| Prethodna tema :: Sljedeća tema |
| Autor/ica |
Poruka |
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
fkirsek
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51)
Postovi: (23)16
|
 Postano: 10:27 uto, 28. 5. 2013 Naslov: |
    |
|
|
Ono što se traži u zadatku je da izvedeš formulu danu u:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o19.pdf
zadatku 19.3.
Imaš funkciju [tex]f[/tex] sa (nekog podskupa) [tex]\mathbb{R}^2[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex]. Graf te funkcije je nekakva ploha u [tex]\mathbb{R}^3[/tex] pošto imaš dvodimenzionanu domenu i jednodimenzionalnu kodomenu.
U zadatku se traži površina te plohe koja se nalazi iznad kvadrata [tex][0,1]\times[0,1][/tex], tj. dio grafa koji je slika skupa [tex]I^2[/tex].
Karta je parametrizacija neke plohe u [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. Ima još uvjeta, glatka, injekcija, itd. itd., no to nije toliko bitno sada. Sada ti treba parametrizacija grafa tvoje funkcije.
Parametrizacija grafa funkcije [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] je jednostavno [tex]G(t) = (t, f(t) )[/tex]. Analogno tome, parametrizacija grafa funkcije [tex]f[/tex] je
[tex]F(u,v) = (u,v,f(u,v))[/tex].[tex] F[/tex] je dakle karta koja se traži u zadatku.
Ovaj integral je upravo definicija površine grafa funkcije.
Sada, jednostavno uvrstiš:
[dtex]
\nabla F = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\frac{df}{du} & \frac{df}{dv} \end{bmatrix} [/dtex]
-matrica parcijalnih derivacija, prvi stupac su derivacije F-a po u, drugi stupac po v. Kako je [tex]F = (u,v,f(u,v))[/tex], [tex]u[/tex] derivirano po [tex]u[/tex] je 1, po [tex]v[/tex] je 0 itd.
Sada
[dtex]\nabla F^t \nabla F= \begin{bmatrix}
1 + (\frac{df}{du})^2 \frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv}
\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv} 1+(\frac{df}{dv})^2
\end{bmatrix}[/dtex]
Determinanta toga je, nakon što raspišeš malo:
[dtex]
det(\nabla F^t \nabla F) =
(1 + (\frac{df}{du})^2)(1 + (\frac{df}{dv})^2) - (\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv})^2 = 1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2 + (\frac{df}{du})^2 \cdot (\frac{df}{dv})^2 - (\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv})^2 = 1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2
[/dtex]
dakle
[dtex]
\sqrt{det(\nabla F^t \nabla F)} = \sqrt{
1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2
}
[/dtex]
što je upravo [dtex]\sqrt{1 + \|\nabla f\|^2}[/dtex]
a to je trebalo i pokazati.
U b) dijelu sad samo uvrstiš sve u formulu dobivenu u a), dakle
[dtex]
\frac{df}{du} = \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}[/dtex]
[dtex]\frac{df}{dv} = 0[/dtex]
pa je
[dtex] \|\nabla f\|^2 = \frac{u^2}{1 - u^2}[/dtex]
dakle
[dtex] \sqrt{1+\|\nabla f\|^2} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}[/dtex]
Integral toga po v od 0 do 1 je isto to, a po u od 0 do 1 je [tex]arcsin 1[/tex]
Ono što se traži u zadatku je da izvedeš formulu danu u:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o19.pdf
zadatku 19.3.
Imaš funkciju [tex]f[/tex] sa (nekog podskupa) [tex]\mathbb{R}^2[/tex] u [tex]\mathbb{R}[/tex]. Graf te funkcije je nekakva ploha u [tex]\mathbb{R}^3[/tex] pošto imaš dvodimenzionanu domenu i jednodimenzionalnu kodomenu.
U zadatku se traži površina te plohe koja se nalazi iznad kvadrata [tex][0,1]\times[0,1][/tex], tj. dio grafa koji je slika skupa [tex]I^2[/tex].
Karta je parametrizacija neke plohe u [tex]\mathbb{R}^3[/tex]. Ima još uvjeta, glatka, injekcija, itd. itd., no to nije toliko bitno sada. Sada ti treba parametrizacija grafa tvoje funkcije.
Parametrizacija grafa funkcije [tex]g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] u [tex]\mathbb{R}^2[/tex] je jednostavno [tex]G(t) = (t, f(t) )[/tex]. Analogno tome, parametrizacija grafa funkcije [tex]f[/tex] je
[tex]F(u,v) = (u,v,f(u,v))[/tex].[tex] F[/tex] je dakle karta koja se traži u zadatku.
Ovaj integral je upravo definicija površine grafa funkcije.
Sada, jednostavno uvrstiš:
[dtex]
\nabla F = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\frac{df}{du} & \frac{df}{dv} \end{bmatrix} [/dtex]
-matrica parcijalnih derivacija, prvi stupac su derivacije F-a po u, drugi stupac po v. Kako je [tex]F = (u,v,f(u,v))[/tex], [tex]u[/tex] derivirano po [tex]u[/tex] je 1, po [tex]v[/tex] je 0 itd.
Sada
[dtex]\nabla F^t \nabla F= \begin{bmatrix}
1 + (\frac{df}{du})^2 \frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv}
\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv} 1+(\frac{df}{dv})^2
\end{bmatrix}[/dtex]
Determinanta toga je, nakon što raspišeš malo:
[dtex]
det(\nabla F^t \nabla F) =
(1 + (\frac{df}{du})^2)(1 + (\frac{df}{dv})^2) - (\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv})^2 = 1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2 + (\frac{df}{du})^2 \cdot (\frac{df}{dv})^2 - (\frac{df}{du} \cdot \frac{df}{dv})^2 = 1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2
[/dtex]
dakle
[dtex]
\sqrt{det(\nabla F^t \nabla F)} = \sqrt{
1 + (\frac{df}{du})^2 + (\frac{df}{dv})^2
}
[/dtex]
što je upravo [dtex]\sqrt{1 + \|\nabla f\|^2}[/dtex]
a to je trebalo i pokazati.
U b) dijelu sad samo uvrstiš sve u formulu dobivenu u a), dakle
[dtex]
\frac{df}{du} = \frac{u}{\sqrt{1-u^2}}[/dtex]
[dtex]\frac{df}{dv} = 0[/dtex]
pa je
[dtex] \|\nabla f\|^2 = \frac{u^2}{1 - u^2}[/dtex]
dakle
[dtex] \sqrt{1+\|\nabla f\|^2} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}[/dtex]
Integral toga po v od 0 do 1 je isto to, a po u od 0 do 1 je [tex]arcsin 1[/tex]
Zadnja promjena: fkirsek; 13:10 čet, 30. 5. 2013; ukupno mijenjano 1 put.
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
| Postano: 23:38 sri, 29. 5. 2013 Naslov: |
|
|
|
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf[/url] 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni :D ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni  ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje?
|
|
| [Vrh] |
|
mamba
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 07. 2012. (17:11:16)
Postovi: (16)16
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
fkirsek
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51)
Postovi: (23)16
|
| Postano: 15:31 čet, 30. 5. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf[/url] 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni :D ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje?[/quote]
Dobra je parametrizacija, i zaista je površina invarijantna na pomake, ali u krajnjoj liniji ti je svejedno, ali integral ispadne izrazito jednostavan.
Naime, što integriraš? Površina 2-plohe koja ima parametrizaciju [tex]\varphi[/tex] po području [tex]Q[/tex] je dana sa:
[dtex]
p(\phi) = \int_Q \sqrt{det(\nabla\varphi^t \nabla \varphi)}
[/dtex]
kako je
[dtex]
\nabla \varphi = \begin{bmatrix}
- s\cdot sin(t) & cos(t)\\
s\cdot cos(t) & sin (t)\\
0 & 2
\end{bmatrix}
[/dtex]
Jer je to, naravno, matrica parcijalnih derivacija. Sada je
[dtex]
\nabla\varphi^t \nabla \varphi = \begin{bmatrix}
s^2 & 0\\
0 & 3\\
\end{bmatrix}
[/dtex]
Determinanta toga je [tex] 3s^2[/tex], korijen iz toga je dalje lagano integrirati.
[quote="mamba"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2006-07/int_zad_probni.pdf
5. zadatak netko?[/quote]
Uzmimo za početak malo jaču tvrdnju; da je [tex]f[/tex] derivabilna. Sada možeš na taj integral primjeniti Greenov teorem. Parcijalna derivacija po y-onu od [tex]f(x^2-y^3)x[/tex] je [tex]3f'(x^2-y^3)xy^3[/tex], a parcijalna derivacija po x-u od [tex]\frac{3}{2}f(x^2 - y^3)y^2[/tex] je [tex]3 f'(x^2-y^3)xy^2[/tex]. Dakle, izraz ispod integrala kojeg dobijemo po Greenovom teoremu će biti 0, pa je cijeli integral 0.
Nažalost, za f ne znamo je li derivabilna pa ne možemo to primjeniti i ne možemo to na taj način dobiti.
Ali, to nam ipak daje hint kako zadatak treba riješiti, a i koje je rješenje.
Naime, ako formu koju integriramo označimo sa [tex]\alpha[/tex], onda nam gornji rezultat zapravo govori da je [tex]d\alpha = 0[/tex]. Sad, ako f nije derivabilna, onda [tex]d\alpha[/tex] nije niti definirano, ali ako je, onda je [tex]\alpha[/tex] zatvorena forma.
I to zatvorena forma koja je definirana na 1-povezanom području (jer, pošto je f definiran na cijelom [tex]\mathbb{R}[/tex], naša forma je definirana na cijelom [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Dakle, kad bi f bila derivabilna, onda bi se mogli pozvati na teorem koji bi nam rekao da je forma [tex]\alpha[/tex] egzaktna, a integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji je nužno 0.
Ali, ako se prisjetimo definicije egzaktne forme, dobijemo da je to ona forma za koju postoji forma [tex]\beta[/tex] nižeg stupnja (dakle u ovom slučaju 0-forma, tj. funkcija) za koju će vrijediti [tex]d\beta = \alpha[/tex]
Pa, ako bi mogli pogoditi kakav je [tex]\beta[/tex], onda bi se mogli svejedno pozvati na teorem koji kaže da je integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji 0 i time riješiti zadatak.
Možda je sad malo neobično; kako bi to trebalo pogoditi, posebno pošto ne znamo kakav je f zapravo. No, pošto je f neprekidan, znamo da ima primitivnu funkciju F. Dapače, ako bi pogledali funkciju [tex]F(x^2 - y^3)[/tex], tj. računali parcijalne derivacije te funkcije, vidjeli bi da je to "skoro" naša forma [tex]\alpha[/tex]; fali samo koeficijent [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Formalno, za 0-formu [tex]\beta = \frac{1}{2}F(x^2 - y^3[/tex] vrijedi [tex] \alpha = d\beta[/tex], gdje je F primitivna funkcija od f. Dakle [tex]\alpha[/tex] je egzaktna forma, a integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji je 0.
[quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf[/url]
3. b)
napisite formu povrsine..pomoc[/quote]
Forma površine je definirana u [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o20.pdf]ovom[/url] predavanju na 5. stranici pred kraj. Dakle, trebaš naći parametrizaciju te plohe i jednostavno uvrstiti u tu formulu. Jedino je malo zbunjujuć ovaj dio: [dtex]\frac{\partial(\varphi_{i_1}, ..., \varphi_{i_k}}{\partial(u_1, ..., u_k)}[/dtex]
Čini mi se da tu nedostaje det ispred u predavanjima, ali uglavnom - to predstavlja determinantu matrice parcijalnih derivacija, ali samo nekih komponentnih funkcija.
Primjerice, član uz [tex]dxdz[/tex] bi bio determinanta matrice parcijalnih derivacija, ali SAMO prve i zadnje komponentne funkcije * 1/D, gdje je D definiran niže (i isti je kao izraz koji koristimo pri računanju površine plohe).[/url]
| matijaB (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje? |
Dobra je parametrizacija, i zaista je površina invarijantna na pomake, ali u krajnjoj liniji ti je svejedno, ali integral ispadne izrazito jednostavan.
Naime, što integriraš? Površina 2-plohe koja ima parametrizaciju [tex]\varphi[/tex] po području [tex]Q[/tex] je dana sa:
[dtex]
p(\phi) = \int_Q \sqrt{det(\nabla\varphi^t \nabla \varphi)}
[/dtex]
kako je
[dtex]
\nabla \varphi = \begin{bmatrix}
- s\cdot sin(t) & cos(t)\\
s\cdot cos(t) & sin (t)\\
0 & 2
\end{bmatrix}
[/dtex]
Jer je to, naravno, matrica parcijalnih derivacija. Sada je
[dtex]
\nabla\varphi^t \nabla \varphi = \begin{bmatrix}
s^2 & 0\\
0 & 3\\
\end{bmatrix}
[/dtex]
Determinanta toga je [tex] 3s^2[/tex], korijen iz toga je dalje lagano integrirati.
| mamba (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2006-07/int_zad_probni.pdf
5. zadatak netko? |
Uzmimo za početak malo jaču tvrdnju; da je [tex]f[/tex] derivabilna. Sada možeš na taj integral primjeniti Greenov teorem. Parcijalna derivacija po y-onu od [tex]f(x^2-y^3)x[/tex] je [tex]3f'(x^2-y^3)xy^3[/tex], a parcijalna derivacija po x-u od [tex]\frac{3}{2}f(x^2 - y^3)y^2[/tex] je [tex]3 f'(x^2-y^3)xy^2[/tex]. Dakle, izraz ispod integrala kojeg dobijemo po Greenovom teoremu će biti 0, pa je cijeli integral 0.
Nažalost, za f ne znamo je li derivabilna pa ne možemo to primjeniti i ne možemo to na taj način dobiti.
Ali, to nam ipak daje hint kako zadatak treba riješiti, a i koje je rješenje.
Naime, ako formu koju integriramo označimo sa [tex]\alpha[/tex], onda nam gornji rezultat zapravo govori da je [tex]d\alpha = 0[/tex]. Sad, ako f nije derivabilna, onda [tex]d\alpha[/tex] nije niti definirano, ali ako je, onda je [tex]\alpha[/tex] zatvorena forma.
I to zatvorena forma koja je definirana na 1-povezanom području (jer, pošto je f definiran na cijelom [tex]\mathbb{R}[/tex], naša forma je definirana na cijelom [tex]\mathbb{R}^2[/tex].
Dakle, kad bi f bila derivabilna, onda bi se mogli pozvati na teorem koji bi nam rekao da je forma [tex]\alpha[/tex] egzaktna, a integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji je nužno 0.
Ali, ako se prisjetimo definicije egzaktne forme, dobijemo da je to ona forma za koju postoji forma [tex]\beta[/tex] nižeg stupnja (dakle u ovom slučaju 0-forma, tj. funkcija) za koju će vrijediti [tex]d\beta = \alpha[/tex]
Pa, ako bi mogli pogoditi kakav je [tex]\beta[/tex], onda bi se mogli svejedno pozvati na teorem koji kaže da je integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji 0 i time riješiti zadatak.
Možda je sad malo neobično; kako bi to trebalo pogoditi, posebno pošto ne znamo kakav je f zapravo. No, pošto je f neprekidan, znamo da ima primitivnu funkciju F. Dapače, ako bi pogledali funkciju [tex]F(x^2 - y^3)[/tex], tj. računali parcijalne derivacije te funkcije, vidjeli bi da je to "skoro" naša forma [tex]\alpha[/tex]; fali samo koeficijent [tex]\frac{1}{2}[/tex].
Formalno, za 0-formu [tex]\beta = \frac{1}{2}F(x^2 - y^3[/tex] vrijedi [tex] \alpha = d\beta[/tex], gdje je F primitivna funkcija od f. Dakle [tex]\alpha[/tex] je egzaktna forma, a integral egzaktne forme po zatvorenoj krivulji je 0.
Forma površine je definirana u ovom predavanju na 5. stranici pred kraj. Dakle, trebaš naći parametrizaciju te plohe i jednostavno uvrstiti u tu formulu. Jedino je malo zbunjujuć ovaj dio: [dtex]\frac{\partial(\varphi_{i_1}, ..., \varphi_{i_k}}{\partial(u_1, ..., u_k)}[/dtex]
Čini mi se da tu nedostaje det ispred u predavanjima, ali uglavnom - to predstavlja determinantu matrice parcijalnih derivacija, ali samo nekih komponentnih funkcija.
Primjerice, član uz [tex]dxdz[/tex] bi bio determinanta matrice parcijalnih derivacija, ali SAMO prve i zadnje komponentne funkcije * 1/D, gdje je D definiran niže (i isti je kao izraz koji koristimo pri računanju površine plohe).[/url]
|
|
| [Vrh] |
|
snoops
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 01. 2011. (21:49:54)
Postovi: (13)16
|
| Postano: 16:40 čet, 30. 5. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf[/url] 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni :D ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje?[/quote]
Čini mi se da bi na trecem mjestu parametrizacije trebalo biti 2*s^2, ili sam nešto krivo računala?
| matijaB (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje? |
Čini mi se da bi na trecem mjestu parametrizacije trebalo biti 2*s^2, ili sam nešto krivo računala?
|
|
| [Vrh] |
|
fkirsek
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51)
Postovi: (23)16
|
| Postano: 20:28 čet, 30. 5. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="snoops"][quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf[/url] 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni :D ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje?[/quote]
Čini mi se da bi na trecem mjestu parametrizacije trebalo biti 2*s^2, ili sam nešto krivo računala?[/quote]
Čini mi se da si ipak u pravu. To ipak nešto otežava zadatak, ali i dalje su skroz standardni integrali koji se mogu riješiti supstitucijama.
| snoops (napisa): | | matijaB (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf 3. zadatak
ovaj +1 bi bilo samo linearno pomicanje u prostoru,pa nam to ni netreba,povrsina ce biti ista..a bez tog je lakse parametrizirat
t x s = [0,2pi]x[0,4]
F(t,s)=(s*cost,s*sint,2s) jel to dobra parametrizacija?
ako je...onda na kraju dobim neki teski ( meni ) integral za izracunat..kolko vam ispada rjesenje? |
Čini mi se da bi na trecem mjestu parametrizacije trebalo biti 2*s^2, ili sam nešto krivo računala? |
Čini mi se da si ipak u pravu. To ipak nešto otežava zadatak, ali i dalje su skroz standardni integrali koji se mogu riješiti supstitucijama.
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
fkirsek
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51)
Postovi: (23)16
|
| Postano: 23:46 sub, 1. 6. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="matijaB"]tnx..kad vec pomazete..moze 5 zad..b i c
[url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/zavrsni.pdf[/url][/quote]
b)
Očito prvo treba parametrizirati stranice. No, tu treba paziti na orijentaciju vanjske normale. Primjerice, parametrizacija donjeg dijela dana sa:
[dtex]
\varphi(u,v) = (u,v,0)
[/dtex]
NIJE dobra pošto je vanjska normala dobivena tom parametrizacijom
[dtex]
n = \frac{\partial\varphi}{\partial u}\times\frac{\partial \varphi}{\partial v} =
\left| \begin{matrix}
e_1 & e_2 & e_3\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{matrix}\right| = (0,0,1)
[/dtex]
Kada tu normalu stavimo na donju stranicu, vidimo da gleda prema unutra - a to nije orijentacija koju želimo.
S tim na umu, parametrizacije svih stranica su dane sa:
[dtex]
\varphi_1(u,v) = (v,u,0)[/dtex][dtex]
\varphi_2(u,v) = (u,v,1)[/dtex][dtex]
\varphi_3(u,v) = (u, 0, v)[/dtex][dtex]
\varphi_4(u,v) = (v, 1, u)[/dtex][dtex]
\varphi_5(u,v) = (0,v,u)[/dtex][dtex]
\varphi_6(u,v) = (1,u,v)[/dtex]
Integral treba rastaviti na integrale po svakoj od stranica posebno i onda po tome integrirati. No, ispada da će [tex]dy \wedge dz[/tex] ispasti 0 u onim plohama u kojima nema promjene po y-onu ili po z-u, dakle ostaju samo one strane kvadra paralelne sa yz ravninom. No, po onoj koja leži u yz-ravnini je x uvijek 0, pa bi po njoj integrirali nulfunkciju. Tada nam ostaje samo ona dana sa [tex] \varphi_6[/tex], a tamo je
[dtex]
dy \wedge dz \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} = \left| \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right| = 1
[/dtex]
Integral je onda
[dtex]
\int_0^1 \int_0^1 1 dudv = 1
[/dtex]
c)
Radi se naravno o prvom teoremu danom [url=http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/pred/p_o22.pdf]ovdje[/url]. Pošto integriramo po rubu, moramo vidjeti koji nam je F o kojem se radi na desnoj strani jednakosti. Prvo, vidimo da je forma površine za stranice paralelne sa xz ravninom upravo [tex]dx\wedge dy[/tex], do na predznak, za one paralelne sa yz [tex]dy\wedge dx[/tex] itd.
Sada samo treba naći s kojom funkcijom F treba pomnožiti njihove normale tako da preživi samo [tex]x^2 dy\wedge dz[/tex]. No, to se lako dobije kao stavimo [tex]x^2[/tex] na prvo mjesto u funkciji F, dakle za [tex] F(x,y,z) = (x^2, 0,0)[/tex] dobijemo desnu stranu jednakosti u Gaussovom teoremu.
Sad se pozovemo na Gaussov teorem i dobijemo da je to integral od [tex]divF = \frac{\partial}{\partial x} x^2 = 2x[/tex]. Integral te funkcije po jediničnom kvadru u [tex]\mathbb{R^3}[/tex] je 1
[size=9][color=#999999]Added after 14 minutes:[/color][/size]
[quote="angelika"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
može pomoć sa 3b? I da li je rješenje 3a zadatka 2pi?[/quote]
Rješenje 3.a) zaista je [tex]2\pi[/tex], i to se koristi u b) dijelu. Naime, forma dana u zadatku je zatvorena. To znači da je ona i egzaktna na 1-povezanom području na kojem je definirana. Forma u zadatku nije definirana u [tex](1,0)[/tex] pa nije gzaktna na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]; inače bi integral u a) dijelu bio 0.
Međutim, ono što možemo napraviti je podijeliti [tex]\mathbb{R}^2\setminus(1,0)[/tex] na dva dijela, gornji i donji, tj. na [tex]A= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y)\neq(1,0) \wedge y\geq0\}[/tex] te [tex]B= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y)\neq(1,0) \wedge y\leq0\}[/tex].
A i B su oba 1-povezana područja, pa, pošto je naša forma zatvorena, ona je i egzaktna na njima. To znači da integral po krivulji ovisi samo o krajnjim točkama te krivulje. Tu uskače a) dio zadatka. Naime, naša kardioida i kružnica se sijeku u dvije točke, u [tex](0,0)[/tex] i u [tex](2,0)[/tex].
Promatrajmo zasad samo gornje dijelove tih krivulja, dakle one dijelove koji leže u skupu A. Pošto ti gornji dijelovi imaju isti početak i isti kraj, integral ove forme po gornjem dijelu kardioide mora biti isti kao integral po gornjem dijelu kružnice.
Isti rezultat dobijemo za dijelove u skupu B, tj. za donje dijelove.
Kako je integral po cijeloj kardioidi jednak zbroju integrala po gornjem i donjem dijelu, integral po cijeloj kardioidi je jednak integralu po kružnici, dakle [tex]2\pi[/tex].
b)
Očito prvo treba parametrizirati stranice. No, tu treba paziti na orijentaciju vanjske normale. Primjerice, parametrizacija donjeg dijela dana sa:
[dtex]
\varphi(u,v) = (u,v,0)
[/dtex]
NIJE dobra pošto je vanjska normala dobivena tom parametrizacijom
[dtex]
n = \frac{\partial\varphi}{\partial u}\times\frac{\partial \varphi}{\partial v} =
\left| \begin{matrix}
e_1 & e_2 & e_3\\
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0
\end{matrix}\right| = (0,0,1)
[/dtex]
Kada tu normalu stavimo na donju stranicu, vidimo da gleda prema unutra - a to nije orijentacija koju želimo.
S tim na umu, parametrizacije svih stranica su dane sa:
[dtex]
\varphi_1(u,v) = (v,u,0)[/dtex][dtex]
\varphi_2(u,v) = (u,v,1)[/dtex][dtex]
\varphi_3(u,v) = (u, 0, v)[/dtex][dtex]
\varphi_4(u,v) = (v, 1, u)[/dtex][dtex]
\varphi_5(u,v) = (0,v,u)[/dtex][dtex]
\varphi_6(u,v) = (1,u,v)[/dtex]
Integral treba rastaviti na integrale po svakoj od stranica posebno i onda po tome integrirati. No, ispada da će [tex]dy \wedge dz[/tex] ispasti 0 u onim plohama u kojima nema promjene po y-onu ili po z-u, dakle ostaju samo one strane kvadra paralelne sa yz ravninom. No, po onoj koja leži u yz-ravnini je x uvijek 0, pa bi po njoj integrirali nulfunkciju. Tada nam ostaje samo ona dana sa [tex] \varphi_6[/tex], a tamo je
[dtex]
dy \wedge dz \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} = \left| \begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{matrix} \right| = 1
[/dtex]
Integral je onda
[dtex]
\int_0^1 \int_0^1 1 dudv = 1
[/dtex]
c)
Radi se naravno o prvom teoremu danom ovdje. Pošto integriramo po rubu, moramo vidjeti koji nam je F o kojem se radi na desnoj strani jednakosti. Prvo, vidimo da je forma površine za stranice paralelne sa xz ravninom upravo [tex]dx\wedge dy[/tex], do na predznak, za one paralelne sa yz [tex]dy\wedge dx[/tex] itd.
Sada samo treba naći s kojom funkcijom F treba pomnožiti njihove normale tako da preživi samo [tex]x^2 dy\wedge dz[/tex]. No, to se lako dobije kao stavimo [tex]x^2[/tex] na prvo mjesto u funkciji F, dakle za [tex] F(x,y,z) = (x^2, 0,0)[/tex] dobijemo desnu stranu jednakosti u Gaussovom teoremu.
Sad se pozovemo na Gaussov teorem i dobijemo da je to integral od [tex]divF = \frac{\partial}{\partial x} x^2 = 2x[/tex]. Integral te funkcije po jediničnom kvadru u [tex]\mathbb{R^3}[/tex] je 1
Added after 14 minutes:
| angelika (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf
može pomoć sa 3b? I da li je rješenje 3a zadatka 2pi? |
Rješenje 3.a) zaista je [tex]2\pi[/tex], i to se koristi u b) dijelu. Naime, forma dana u zadatku je zatvorena. To znači da je ona i egzaktna na 1-povezanom području na kojem je definirana. Forma u zadatku nije definirana u [tex](1,0)[/tex] pa nije gzaktna na [tex]\mathbb{R}^2[/tex]; inače bi integral u a) dijelu bio 0.
Međutim, ono što možemo napraviti je podijeliti [tex]\mathbb{R}^2\setminus(1,0)[/tex] na dva dijela, gornji i donji, tj. na [tex]A= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y)\neq(1,0) \wedge y\geq0\}[/tex] te [tex]B= \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: (x,y)\neq(1,0) \wedge y\leq0\}[/tex].
A i B su oba 1-povezana područja, pa, pošto je naša forma zatvorena, ona je i egzaktna na njima. To znači da integral po krivulji ovisi samo o krajnjim točkama te krivulje. Tu uskače a) dio zadatka. Naime, naša kardioida i kružnica se sijeku u dvije točke, u [tex](0,0)[/tex] i u [tex](2,0)[/tex].
Promatrajmo zasad samo gornje dijelove tih krivulja, dakle one dijelove koji leže u skupu A. Pošto ti gornji dijelovi imaju isti početak i isti kraj, integral ove forme po gornjem dijelu kardioide mora biti isti kao integral po gornjem dijelu kružnice.
Isti rezultat dobijemo za dijelove u skupu B, tj. za donje dijelove.
Kako je integral po cijeloj kardioidi jednak zbroju integrala po gornjem i donjem dijelu, integral po cijeloj kardioidi je jednak integralu po kružnici, dakle [tex]2\pi[/tex].
|
|
| [Vrh] |
|
quark
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 22. 10. 2011. (16:47:39)
Postovi: (DA)16
Spol: 
|
|
| [Vrh] |
|
angelika
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 08. 02. 2011. (17:26:51)
Postovi: (5F)16
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
kiara
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 15. 11. 2011. (23:22:57)
Postovi: (55)16
|
|
| [Vrh] |
|
pedro
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 21. 10. 2010. (14:08:21)
Postovi: (19B)16
|
|
| [Vrh] |
|
fkirsek
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 28. 09. 2012. (23:52:51)
Postovi: (23)16
|
| Postano: 17:20 pon, 3. 6. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf[/url] 5. zad
Jel mi tu trebamo provjeriti dal vrijedi jednakost iz teorema o rotaciji?
Jer meni ne ispada jednako -.-[/quote]
Da, upravo to treba provjeriti. Vjerojatno nešto krivo uvrštavaš, što točno radiš?
[quote="kiara"]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo?[/quote]
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
[quote="pedro"]http://prntscr.com/182rox
ima li koji drugi način za rješit ovo osim direktno uvršavanjem vrijednost[/quote]
Naravno da ima. Prvo, primjeti da integral ne ovisi o y-on koordinati, pa bi se mogli praviti da se radi o integralu u ravnini. Dakle, ako bi uzeo parametrizaciju
[dtex]
\delta(t) = (\frac{a}{2}cos t, a sin t)
[/dtex]
i po njoj integrirao sličnu formu, samo sa y-onom umjesto z-om, i to od [tex]-3\pi[/tex] do [tex]15\pi[/tex], vidio bi da se radi o istom integralu kao kad integriraš po [tex]\gamma[/tex].
E, ali za tu formu u 2D slučaju već znamo dosta toga, kao što sam objasnio gore. Ta forma mjeri kut.
Par postova gore ti je objašnjenje kako možeš ovako dobiven integral svesti na integral po kružnici, a po kružnici je ovu formu lako integrirati.
Rješenje onda mora ispasti [tex]18\pi[/tex] (ipak se radi o formi kuta)
Da, upravo to treba provjeriti. Vjerojatno nešto krivo uvrštavaš, što točno radiš?
| kiara (napisa): | http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2009-10/kolokvij2.pdf
moze li pomoc sa 2.b),kako parametrizirati tu plohu?meni ispada u xz ravnini kruznica,a u yz i xy parabola,pa ne znam kako bi parametrizirala plohu da bi mogla racunati onu determinantu,ili ima neki drugi nacin kako rjesiti ovo? |
Radi se o paraboloidu, no to ti nije potrebno da bi znala uvrstiti. Jedna parametrizacija je recimo:
[dtex]
1-y = r^2 \rightarrow y = 1-r^2[/dtex][dtex]
x = r cos \varphi [/dtex][dtex]
z = r sin \varphi [/dtex]
Kad ubaciš u jednadžbu, vidiš da ju ova parametrizacija zadovoljava.
| pedro (napisa): | http://prntscr.com/182rox
ima li koji drugi način za rješit ovo osim direktno uvršavanjem vrijednost |
Naravno da ima. Prvo, primjeti da integral ne ovisi o y-on koordinati, pa bi se mogli praviti da se radi o integralu u ravnini. Dakle, ako bi uzeo parametrizaciju
[dtex]
\delta(t) = (\frac{a}{2}cos t, a sin t)
[/dtex]
i po njoj integrirao sličnu formu, samo sa y-onom umjesto z-om, i to od [tex]-3\pi[/tex] do [tex]15\pi[/tex], vidio bi da se radi o istom integralu kao kad integriraš po [tex]\gamma[/tex].
E, ali za tu formu u 2D slučaju već znamo dosta toga, kao što sam objasnio gore. Ta forma mjeri kut.
Par postova gore ti je objašnjenje kako možeš ovako dobiven integral svesti na integral po kružnici, a po kružnici je ovu formu lako integrirati.
Rješenje onda mora ispasti [tex]18\pi[/tex] (ipak se radi o formi kuta)
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
frutabella
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 09. 10. 2010. (16:35:36)
Postovi: (24E)16
|
| Postano: 18:14 pon, 3. 6. 2013 Naslov: |
|
|
|
[quote="matijaB"][url]http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/difraf/int/2010-11/kolokvij2.pdf[/url] 5. zad
Jel mi tu trebamo provjeriti dal vrijedi jednakost iz teorema o rotaciji?
Jer meni ne ispada jednako -.-[/quote]
Evo ja sam ga sad rjesavala, ispada mi rjesenje 24PI.
Na isti nacin se rjesava kao primjer s valjkom rjesen na vjezbama.
Parametrizacija je ista, samo sto umjeto polumjera a, mi imamo polumjer 2.
Naime, radi se o stožcu.
Ja sam ga nacrtala na nacin da sam prvo fiksirala z=0, i onda dobijes kruznicu u xy-ravnini s polumjerom 2.
Zatim, fiksiras y=0, i dobijes 2 pravca: +/- 2x+4
Znaci vrh stozca ce lezati u (0,4), pa imas donji dio i gornji dio stozca.
I dalje sve istim postupkom kao na vjezbama.
Ako nije jasno, javi.
Nisam vidjela da je vec odgovoreno.
Ovako, da provjerimo:
rot F = (0,0,6)
N1(na plastu) = (cos(fi), sin(fi), 0)
N2(na gornjoj bazi) = (0,0,1)
T=(-sin(fi), cos(fi), 0)
De1 (povrsina plasta)=2,
De2(povrsina gornje baze)=r,
[na zaboravi ovo uvrstiti]
Meni ispada integral po plastu rotF*N dA = 0, a integral po gornjoj bazi 24pi, zbroj daje konacni rezultat 24PI.
Interal po rubu baze, u F uvrsti paramterizaciju i pomnozi sa T i jos pomnozeno sa normom derivirane parametrizacije [nemoj to zaboraviti].
Evo ja sam ga sad rjesavala, ispada mi rjesenje 24PI.
Na isti nacin se rjesava kao primjer s valjkom rjesen na vjezbama.
Parametrizacija je ista, samo sto umjeto polumjera a, mi imamo polumjer 2.
Naime, radi se o stožcu.
Ja sam ga nacrtala na nacin da sam prvo fiksirala z=0, i onda dobijes kruznicu u xy-ravnini s polumjerom 2.
Zatim, fiksiras y=0, i dobijes 2 pravca: +/- 2x+4
Znaci vrh stozca ce lezati u (0,4), pa imas donji dio i gornji dio stozca.
I dalje sve istim postupkom kao na vjezbama.
Ako nije jasno, javi.
Nisam vidjela da je vec odgovoreno.
Ovako, da provjerimo:
rot F = (0,0,6)
N1(na plastu) = (cos(fi), sin(fi), 0)
N2(na gornjoj bazi) = (0,0,1)
T=(-sin(fi), cos(fi), 0)
De1 (povrsina plasta)=2,
De2(povrsina gornje baze)=r,
[na zaboravi ovo uvrstiti]
Meni ispada integral po plastu rotF*N dA = 0, a integral po gornjoj bazi 24pi, zbroj daje konacni rezultat 24PI.
Interal po rubu baze, u F uvrsti paramterizaciju i pomnozi sa T i jos pomnozeno sa normom derivirane parametrizacije [nemoj to zaboraviti].
|
|
| [Vrh] |
|
matijaB
Forumaš(ica)
Pridružen/a: 19. 08. 2010. (09:11:43)
Postovi: (4D)16
|
|
| [Vrh] |
|
|
