Pomoću funkcija izvodnica riješiti rekurzivnu relaciju (zadatak)

[vale92]

Primjenom funkcija izvodnica riješite rekurzivnu relaciju:

a_{n}=8*a_{n-1}+10^{n-1}, a_{1}=1;


----------------------------------------------------------------------------------------
nemam ideje kako riješiti zadatak po danim uputama . . .

znam otprilike kako bi izgledalo kada bi rješavao normalno kao lin. nehomogenu jednadžbu, al ovak ne.
pa ako bi tko bio voljan pomoći bio bih zahvalan.

[Leolinus]

Može se i sve pomaknuti za jedan indeks tj. rekurzivna relacija može izgledati:

[dtex]\tag1 a_{n+1} = 8a_{n} + 10^{n}, ~~ a_0 = 1[/dtex]

No uzet ćemo zadanu verziju.

Funkcija izvodnica od [tex]a_n[/tex] izgleda ovako:

[dtex]\tag2 A(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3\ldots[/dtex]

Da krenemo od n = 1, izgledala bi:

[dtex]\tag3 A(x) - a_0= \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \ldots[/dtex]

Recimo da ju pomnožimo s x, izgledala bi:

[dtex]\tag4 xA(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^{n+1} = a_0x + a_1x^2 + a_2x^3 + a_3x^4\ldots[/dtex]

Ajmo sada nazad na zadatak. Sumiramo po indeksima tako da idu od 1 pa na dalje.
Pošto u rekurzivnoj relaciji postoji [tex]a_{n-1}[/tex] moramo uzeti sumaciju od 1.

[dtex]\tag5 \sum_{n = 1}^{\infty}a_nx^n = 8\sum_{n = 1}^{\infty}a_{n-1}x^n + \sum_{n = 1}^{\infty}10^{n-1}x^n[/dtex]

Da kreneš raspisivati svaki član od [tex](5)[/tex] vidio bi da ti lijeva strana jednakosti liči na [tex](3)[/tex], dok prvi član na desnoj strani jednakosti liči na [tex](4)[/tex], a drugi član ako zamijeniš [tex]n - 1 = i[/tex] dobit ćeš:

[dtex] \sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i + 1} = x\sum_{i = 0}^{\infty}10^{i}x^{i} = x\sum_{i = 0}^{\infty}{(10x)}^{i} = x\cdot\frac{1}{1-10x} [/dtex]

Znači, završna forma izgleda:

[dtex]A(x) - a_0 = 8xA(x) + \frac{x}{1-10x}[/dtex]

Sad je cilj naći završni oblik za [tex]A(x)[/tex]. [tex]a_0 = 0[/tex] što slijedi iz rekurzivne relacije.

[dtex]\tag6 A(x) =\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)}[/dtex]

Parcijalnim razlomcima desnu stranu jednakosti u [tex](6)[/tex] možemo rastaviti u formu:

[dtex]\frac{x}{(1-10x)(1 - 8x)} = \frac{A}{1-10x} + \frac{B}{1 - 8x}[/dtex]

Nakon malo računa dobiju se koeficijenti A i B te funkcija izvodnica poprima novi i završni oblik:

[dtex]\tag7 A(x) =\frac{1}{2}\frac{1}{1-10x} - \frac{1}{2}\frac{1}{1-8x}[/dtex]

Ako bi sada [tex](7)[/tex] raspisali isto preko suma dobili bi sljedeće:

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(10x)^n - \frac{1}{2}\sum_{n = 0}^{\infty}(8x)^n [/dtex]

Preostaje nam izraz s desne strane ujediniti u jednu sumu i dobivamo rješenje rekurzivne relacije.

[dtex] \sum_{n = 0}^{\infty}a_nx^n = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{2}(10^n - 8^n)x^n[/dtex]

Tj.

[dtex]a_n = \frac{1}{2}(10^n - 8^n) = 2^{n-1}(5^n - 4^n)[/dtex]

[vale92]

tnx very much !!! :-)