koeficijenata u karakterističnom
polinomu, pa je opći oblik tog polinoma
-λ^3 + c λ , gdje je c neki realni broj.
Naime, slobodni član je 0, jer je to det A, a rang A
nije maksimalan. Primjer se lako napiše.
I ovdje je bilo kojekakvih pogrešaka, između ostalog
da se za prostor dimenzije 3 stalno piše polinom
stupnja 2 kao karakteristični.
Eto, možda ovo pomogne kod učenja.
Kao mala nagrada onima koji su na 5. zadatku dobli barem 8
bodova, evo popisa (i neki od njih imali su sitnih pogrešaka,
ali su u biti riješili zadatak pa im nisu previše uzimane u obzir):
1191223895 10
1191217903 9
1191223330 9
1191222905 9
1191224824 8
1191224140 8
1191223400 8
1191223421 8
1191220199 8
0082044116 8
1191223458 8
|
