Prethodna tema :: Sljedeća tema |
Autor/ica |
Poruka |
Zoran Gost
|
|
[Vrh] |
|
Megy Poe Forumaš(ica)
Pridružen/a: 05. 11. 2009. (23:14:52) Postovi: (122)16
|
Postano: 23:42 uto, 9. 4. 2013 Naslov: Re: Distribucija od X/(X+Y) |
|
|
[quote="Zoran"]Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf
zadatak 4. b)
[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]
Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...
Jasno je da po definiciji vrijedi
[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]
Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja :(
Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...
Hvala :)[/quote]
Sorry što mi je tak dugo trebalo al morala sam ić tražit hrpu formula koje napamet nažalost ne znam i neznam zašto ih ne smijemo imati..e sad ovako..
Sve formule su izvađene sa vježbi: ako su Xi..Xn eksponencijalne onda je to e sad ja ne znam imam ona distribucija koja ima oznaku ko graf funkcije od (n,1/lambda) znači kod nas je X+Y je ta distribucija od (2,1/3). A x je ta distribucija od (1,1/3). Kad uvrstiš to u f-ju gustoće te dvije f-je..to ovdje četvrta http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/nepr_distrib.pdf
Onda imaš onu formulu ovdje http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/formule1.pdf za Y/X
I onda preko toga kad dobiješ f-ju gustoće te funkcije onda lagano dobiješ funkciju distirbucije i vidiš da je rješenje z.
Kao što vidiš postupak je malo dugačak, naporan, blago rečeno katastrofalan, al nadam se da je zadovoljio tvoje pitanje.
Zoran (napisa): | Izgubilo se pitanje u drugom threadu, pa da pitam u zasebnom:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/stat-1112-kol1_rj.pdf
zadatak 4. b)
[tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] su nezavisne s eksponencijalnom distribucijom s parametrom [tex]3[/tex].
Odredite funkciju distribucije i funkciju gustoće slučajne varijable [tex]Z = \dfrac{X}{X+Y}[/tex]
Jasno mi je da se funkcija gustoće dobije deriviranjem funkcije distribucije, pa samo pitam za funkciju distribucije...
Jasno je da po definiciji vrijedi
[tex]F_Z(z) = \mathbb{P} (Z \leq z)= \mathbb{P} (\dfrac{X}{X+Y} \leq z)[/tex]
Ali kako dalje?
Probao sam izraziti preko dvostrukog integrala od [tex]3 e^{-3x}\cdot 3 e^{-3y}[/tex] po području gdje je [tex]\dfrac{x}{x+y} \leq z[/tex] ali se zapetljam i nikako da dođem do točnog rješenja
Zato bih bio jako zahvalan na pomoći! Makar hint...
Hvala |
Sorry što mi je tak dugo trebalo al morala sam ić tražit hrpu formula koje napamet nažalost ne znam i neznam zašto ih ne smijemo imati..e sad ovako..
Sve formule su izvađene sa vježbi: ako su Xi..Xn eksponencijalne onda je to e sad ja ne znam imam ona distribucija koja ima oznaku ko graf funkcije od (n,1/lambda) znači kod nas je X+Y je ta distribucija od (2,1/3). A x je ta distribucija od (1,1/3). Kad uvrstiš to u f-ju gustoće te dvije f-je..to ovdje četvrta http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/nepr_distrib.pdf
Onda imaš onu formulu ovdje http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/stat/files/formule1.pdf za Y/X
I onda preko toga kad dobiješ f-ju gustoće te funkcije onda lagano dobiješ funkciju distirbucije i vidiš da je rješenje z.
Kao što vidiš postupak je malo dugačak, naporan, blago rečeno katastrofalan, al nadam se da je zadovoljio tvoje pitanje.
|
|
[Vrh] |
|
Zoran Gost
|
|
[Vrh] |
|
kikzmyster Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08) Postovi: (72)16
Spol:
|
Postano: 0:12 sri, 10. 4. 2013 Naslov: |
|
|
Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji :D
Prvo, uocimo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}<0) = \mathbb{P}(X<0 \, , \, X+Y >0) + \mathbb{P}(X >0 \, , \, X +Y <0) \leq \underbrace{\mathbb{P}(X < 0)}_{=0} + \underbrace{ \mathbb{P}( X + Y<0)}_{=0} = 0[/tex]. Ovo slijedi odmah iz definicije funkcije gustoce eksponencijalne slucajne varijable. Dakle, za [tex] z < 0 [/tex] imamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = 0 [/tex].
Zatim, uocimo da je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq 1) = \mathbb{P}(X \leq X + Y) = \mathbb{P}(Y \geq 0) = 1 [/tex]. Dakle, za [tex]z \geq 1 [/tex] vrijedi da je [tex]F(z) = 1[/tex] (jer je [tex]F[/tex] rastuca funkcija).
Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [tex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].
Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji
Prvo, uocimo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}<0) = \mathbb{P}(X<0 \, , \, X+Y >0) + \mathbb{P}(X >0 \, , \, X +Y <0) \leq \underbrace{\mathbb{P}(X < 0)}_{=0} + \underbrace{ \mathbb{P}( X + Y<0)}_{=0} = 0[/tex]. Ovo slijedi odmah iz definicije funkcije gustoce eksponencijalne slucajne varijable. Dakle, za [tex] z < 0 [/tex] imamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = 0 [/tex].
Zatim, uocimo da je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq 1) = \mathbb{P}(X \leq X + Y) = \mathbb{P}(Y \geq 0) = 1 [/tex]. Dakle, za [tex]z \geq 1 [/tex] vrijedi da je [tex]F(z) = 1[/tex] (jer je [tex]F[/tex] rastuca funkcija).
Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [tex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].
|
|
[Vrh] |
|
googol Forumaš(ica)
Pridružen/a: 29. 09. 2011. (21:23:09) Postovi: (71)16
Spol:
|
Postano: 0:25 sri, 10. 4. 2013 Naslov: |
|
|
[quote="kikzmyster"]Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji :D
Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = {\bf\mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)}[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [latex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex].[/quote]
Mozes li boldani dio raspisati kako se doslo do njega, mozak ne reagira vise.
kikzmyster (napisa): | Vidim da je netko vec odgovorio dok sam ovo pisao, ali eto, mislim da je ovaj postupak mozda malo jednostavniji
Neka je sad [tex] z \in [0,1)[/tex]. Sad jednostavno sredivanjem dobivamo [tex] \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = {\bf\mathbb{P}(X \leq \frac{z}{1-z}Y)}[/tex]. To sad racunamo slicno kao u (a) dijelu, kao [latex]\displaystyle \int_{- \infty}^{+ \infty} \left( \int_{- \infty}^{\frac{z}{1-z}y} f(x,y) \, \textrm{d}x \right) \, \textrm{d}y [/tex], gdje je [tex]f(x,y) [/tex] funkcija gustoca slucajnog vektora [tex](X,Y)[/tex], ali kako su [tex]X[/tex] i [tex]Y[/tex] nezavisni vrijedi [tex]f(x,y) = f_X(x)f_Y(y)[/tex]. |
Mozes li boldani dio raspisati kako se doslo do njega, mozak ne reagira vise.
|
|
[Vrh] |
|
kikzmyster Forumaš(ica)
Pridružen/a: 14. 10. 2010. (13:35:08) Postovi: (72)16
Spol:
|
Postano: 0:53 sri, 10. 4. 2013 Naslov: |
|
|
Kako je [tex] X+Y > 0 [/tex] i [tex]z \in [0,1) [/tex], imamo [tex]\frac{X}{X+Y} \leq z \Leftrightarrow X \leq X\cdot z + Y \cdot z \Leftrightarrow X\cdot(1-z) \leq z \cdot Y \Leftrightarrow X \leq \frac{z}{1-z}Y[/tex].
Mozemo uzeti da je [tex]X+Y>0[/tex] jer je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y < 0) + \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y >0)[/tex], no ovaj prvi sumand je jednak [tex]0[/tex] (objasnjeno u prethodnom postu).
Kako je [tex] X+Y > 0 [/tex] i [tex]z \in [0,1) [/tex], imamo [tex]\frac{X}{X+Y} \leq z \Leftrightarrow X \leq X\cdot z + Y \cdot z \Leftrightarrow X\cdot(1-z) \leq z \cdot Y \Leftrightarrow X \leq \frac{z}{1-z}Y[/tex].
Mozemo uzeti da je [tex]X+Y>0[/tex] jer je [tex]\mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z) = \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y < 0) + \mathbb{P}(\frac{X}{X+Y}\leq z \, , \, X + Y >0)[/tex], no ovaj prvi sumand je jednak [tex]0[/tex] (objasnjeno u prethodnom postu).
|
|
[Vrh] |
|
|