|
Nekoliko primjedbi o rješavanju 1. testa
1. Kod izračunavanja koeficijenata Gramove matrice česte su pogreške
u računu, što samo po sebi nije ništa strašno, no česte su i pogreške
da se za skalarni kvadrat vektora dobiva broj koji nije realan (ili
katkad realan, ali negativan). Takvu pogrešku treba odmah prepoznati
i ispraviti, jer daljnje izračunavanje kojekakvih brojeva neće imati
nikakvog smisla ako se od početka ne vodi računa o samoj definiciji
skalarnog produkta. Također, zamjenom redoslijeda vektora kod
skalarnog produkta treba dobiti kompleksno konjugirane brojeve,
što se vrlo često u testu zaboravljalo pa bi se na mjestima u Gramovoj
matrici koja su simetrična s obzirom na dijagonalu dobivali brojevi
koji ne čine konjugirani par. To bi opet morao biti trenutačni signal
da je nešto u računu pogrešno.
Štoviše, nije potrebno računati skalarni produkt u oba redoslijeda
vektora jer se unaprijed zna kakav je drugi produkt nakon što se
izračuna prvi. Istina, korisno je radi kontrole izračunati oba pa vidjeti
jesu li kompleksno konjugirani, no u većini radova vidi se da su
oba produkta izračunata ne radi kontrole nego zbog zaboravljanja
odgovarajućeg svojstva skalarnog produkta.
2. Često se vide i potpuno suvišna kompliciranja kad se radi s
kanonskom bazom koja je ujedno i ortonormirana (za uređene
n-torke ili, ekvivalentno, matrice). Kad se traži ortogonalna
projekcija nekog vektora na potprostor razapet nekim elementima
takva (kanonske, ortonormirane) baze, traženi vektor može se
izravno pročitati, umjesto da se - posve suvišno - izračunavaju
"po propisu" redom skalarni produkti tog vektora sa svakim
pojedinim vektorom iz baze dotičnog potprostora.
Ovo je najviše došlo do izražaja u zadatku gdje se matrica reda 3
treba rastaviti u zbroj jedne matrice koja na zadana dva mjesta ima
0 i matrice iz ortogonalnog komplementa potprostora određenog
time da njegovi elementi imaju 0 na zadanim mjestima.
Očito bazu tog potprostora čini 7 matrica iz kanonske baze, a
preostale dvije su iz ortogonalnog komplementa pa se traženi rastav
može napisati u jednom retku (možda uz još jedan redak objašnjenja
zašto je to rješenje dobro). Prevladavali su, međutim, naporni
računi...
3. Kod traženja udaljenosti vektora od potprostora, premda je većina
dobro postavila stvar, ima dosta pogrešnih shvaćanja što se traži
i kako se to računa (npr. udaljenost vektora od bilo kojeg vektora
iz potprostora, umjesto od njegove ortogonalne projekcije)
pa bi si takvi trebali raščistiti pojmove (poželjno prije kolokvija).
4. Puno kompliciranja (a time i gubitka vremena i živaca na suvišne
račune) bilo je i u određivanju ortogonalnog komplementa
potprostora od R5 koji je zadan jednom homogenom linearnom
jednadžbom. Pet koeficijenata u toj jednadžbi određuje vektor
koji čini bazu tog ortogonalnog komplementa jer upravo
izjednačavanje s 0 u tom standardnom skalarnom produktu
znači ortogonalnost. Dakle, nije potrebno (iako nije pogrešno)
najprije naći 4 vektora baze potprostora pa onda izračunavati
opći oblik vektora koji je ortogonalan na sve njih. Rješenje je
već napisano koeficijentima u samoj jednadžbi.
5. Ostale važnije pogreške uglavnom su ipak pojedinačne (npr
kojekakve pogreške kod integriranja, kad je skalarni produkt
funkcija zadan pomoću integrala) pa bi bilo dobro da se
pojedinačno i shvate i isprave.
Juraj Šiftar
Nekoliko primjedbi o rješavanju 1. testa
1. Kod izračunavanja koeficijenata Gramove matrice česte su pogreške
u računu, što samo po sebi nije ništa strašno, no česte su i pogreške
da se za skalarni kvadrat vektora dobiva broj koji nije realan (ili
katkad realan, ali negativan). Takvu pogrešku treba odmah prepoznati
i ispraviti, jer daljnje izračunavanje kojekakvih brojeva neće imati
nikakvog smisla ako se od početka ne vodi računa o samoj definiciji
skalarnog produkta. Također, zamjenom redoslijeda vektora kod
skalarnog produkta treba dobiti kompleksno konjugirane brojeve,
što se vrlo često u testu zaboravljalo pa bi se na mjestima u Gramovoj
matrici koja su simetrična s obzirom na dijagonalu dobivali brojevi
koji ne čine konjugirani par. To bi opet morao biti trenutačni signal
da je nešto u računu pogrešno.
Štoviše, nije potrebno računati skalarni produkt u oba redoslijeda
vektora jer se unaprijed zna kakav je drugi produkt nakon što se
izračuna prvi. Istina, korisno je radi kontrole izračunati oba pa vidjeti
jesu li kompleksno konjugirani, no u većini radova vidi se da su
oba produkta izračunata ne radi kontrole nego zbog zaboravljanja
odgovarajućeg svojstva skalarnog produkta.
2. Često se vide i potpuno suvišna kompliciranja kad se radi s
kanonskom bazom koja je ujedno i ortonormirana (za uređene
n-torke ili, ekvivalentno, matrice). Kad se traži ortogonalna
projekcija nekog vektora na potprostor razapet nekim elementima
takva (kanonske, ortonormirane) baze, traženi vektor može se
izravno pročitati, umjesto da se - posve suvišno - izračunavaju
"po propisu" redom skalarni produkti tog vektora sa svakim
pojedinim vektorom iz baze dotičnog potprostora.
Ovo je najviše došlo do izražaja u zadatku gdje se matrica reda 3
treba rastaviti u zbroj jedne matrice koja na zadana dva mjesta ima
0 i matrice iz ortogonalnog komplementa potprostora određenog
time da njegovi elementi imaju 0 na zadanim mjestima.
Očito bazu tog potprostora čini 7 matrica iz kanonske baze, a
preostale dvije su iz ortogonalnog komplementa pa se traženi rastav
može napisati u jednom retku (možda uz još jedan redak objašnjenja
zašto je to rješenje dobro). Prevladavali su, međutim, naporni
računi...
3. Kod traženja udaljenosti vektora od potprostora, premda je većina
dobro postavila stvar, ima dosta pogrešnih shvaćanja što se traži
i kako se to računa (npr. udaljenost vektora od bilo kojeg vektora
iz potprostora, umjesto od njegove ortogonalne projekcije)
pa bi si takvi trebali raščistiti pojmove (poželjno prije kolokvija).
4. Puno kompliciranja (a time i gubitka vremena i živaca na suvišne
račune) bilo je i u određivanju ortogonalnog komplementa
potprostora od R5 koji je zadan jednom homogenom linearnom
jednadžbom. Pet koeficijenata u toj jednadžbi određuje vektor
koji čini bazu tog ortogonalnog komplementa jer upravo
izjednačavanje s 0 u tom standardnom skalarnom produktu
znači ortogonalnost. Dakle, nije potrebno (iako nije pogrešno)
najprije naći 4 vektora baze potprostora pa onda izračunavati
opći oblik vektora koji je ortogonalan na sve njih. Rješenje je
već napisano koeficijentima u samoj jednadžbi.
5. Ostale važnije pogreške uglavnom su ipak pojedinačne (npr
kojekakve pogreške kod integriranja, kad je skalarni produkt
funkcija zadan pomoću integrala) pa bi bilo dobro da se
pojedinačno i shvate i isprave.
Juraj Šiftar
|
