| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
 Postano: 15:32 sub, 24. 4. 2004 Naslov: Greenov teorem ili... |
    |
|
|
Zadatak sa prošlogodišnjeg kolokvija :
Odrediti površinu skupa D:
D={(x,y): x>=0, y>=0, 17/4<=x^2+y^2<=20, x^2<=8y, y^2<=8x}
Kada nacrtamo skup vidimo da su to dvije koncetrične kružnice, koje su ispresjecane parabolama (jedna parabola se dobije rotacjom druge za 45 stupnjeva).
Moja ideja za rješavanje je korištenje Greenovog teorema, pa je
P(D)=1/2* Integral_po_gama[-ydx + xdy], gdje je gama PDG zatvoren pozitivno orijentiran put t.d gama* = rub od D, t.j. gama opisuje D.
Put gama možemo rasjeći na četiri dijela. Prvi po y=1/8*x^2 s parametrizacijom g1(t):=(t,t^2/8 ) , gdje t ide od x koordinate presjecišta
x^2=8y s manjom kružnicom do presjecišta x^2=8y sa većom.
g2 je parametrizacija kružnice, itd.
Ovdje se računanje integrala svodi na određivanje tih presjecišta, a kako su to dosta masivni brojevi (na kolokviju nije bila dozvoljena upotreba kalkulatora), zanimalo bi me ima li koje elegantnije rješenje u smislu teorema o zamjeni varijabli iz prvog semestra (nisam uspio naći neku dobru supstituciju) ili neke elegantnije parametrizacije.
Hvala.
Zadatak sa prošlogodišnjeg kolokvija :
Odrediti površinu skupa D:
D={(x,y): x>=0, y>=0, 17/4⇐x^2+y^2⇐20, x^2⇐8y, y^2⇐8x}
Kada nacrtamo skup vidimo da su to dvije koncetrične kružnice, koje su ispresjecane parabolama (jedna parabola se dobije rotacjom druge za 45 stupnjeva).
Moja ideja za rješavanje je korištenje Greenovog teorema, pa je
P(D)=1/2* Integral_po_gama[-ydx + xdy], gdje je gama PDG zatvoren pozitivno orijentiran put t.d gama* = rub od D, t.j. gama opisuje D.
Put gama možemo rasjeći na četiri dijela. Prvi po y=1/8*x^2 s parametrizacijom g1(t):=(t,t^2/8 ) , gdje t ide od x koordinate presjecišta
x^2=8y s manjom kružnicom do presjecišta x^2=8y sa većom.
g2 je parametrizacija kružnice, itd.
Ovdje se računanje integrala svodi na određivanje tih presjecišta, a kako su to dosta masivni brojevi (na kolokviju nije bila dozvoljena upotreba kalkulatora), zanimalo bi me ima li koje elegantnije rješenje u smislu teorema o zamjeni varijabli iz prvog semestra (nisam uspio naći neku dobru supstituciju) ili neke elegantnije parametrizacije.
Hvala.
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
| Postano: 18:00 sub, 24. 4. 2004 Naslov: Re: Greenov teorem ili... |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]Kada nacrtamo skup vidimo da su to dvije koncetrične kružnice, koje su ispresjecane parabolama (jedna parabola se dobije rotacjom druge za 45 stupnjeva).[/quote]
Valjda za 90 stupnjeva. :)
[quote="Boris Davidovič"]Moja ideja za rješavanje je korištenje Greenovog teorema, pa je ...
Put gama možemo rasjeći na četiri dijela. Prvi po y=1/8*x^2 s parametrizacijom g1(t):=(t,t^2/8 ) , gdje t ide od x koordinate presjecišta
x^2=8y s manjom kružnicom do presjecišta x^2=8y sa većom.
g2 je parametrizacija kružnice, itd.[/quote]
Sasvim u redu.
[quote="Boris Davidovič"]Ovdje se računanje integrala svodi na određivanje tih presjecišta, a kako su to dosta masivni brojevi (na kolokviju nije bila dozvoljena upotreba kalkulatora), zanimalo bi me ima li koje elegantnije rješenje u smislu teorema o zamjeni varijabli iz prvog semestra (nisam uspio naći neku dobru supstituciju) ili neke elegantnije parametrizacije.[/quote]
Hmm... presjecista su tocke: (0.5, 2), (2, 0.5), (2,4) i (4,2).
Treba rijesiti dvije kvadratne jednadzbe i to je to, najgore je odrediti korijen iz 1296. A mislim da studentu matematike to ne bi smjelo biti tesko.
| Boris Davidovič (napisa): | | Kada nacrtamo skup vidimo da su to dvije koncetrične kružnice, koje su ispresjecane parabolama (jedna parabola se dobije rotacjom druge za 45 stupnjeva). |
Valjda za 90 stupnjeva. 
| Boris Davidovič (napisa): | Moja ideja za rješavanje je korištenje Greenovog teorema, pa je ...
Put gama možemo rasjeći na četiri dijela. Prvi po y=1/8*x^2 s parametrizacijom g1(t):=(t,t^2/8 ) , gdje t ide od x koordinate presjecišta
x^2=8y s manjom kružnicom do presjecišta x^2=8y sa većom.
g2 je parametrizacija kružnice, itd. |
Sasvim u redu.
| Boris Davidovič (napisa): | | Ovdje se računanje integrala svodi na određivanje tih presjecišta, a kako su to dosta masivni brojevi (na kolokviju nije bila dozvoljena upotreba kalkulatora), zanimalo bi me ima li koje elegantnije rješenje u smislu teorema o zamjeni varijabli iz prvog semestra (nisam uspio naći neku dobru supstituciju) ili neke elegantnije parametrizacije. |
Hmm... presjecista su tocke: (0.5, 2), (2, 0.5), (2,4) i (4,2).
Treba rijesiti dvije kvadratne jednadzbe i to je to, najgore je odrediti korijen iz 1296. A mislim da studentu matematike to ne bi smjelo biti tesko.
|
|
| [Vrh] |
|
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
