| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
Boris Davidovič
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 01. 2004. (23:05:18)
Postovi: (3C)16
|
 Postano: 11:46 pon, 26. 4. 2004 Naslov: Zadatak |
    |
|
|
Izračunati integral :
Integral[po C] ydx + x^2dy + zdz
, gdje je C zadan kao presjek ploha
x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c
x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b
a,b,c>0.
Kako odrediti parametrizaciju presjeka.
Prva bi ploha trebala biti paraboloid, a druga
je valjda nekakav eliptički valjak, pa je presjek
, pretpostavljam, neka savijena elipsa, no kako je odrediti?
Također bi me zanimala parametrizacij presjeka
paraboloida i pomaknutog valjka, sfere ..., tj. neki
općeniti postupak za određivanje jednadžbe tog presjeka.
Izračunati integral :
Integral[po C] ydx + x^2dy + zdz
, gdje je C zadan kao presjek ploha
x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c
x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b
a,b,c>0.
Kako odrediti parametrizaciju presjeka.
Prva bi ploha trebala biti paraboloid, a druga
je valjda nekakav eliptički valjak, pa je presjek
, pretpostavljam, neka savijena elipsa, no kako je odrediti?
Također bi me zanimala parametrizacij presjeka
paraboloida i pomaknutog valjka, sfere ..., tj. neki
općeniti postupak za određivanje jednadžbe tog presjeka.
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
| Postano: 12:33 pon, 26. 4. 2004 Naslov: Re: Zadatak |
|
|
|
[quote="Boris Davidovič"]Izračunati integral :
Integral[po C] ydx + x^2dy + zdz, gdje je C zadan kao presjek ploha
x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c i x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b, (a,b,c>0).
Kako odrediti parametrizaciju presjeka?
[/quote]
Uocimo da je druga ploha valjak (elipticni), tj. da se u toj jednadzbi javljaju samo dvije varijable. Zato druga jdba u 2D predstavlja elipsu s parametrizacijom:
x=a (1+sqrt(2) cos t)/2
y=a (1+sqrt(2) sin t)/2
Sada iz prve jednadzbe mozemo odrediti z, z=1+sqrt(2)(cos t+sin t)/2.
(z je lakse odrediti ako uocimo da je z/c=x/a+y/b).
[quote="Boris Davidovič"]Također bi me zanimala parametrizacij presjeka paraboloida i pomaknutog valjka, sfere ..., tj. neki općeniti postupak za određivanje jednadžbe tog presjeka.[/quote]
Nema bas nekog opcenitog recepta. Evo nekih korisnih hintova:
- dane jednadzbe f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 pokusati transformirati tako da dobijemo vezu dvije varijable F(x,y)=0, pa onda slicno kao gore.
Naime, mi rjesavamo sustav, i vidimo da je recimo u gornjem zadatku presjek prve plohe (sto god ona bila) i druge plohe (valjka) jednak presjeku valjka i ravnine (z/c=x/a+y/b).
- izrazite jednu plohu (skup rjesenja jednadzbe f(x,y,z)=0) pomocu dva parametra, a zatim to uvrstite u drugu jednadzbu i nadjite vezu medju tim parametrima. ova ideja moze funkcionirati za velik broj ploha.
evo kako bi to islo u gornjem primjeru:
Pogledam jednadzbu x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c, i vidim da bi bilo lijepo kad bi lijeva strana bila jednaka r^2. Zato pisem:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = r^2 = z/c.
Ovdje r nije konstanta, nego varijabilni parametar, a kako je L.S. pozitivna, onda za svaku tocku plohe (x,y,z) postoji r t.d. vrijedi ovo gore.
Sad imam: x= a r cos t, y= b r sin t, z= c r^2.
To uvrstavam u x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b:
(r cos t)^2+(r sin t)^2=r cos t + r sin t,
odakle slijedi r=cos t + sin t.
Konacno,
x=a cos t (cos t + sin t)
y=b sin t (cos t + sin t)
z=c (cos t+sin t)^2.
Mea
| Boris Davidovič (napisa): | Izračunati integral :
Integral[po C] ydx + x^2dy + zdz, gdje je C zadan kao presjek ploha
x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c i x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b, (a,b,c>0).
Kako odrediti parametrizaciju presjeka?
|
Uocimo da je druga ploha valjak (elipticni), tj. da se u toj jednadzbi javljaju samo dvije varijable. Zato druga jdba u 2D predstavlja elipsu s parametrizacijom:
x=a (1+sqrt(2) cos t)/2
y=a (1+sqrt(2) sin t)/2
Sada iz prve jednadzbe mozemo odrediti z, z=1+sqrt(2)(cos t+sin t)/2.
(z je lakse odrediti ako uocimo da je z/c=x/a+y/b).
| Boris Davidovič (napisa): | | Također bi me zanimala parametrizacij presjeka paraboloida i pomaknutog valjka, sfere ..., tj. neki općeniti postupak za određivanje jednadžbe tog presjeka. |
Nema bas nekog opcenitog recepta. Evo nekih korisnih hintova:
- dane jednadzbe f(x,y,z)=0, g(x,y,z)=0 pokusati transformirati tako da dobijemo vezu dvije varijable F(x,y)=0, pa onda slicno kao gore.
Naime, mi rjesavamo sustav, i vidimo da je recimo u gornjem zadatku presjek prve plohe (sto god ona bila) i druge plohe (valjka) jednak presjeku valjka i ravnine (z/c=x/a+y/b).
- izrazite jednu plohu (skup rjesenja jednadzbe f(x,y,z)=0) pomocu dva parametra, a zatim to uvrstite u drugu jednadzbu i nadjite vezu medju tim parametrima. ova ideja moze funkcionirati za velik broj ploha.
evo kako bi to islo u gornjem primjeru:
Pogledam jednadzbu x^2/a^2 + y^2/b^2 = z/c, i vidim da bi bilo lijepo kad bi lijeva strana bila jednaka r^2. Zato pisem:
x^2/a^2 + y^2/b^2 = r^2 = z/c.
Ovdje r nije konstanta, nego varijabilni parametar, a kako je L.S. pozitivna, onda za svaku tocku plohe (x,y,z) postoji r t.d. vrijedi ovo gore.
Sad imam: x= a r cos t, y= b r sin t, z= c r^2.
To uvrstavam u x^2/a^2 + y^2/b^2 = x/a + y/b:
(r cos t)^2+(r sin t)^2=r cos t + r sin t,
odakle slijedi r=cos t + sin t.
Konacno,
x=a cos t (cos t + sin t)
y=b sin t (cos t + sin t)
z=c (cos t+sin t)^2.
Mea
|
|
| [Vrh] |
|
dumb creature
Gost
|
| Postano: 18:45 pon, 26. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
:( Ja ne razumijem, odakle cudna parametrizacija "elipse" u tom zadatku? Da li bi mogli malo detaljnije objasniti kako se dodje do toga?
Jos nekoliko pitanja :lol: :
1. Kako izracunati integral sqrt(9*t^4+25*t^2+100)?
2. Treba izracunati integral od -besk. do +besk. od sin^3*x/x^3.
da li to spada u dosad obradjeno gradivo?
Ako bi se to, ako se uopce moze tako, racunalo pomocu dvostrukog
integrala, tako da prvo ispunjavamo prostor sa kvadratima, a onda sa
nekim drugim likovima, koji bi to likovi bili?
Ako uzmem kruznice i predjem na sferne koordinate dobijem grozan
integral kojeg ne znam rijesiti, sinus i cosinus pod sinusom.
Zanima me da li se negdje mogu nabaviti rjesenja pismenih ispita iz analize4. Mozda bi bilo dobro kad bi asistenti ubuduce ostavljali sluzbena rjesenja u skriptarnici, jer nemam odakle ovo vjezbati(da li je to zabranjeno?). Imam hrpu rokova, od toga dosta stvari ne znam rijesiti, a ono sto i mislim da znam moze biti totalno krivo, vec se vise puta uspostavilo da jest, i rjesavanjem nista ne unaprjedjujem svoje znanje osim sto se eventualno malo ubrzavam.
:( :( :(
 Ja ne razumijem, odakle cudna parametrizacija "elipse" u tom zadatku? Da li bi mogli malo detaljnije objasniti kako se dodje do toga?
Jos nekoliko pitanja  :
1. Kako izracunati integral sqrt(9*t^4+25*t^2+100)?
2. Treba izracunati integral od -besk. do +besk. od sin^3*x/x^3.
da li to spada u dosad obradjeno gradivo?
Ako bi se to, ako se uopce moze tako, racunalo pomocu dvostrukog
integrala, tako da prvo ispunjavamo prostor sa kvadratima, a onda sa
nekim drugim likovima, koji bi to likovi bili?
Ako uzmem kruznice i predjem na sferne koordinate dobijem grozan
integral kojeg ne znam rijesiti, sinus i cosinus pod sinusom.
Zanima me da li se negdje mogu nabaviti rjesenja pismenih ispita iz analize4. Mozda bi bilo dobro kad bi asistenti ubuduce ostavljali sluzbena rjesenja u skriptarnici, jer nemam odakle ovo vjezbati(da li je to zabranjeno?). Imam hrpu rokova, od toga dosta stvari ne znam rijesiti, a ono sto i mislim da znam moze biti totalno krivo, vec se vise puta uspostavilo da jest, i rjesavanjem nista ne unaprjedjujem svoje znanje osim sto se eventualno malo ubrzavam.
|
|
| [Vrh] |
|
mea
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 10. 12. 2002. (13:22:34)
Postovi: (1F0)16
|
| Postano: 22:45 pon, 26. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
[quote="dumb creature"]:( Ja ne razumijem, odakle cudna parametrizacija "elipse" u tom zadatku? Da li bi mogli malo detaljnije objasniti kako se dodje do toga?[/quote]
Nije tako cudna. Elipsu x^2/a^2+y^2/b^2=1
parametriziramo npr. sa x=a cos t, y=b sin t.
Podijelite gornju jednadzbu s r^2 tako da na desnoj strani bude 1, i dalje zakljucite sami...
[quote]1. Kako izracunati integral sqrt(9*t^4+25*t^2+100)?[/quote]
Nikako. To je elipticki integral... ako potjece iz 1. zadatka s lanjskog kolokvija, uocite da se ne trazi izracunavanje!
[quote]2. Treba izracunati integral od -besk. do +besk. od sin^3*x/x^3.
da li to spada u dosad obradjeno gradivo?[/quote]
Ne, to se rjesava pomocu teorema o reziduumima... o tome na vjezbama za 3-4 tjedna.
[quote]Zanima me da li se negdje mogu nabaviti rjesenja pismenih ispita iz analize4. Mozda bi bilo dobro kad bi asistenti ubuduce ostavljali sluzbena rjesenja u skriptarnici, jer nemam odakle ovo vjezbati(da li je to zabranjeno?). Imam hrpu rokova, od toga dosta stvari ne znam rijesiti, a ono sto i mislim da znam moze biti totalno krivo, vec se vise puta uspostavilo da jest, i rjesavanjem nista ne unaprjedjujem svoje znanje osim sto se eventualno malo ubrzavam.[/quote]
Rjesenja svih kolokvija su svojedobno bila ostavljena u skriptarnici, za ispite bas i ne. No, imate mnogo mogucnosti kad naidjete na zadatak koji ne znate rijesiti, ili niste sigurni da li je dobro.
1. prelistati biljeznicu s vjezbi, mozda ima nesto slicno
2. pitati kolege s vase godine
3. pitati demonstratore. oni postoje radi vas. potrazite ih, pitajte ih...
4. doci na konzultacije. i konzultacije postoje radi studenata. ako vam ne odgovara termin, mozete se dogovoriti i za neko drugo vrijeme.
Mea
| dumb creature (napisa): | | Ja ne razumijem, odakle cudna parametrizacija "elipse" u tom zadatku? Da li bi mogli malo detaljnije objasniti kako se dodje do toga? |
Nije tako cudna. Elipsu x^2/a^2+y^2/b^2=1
parametriziramo npr. sa x=a cos t, y=b sin t.
Podijelite gornju jednadzbu s r^2 tako da na desnoj strani bude 1, i dalje zakljucite sami...
| Citat: | | 1. Kako izracunati integral sqrt(9*t^4+25*t^2+100)? |
Nikako. To je elipticki integral... ako potjece iz 1. zadatka s lanjskog kolokvija, uocite da se ne trazi izracunavanje!
| Citat: | 2. Treba izracunati integral od -besk. do +besk. od sin^3*x/x^3.
da li to spada u dosad obradjeno gradivo? |
Ne, to se rjesava pomocu teorema o reziduumima... o tome na vjezbama za 3-4 tjedna.
| Citat: | | Zanima me da li se negdje mogu nabaviti rjesenja pismenih ispita iz analize4. Mozda bi bilo dobro kad bi asistenti ubuduce ostavljali sluzbena rjesenja u skriptarnici, jer nemam odakle ovo vjezbati(da li je to zabranjeno?). Imam hrpu rokova, od toga dosta stvari ne znam rijesiti, a ono sto i mislim da znam moze biti totalno krivo, vec se vise puta uspostavilo da jest, i rjesavanjem nista ne unaprjedjujem svoje znanje osim sto se eventualno malo ubrzavam. |
Rjesenja svih kolokvija su svojedobno bila ostavljena u skriptarnici, za ispite bas i ne. No, imate mnogo mogucnosti kad naidjete na zadatak koji ne znate rijesiti, ili niste sigurni da li je dobro.
1. prelistati biljeznicu s vjezbi, mozda ima nesto slicno
2. pitati kolege s vase godine
3. pitati demonstratore. oni postoje radi vas. potrazite ih, pitajte ih...
4. doci na konzultacije. i konzultacije postoje radi studenata. ako vam ne odgovara termin, mozete se dogovoriti i za neko drugo vrijeme.
Mea
|
|
| [Vrh] |
|
dumb creature
Gost
|
| Postano: 15:17 sri, 28. 4. 2004 Naslov: |
|
|
|
Hvala.
Integral nazalost ne potjece iz kolokvija, uocila sam da se ne trazi izracunavanje, nego iz MOG, dakle loseg pokusaja rjesavanja nekog roka asistentice Hanzer. Bit ce da nisam odabrala sretnu parametrizaciju.
Zanimao bi me jos jedan zadatak,rok 17.06.2002:
Nadjite povrsinu plasta koji se u cilindr. koordinatama izrazava kao
r=a*fi
z=2*a*r,a>0,fi od 0 do 2*pi
Uputa:Krivuljni integral 1. vrste.
Moj prijedlog rjesenja:
Krivulju nad kojom integriramo parametriziramo kao
gama(fi)=(a*fi*cos(fi),a*fi*sin(fi)) (prve dvije koordinate tocaka na plastu)
a za fju f uzmemo 3.koordinatu, dakle 2*a*a*fi, i onda samo po formuli za 1.integral, pri cemu je f(gama(fi)) odmah 2*a*a*fi.
To sigurno ne valja. Ali kako bi to onda islo?
Hvala.
Integral nazalost ne potjece iz kolokvija, uocila sam da se ne trazi izracunavanje, nego iz MOG, dakle loseg pokusaja rjesavanja nekog roka asistentice Hanzer. Bit ce da nisam odabrala sretnu parametrizaciju.
Zanimao bi me jos jedan zadatak,rok 17.06.2002:
Nadjite povrsinu plasta koji se u cilindr. koordinatama izrazava kao
r=a*fi
z=2*a*r,a>0,fi od 0 do 2*pi
Uputa:Krivuljni integral 1. vrste.
Moj prijedlog rjesenja:
Krivulju nad kojom integriramo parametriziramo kao
gama(fi)=(a*fi*cos(fi),a*fi*sin(fi)) (prve dvije koordinate tocaka na plastu)
a za fju f uzmemo 3.koordinatu, dakle 2*a*a*fi, i onda samo po formuli za 1.integral, pri cemu je f(gama(fi)) odmah 2*a*a*fi.
To sigurno ne valja. Ali kako bi to onda islo?
|
|
| [Vrh] |
|
|
