|
[b]Često postavljena pitanja iz prve četiri zadaće[/b]
Često ste na demonstraturama ili putem maila pitali za par zadataka koji vam možda i nisu toliko poznati iz Analitičke geometrije.
Uglavnom je riječ o istim zadacima pa je možda najbolje da ih prokomentiramo tu kao FAQ.
[b]1. zadaća[/b]
6. zadatak
Geometrijska interpretacija ovog zadatka, kao i u 5. zadatku, je ona sa ravninama.
Dakle, dvije ravnine (jednadžbe) se mogu siječi po pravcu (pa imamo jedan parametar, bitno je samo da vektori normale nisu jednaki),
mogu biti paralelne nepodudarajuće (presjek je prazan skup - vektori normala ravnina su jednaki, ali onaj "koeficijent D" nije)
i mogu se podudarati (dvije identične jednadžbe - jednaki vektori normala i koeficijent D).
[b]2. zadaća[/b]
2. zadatak
Česta pitanja, što se nasljeđuje, a što ne? Zašto, kako?
Asocijativnost i komutativnost općenito vrijede u R zbog same aksiomatike realnih brojeva pa će posebno vrijediti i za brojeve oblika a+b*sqrt(3).
Često sam viđao argumentaciju što vrijedi u Q, odnosno da nam se svojstva nasljeđuju iz Q, a mi imamo i sqrt(3) u zadatku što je element iz R, ne iz Q.
4. zadatak
Označimo redom translacije za vektore a, b i c sa ta, tb i tc i neka T ima koordinate (x,y).
Zatvorenost se lako provjeri, ako ukomponiramo (ta°tb)(T), to je opet translacija za vektor a+b.
Asocijativnost također, svejedno je translatiramo li T za a pa za (b+c) ili prvo za (a+b) pa za c. ((ta°tb)°tc)(T)=(x+xa+xb+xc,y+ya+yb+yc)=(ta°(tb°tc)).
Neutralni element je identiteta id(T)=T, tojest translacija za vektor (0,0).
Inverz od ta je translacija za suprotni vektor od a, tojest -a, pa je inverz t-a jer (ta°t-a)(T)=(t-a°ta)(T)=id(T)=T.
Posebno vrijedi i komutativnost jer je svejedno translatiramo li T prvo za a pa za b ili za b pa za a (ovo nam inače dobro dođe prije provjeravanja neutralnog elementa).
[b]3. zadaća[/b]
2. zadatak
(a) Uzmimo iz S vektore (1,1,0) i (0,0,1), jasno je da jesu iz S jer 1*1*0=0 i 0*0*1=0, ali (1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1) što nije iz S, odnosno to nije v.p.
(b) Inače je u ovakvim zadacima dovoljno vidjeti (kontra)primjer da znamo da nešto nije v.p.
Konkretno u a dijelu zadatka je riječ o zbrajanju, a ovdje je riječ o množenju skalarom, konkretnije imaginarnim skalarom.
alfa*a3=alfa*(a1 konj - 2*a2) označimo kao uvjet (1).
Inače, kada mi množimo vektor a skalarom alfa onda imamo da je alfa*a=(alfa*a1,alfa*a2,alfa*a3) i onda ove vrijednosti unutra također gledamo po danom pravilu:
alfa*a3= (alfa*a1) konj - alfa*2*a2, ali konjugacija sada djeluje na cijeli alfa*a1 pa posebno djeluje i na skalar alfa. To sad označimo kao uvjet (2).
Kako bi i uvjet (1) i uvjet (2) bili zadovoljeni to znači da nam alfa mora bit jednako alfa konjugirano pa je dovoljan kontraprimjer da uzmemo imaginarni skalar alfa
Mi uzmemo neki vektor a=(6-2i,2+3i,2-4i), za njega znamo da vrijedi uvjet jer smo ga tako i birali.
Nakon toga množimo taj vektor skalarom i, pa dobijemo alfa*a=(2+6i,-3+2i,4+2i).
Sada za njega provjeravamo vrijedi li uvjet z3 = z1 konj - 2*z2, no 4+2i nije jednako 2-6i-2(-3+2i) = 8-10i!
3. zadatak
(f) Postavimo zadatak ovako. alfa*sinx+beta*cosx+gama*sin2x=0, ako je skup linearno nezavisan mora slijediti da je alfa=beta=gama=0.
Neka je to naša tvrdnja za sve x-eve u domeni (R), onda posebno mora vrijediti i za neke proizvoljne x, recimo x=0,pi/4,pi/2.
Za x=0 dobivamo jednakost beta=0, za x=pi/2 dobivamo alfa=0, a za x=pi/4 dobijemo alfa*sqrt(2)/2+beta*sqrt(2)/2+gama=0 iz čega slijedi i da je gama=0.
6. zadatak
Potrebna je samo primjena definicije: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (alfa*f)(x)=alfa*f(x)
[b]4. zadaća[/b]
2. zadatak
Prikaz općenitog vektora v pomoću vektora iz baze.
Uzet ću (a) dio zadatka sa bazom {i-j,i-k,i}. Općeniti vektor v iz V3(O) ima zapis a*i+b*j+c*k, a taj v želimo zapisati kao linearnu kombinaciju vektora dane baze,
alfa*(i-j)+beta*(i-k)*+gama*i=a*i+b*j+c*k, zatim izražavamo koeficijente uz i, j, k u posebne jednadžbe.
Treba imati na umu da su nama koeficijenti a, b i c u biti poznati koeficijenti, a nepoznanice alfa, beta i gama.
I sad izdvojimo alfa+beta+gama=a, -alfa=b, -beta=c pa nam je iz toga alfa=-b, beta=-c i gama=a+b+c
Sada samo uvrstimo nazad da vektor v=(-b)(i-j)+(-c)(i-k)+(a+b+c)i.
Često postavljena pitanja iz prve četiri zadaće
Često ste na demonstraturama ili putem maila pitali za par zadataka koji vam možda i nisu toliko poznati iz Analitičke geometrije.
Uglavnom je riječ o istim zadacima pa je možda najbolje da ih prokomentiramo tu kao FAQ.
1. zadaća
6. zadatak
Geometrijska interpretacija ovog zadatka, kao i u 5. zadatku, je ona sa ravninama.
Dakle, dvije ravnine (jednadžbe) se mogu siječi po pravcu (pa imamo jedan parametar, bitno je samo da vektori normale nisu jednaki),
mogu biti paralelne nepodudarajuće (presjek je prazan skup - vektori normala ravnina su jednaki, ali onaj "koeficijent D" nije)
i mogu se podudarati (dvije identične jednadžbe - jednaki vektori normala i koeficijent D).
2. zadaća
2. zadatak
Česta pitanja, što se nasljeđuje, a što ne? Zašto, kako?
Asocijativnost i komutativnost općenito vrijede u R zbog same aksiomatike realnih brojeva pa će posebno vrijediti i za brojeve oblika a+b*sqrt(3).
Često sam viđao argumentaciju što vrijedi u Q, odnosno da nam se svojstva nasljeđuju iz Q, a mi imamo i sqrt(3) u zadatku što je element iz R, ne iz Q.
4. zadatak
Označimo redom translacije za vektore a, b i c sa ta, tb i tc i neka T ima koordinate (x,y).
Zatvorenost se lako provjeri, ako ukomponiramo (ta°tb)(T), to je opet translacija za vektor a+b.
Asocijativnost također, svejedno je translatiramo li T za a pa za (b+c) ili prvo za (a+b) pa za c. ((ta°tb)°tc)(T)=(x+xa+xb+xc,y+ya+yb+yc)=(ta°(tb°tc)).
Neutralni element je identiteta id(T)=T, tojest translacija za vektor (0,0).
Inverz od ta je translacija za suprotni vektor od a, tojest -a, pa je inverz t-a jer (ta°t-a)(T)=(t-a°ta)(T)=id(T)=T.
Posebno vrijedi i komutativnost jer je svejedno translatiramo li T prvo za a pa za b ili za b pa za a (ovo nam inače dobro dođe prije provjeravanja neutralnog elementa).
3. zadaća
2. zadatak
(a) Uzmimo iz S vektore (1,1,0) i (0,0,1), jasno je da jesu iz S jer 1*1*0=0 i 0*0*1=0, ali (1,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1) što nije iz S, odnosno to nije v.p.
(b) Inače je u ovakvim zadacima dovoljno vidjeti (kontra)primjer da znamo da nešto nije v.p.
Konkretno u a dijelu zadatka je riječ o zbrajanju, a ovdje je riječ o množenju skalarom, konkretnije imaginarnim skalarom.
alfa*a3=alfa*(a1 konj - 2*a2) označimo kao uvjet (1).
Inače, kada mi množimo vektor a skalarom alfa onda imamo da je alfa*a=(alfa*a1,alfa*a2,alfa*a3) i onda ove vrijednosti unutra također gledamo po danom pravilu:
alfa*a3= (alfa*a1) konj - alfa*2*a2, ali konjugacija sada djeluje na cijeli alfa*a1 pa posebno djeluje i na skalar alfa. To sad označimo kao uvjet (2).
Kako bi i uvjet (1) i uvjet (2) bili zadovoljeni to znači da nam alfa mora bit jednako alfa konjugirano pa je dovoljan kontraprimjer da uzmemo imaginarni skalar alfa
Mi uzmemo neki vektor a=(6-2i,2+3i,2-4i), za njega znamo da vrijedi uvjet jer smo ga tako i birali.
Nakon toga množimo taj vektor skalarom i, pa dobijemo alfa*a=(2+6i,-3+2i,4+2i).
Sada za njega provjeravamo vrijedi li uvjet z3 = z1 konj - 2*z2, no 4+2i nije jednako 2-6i-2(-3+2i) = 8-10i!
3. zadatak
(f) Postavimo zadatak ovako. alfa*sinx+beta*cosx+gama*sin2x=0, ako je skup linearno nezavisan mora slijediti da je alfa=beta=gama=0.
Neka je to naša tvrdnja za sve x-eve u domeni (R), onda posebno mora vrijediti i za neke proizvoljne x, recimo x=0,pi/4,pi/2.
Za x=0 dobivamo jednakost beta=0, za x=pi/2 dobivamo alfa=0, a za x=pi/4 dobijemo alfa*sqrt(2)/2+beta*sqrt(2)/2+gama=0 iz čega slijedi i da je gama=0.
6. zadatak
Potrebna je samo primjena definicije: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (alfa*f)(x)=alfa*f(x)
4. zadaća
2. zadatak
Prikaz općenitog vektora v pomoću vektora iz baze.
Uzet ću (a) dio zadatka sa bazom {i-j,i-k,i}. Općeniti vektor v iz V3(O) ima zapis a*i+b*j+c*k, a taj v želimo zapisati kao linearnu kombinaciju vektora dane baze,
alfa*(i-j)+beta*(i-k)*+gama*i=a*i+b*j+c*k, zatim izražavamo koeficijente uz i, j, k u posebne jednadžbe.
Treba imati na umu da su nama koeficijenti a, b i c u biti poznati koeficijenti, a nepoznanice alfa, beta i gama.
I sad izdvojimo alfa+beta+gama=a, -alfa=b, -beta=c pa nam je iz toga alfa=-b, beta=-c i gama=a+b+c
Sada samo uvrstimo nazad da vektor v=(-b)(i-j)+(-c)(i-k)+(a+b+c)i.
_________________
Teorem. Svi prirodni brojevi su zanimljivi.
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji neki prirodan broj n koji nije zanimljiv. Ali upravo zato je zanimljiv. Kontradikcija.
QED
|
