Zadaci (zadatak)

[rom]

Dokazite da je skup [tex] A = \{(x,y) \in R^2 : x^2+y^2<4, y<6\} [/tex] otvoren skup u [tex] R^2[/tex] koristeci definiciju otvorenog skupa.
Moje pitanje: moze neki hint kako definirati radijus da bi mogao nastaviti dalje s dokazom, tj. kako se ovo skicira (bez wolframa), da bi uopce dobio ideju kako definirati radijus. Hvala

[Loo]

da bi vrijedio prvi uvjet, mora vrijediti da je [tex]y<6[/tex]. a ako znaš nacrtati [tex]x^2+y^2=4[/tex] onda bi i skup [tex]x^2+y^2<4[/tex] trebao znati nacrtati. za proizvoljnu točku [tex]x[/tex] probaj uzeti npr [tex]r=2-d(0,x)[/tex]. (ako si mislio na radijus otvorene kugle oko [tex]x[/tex] koja će biti u tom skupu)

[rom]

tak sam si i mislio, ugl. zbunio me ovaj y<6, daj mi onda sad objasni zasto nije moglo bez tog uvjeta, zar ne bi i dalje to bio isti skup?

[Loo]

ma moglo je i bez tog uvjeta. meni se čini da je taj dio bio za zbunjivanje

[Phoenix]

Kad bi za neku točku koja zadovoljava [tex]x^2+y^2<4[/tex] vrijedilo [tex]y \geq 6[/tex], tada bi vrijedilo i sljedeće:
[tex]4>x^2+y^2 \geq x^2+6^2 \geq 0^2+36=36[/tex]
Dakle, [tex]4 > 36[/tex], što je nemoguće.

Ili jednostavno iz skice znaš da je "najgornja točka", odnosno ona koja ima najveću vrijednost [tex]y[/tex], upravo točka [tex](0,2)[/tex], a vrijedi [tex]2<6[/tex] tako da je drugi uvjet uvijek zadovoljen.

[rom]

Pokazite da je skup [tex] S= \{ (x,y)\in R^2 : xy\geq 1, x^2+y^2\leq 5\} [/tex] kompaktan.

Pokazao sam da je omeđen, i onda sam mislio pokazati da je zatvoren preko prop. da je zatvoren ako svaki niz u S ima limes koji je u S, ali ne znam kako pokazati da je limes proizvoljnog niza u S.

Neka je [tex](a_n)_n[/tex] niz u S t.d. [tex]a_n \to a \in R^2[/tex] proizv.
[tex]a_n=(x_n,y_n)[/tex] [tex]a=(x,y)[/tex]
[tex]\Rightarrow x_n \to x ,\; y_n \to x[/tex]
[tex]x_ny_n\geq 1 \; \And \; x_n + y_n \leq 5 \; \forall n \in N[/tex] jer je [tex](a_n)_n[/tex] niz u S.
I kako sad pokazati da je [tex]a\in S[/tex]

[grizly]

pa to ti je to, da su bile stroge nejednakosti možeš "ispasti" iz skupa, ali ovo ti sad vrijedi i na limesu naravno koristiš i svojstva limesa

_________________
Nit' sam normalna nit' se s takvima družim

[pbakic]

Al da si ustedis posao, za ovakve zadatke postoji standardna procedura:
Definiras formulama
Sada, ako malo pazljivije pogledamo, vidimo da je skup S presjek (jer imas dva uvjeta koja moraju vrijediti istovremeno) skupova


Sada samo komentiras da su neprekidne, pa su praslike zatvorenih skupova zatvorene (a tu imamo bas takve), pa je i njihov presjek (tj. S) zatvoren skup. Uz omedjenost, to daje kompaktnost

[matijaB]

imamo funkciju f(x,y)= y^2

f : D = { <0,1> x [0,1] } → R

dokazi da je f(D) kompaktan.

vidim da mi f uzima samo drugu komponentu,tj onu iz zatvorenog segmenta...al..kako da to pismeno obrazlozim?

[Phoenix]

Jedna ideja je da definiraš funkciju [tex]g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}[/tex] zadanu kao [tex]g(y)=y^2[/tex]
Primjećujemo da vrijedi [tex]f=g \circ \pi_2[/tex] pri čemu je [tex]\pi_2[/tex] projekcija na drugu koordinatu.
Stoga je [tex]f( \left< 0,1 \right> \times \left[ 0,1 \right]) = g(\pi_2( \left< 0,1 \right> \times \left[ 0,1 \right])) = g( \left[ 0,1 \right] )[/tex]
I sada slijedi primjena teorema kojeg želiš iskoristiti

[matijaB]

tnx...

i jel se moze dogoditi da kad zapisujem skup kao uniju odnosno presjek nekih otvorenih skupova,da dobim nesto tipa

A = ( praslika ) U ( praslika ) presjek ( praslika )

jel onda gledam prvo uniju dva otvorena skupa pa zakljucim da je ta unija otvorena,pa onda presjek tih dvaju ( ovo s unijom sad gledam ko novi otvoreni skup ) otvorenih je opet otvoren skup ?

nadam se da se kuzi sta je pjesnik htio reci : )

[Phoenix]

Shvatio sam što misliš kad sam došao pred kraj posta.

Ovisno u kakvom redoslijedu idu operacije na skupovima, tako i argumentiraš, ali da, to je dovoljno. Istakni da se radi o uniji i presjeku dva, odnosno konačno mnogo skupova (u slučaju kada ih imaš više), da se ne bi pomiješalo s unijom ili presjekom beskonačno mnogo skupova kada su stvari malo drugačije.

[angelika]

Muku mučim sa 1.zadatkom može mala uputa

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2011-12/Blic21112.pdf

[R2-D2]

[pedro]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2010-11/Blic21011.pdf

a ovaj 1?

Added after 20 minutes:

[Loo]

1. isto po definiciji:
[tex]\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\displaystyle \lim_{h \to 0} {\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}}[/tex]
[tex]\frac{\partial f}{\partial y}(4,0) =\displaystyle \lim_{h \to 0} {\frac{f(4,h)-f(4,0)}{h}}[/tex]
s tim da paziš što uvrštavaš za [tex]f(h,0)[/tex] i [tex]f(4,h)[/tex]

Added after 9 minutes:

2.
znači parcijalne derivacije su:
[tex]\frac {\partial f_1}{\partial x}(x,y) = yx^{y-1}[/tex]
[tex]\frac {\partial f_1}{\partial y}(x,y) = x^ylnx[/tex]
[tex]\frac {\partial f_2}{\partial x}(x,y) = 2x[/tex]
[tex]\frac {\partial f_2}{\partial y}(x,y) = 1[/tex]
onda to sve potrpaš u matricu i imaš [tex]\nabla f (x,y)[/tex], a [tex]Jf(e,1)[/tex] će biti determinanta od [tex]\nabla f (e,1)[/tex]

[angelika]

Hvala R2-D2

Imam još jedno pitanjce...da li se 2.zadatak rješava raspisivanjem po definiciji? Jel ta derivacija jednaka 0?

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2008-09/blic2A-H_2008.pdf

[R2-D2]

Da, rješava se raspisivanjem po definiciji derivacije u smjeru nekog vektora. I ispadne 0.

[Bole13]

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/dif/2009-10/blic2_2009.pdf

Može pomoć s ovim 2. zadatkom na prvoj strani.
Pod (a) mi ispada da derivacija u točki (1, 0) u smjeru vektora (1, -1) iznosi 1, a onda pod (b) dobijem da obje parcijalne postoje i po x-u iznosi 1, a po y-u -1. Pretpostavljam da je tu nešto krivo jer ako bih gledao Df(1, 0)(1, -1) zar ne bi trebalo onda biti da je derivacija u točki (1, 0) u smjeru (1, -1) jednaka 2?

[Phoenix]

Sve što si naveo je točno.
Uoči da je prva jednakost poslije definicije [tex]11.12[/tex] posljedica uvrštavanja [tex]x=c+hv[/tex] u definiciju [tex]11.2[/tex] te da bi u nazivniku iste jednakosti trebalo stajati [tex]h||v||[/tex], no prema definiciji [tex]v[/tex] je jedinični vektor i zbog toga je tu izostavljen.
U tvom slučaju (bolje rečeno, općenito) će vrijediti [tex]\frac{\partial f}{\partial v}(c)=\frac{1}{||v||}Df(c)v[/tex]. Pošto je u danom zadatku [tex]||v||=2[/tex], dobivaš identifikaciju svoja dva računa.