5. zadatak na 1. kolokviju

[Juraj Siftar]

Kako se rješava 5. zadatak na 1. kolokviju:

Prvo pitanje u obje grupe je čista definicija.


U drugom pitanju u obje grupe treba se sjetiti (a čega drugog,
čim se radi o unitarnim prostorima i nekakvoj nejednakosti)
nejednakosti Cauchy-Schwarz-Bunjakowskog.

Za dva vektora a i b Gramova determinanta je upravo
<a,a><b,b> - <a,b><b,a> i to je nenegativan broj po CSB-nejednakosti,
a jednak je 0
ako i samo ako je {a,b} linearno zavisan.

U drugoj grupi, ako primijenimo CSB-nejednakost u zapisu s normama,
i to na vektore a+b i a-b
(zašto njih? pa, imamo umnožak njihovih normi)
onda je taj umnožak normi veći ili jednak apsolutnoj vrijednosti
skalarnog produkta <a+b, a-b>.

[Naya]

Moram priznati da iako sam učila kolokvij nije bio lagan. Zadaci su bili ogromni, preko nekoliko stranica. I ne želim zvučati kao da se samo žalim, ali stvarno je nedostajalo vremena. Krenula sam riješavati redom i na kraju 4. i teorijski zadatak nisam stigla ni pogledati.

[Annemarie]

Slažem se, stvarno je bilo premalo vremena za sve one zadatke, ni ja nisam stigla riješiti pola toga, a učila sam.

[Juraj Siftar]

Uh, opet nije dobro...

Istina, 2. zadatak jest dosta naporan, ali čisto je "tehnički",
baš za stjecanje
bodova isključivo računanjem po poznatim postupcima.

U 1., 3., 4. i 5. zadatku nije bilo baš ničeg "ogromnog".
Hoće li ih se pisati preko nekoliko stranica ili u nekoliko redaka,
ovisi o individualnom stilu rada i rukopisu.

Budući da sam ja zadao i 3. zadatak, pazeći pritom da ne bude
puno računanja i nikakvih "ružnijh" brojeva, evo rješenja
(za jednu grupu, druga sasvim analogna).

L je potprostor u kojem vrijedi x1=x2, x3=x4.
Očitu bazu čine (1,1,0,0) i (0,0,1,1), ta je već ortogonalna,
norma sqrt(2) ne igra dalje bitnu ulogu.

Za vektore ortogonalnog komplementa izravno vrijedi x1+x2=0,
x3+x4=0 pa očiglednu bazu čine (1,-1,0,0) i (0,0,1,-1).
I ta je već ortogonalna, a norme su sqrt(2).

Projekcija općeg vektora na L glasi dakle
1/2 * (x1+x2, x1+x2, x3+x4, x3+x4),
a na ortogonalni komplement to je 1/2 * (x1-x2, x2-x1, x3-x4, x4-x3).



Uvjet da udaljenosti od oba potprostora budu jednake
onda glasi


(x1+x2)^2 + (x3+x4)^2 = (x1-x2)^2 + (x3-x4)^2

i odavde, nakon očitih ukidanja,

x1 x2 + x3 x4 = 0.

Podskup određen ovim uvjetom nije potprostor (dobro poznato iz LA1,
a i lako se ustanovi).

Znači, ovo su dvije ortogonalne projekcije na "jednostavne" potprostore
i lagano izjednačavanje njihovih normi.
Stvarno bez i najmanjih "zamki", postupci poznati iz zadaća, a
s još jednostavnijim zadanim brojevima.