|
Evo nekoliko komentara o načinu rješavanja zadataka
iz testa, odnosno iz domaćih zadaća. Mogli bi biti korisni
ubuduće, da se neki zadaci riješe lakše i brže ili da se
lakše prepozna jesu li rješenja točna.
U zadacima gdje se pojavljuju neki linearni operatori
na prostoru V3(O), a s poznatim i jasnim geometrijskim
značenjem, jako je korisno imati u vidu taj geometrijski
smisao.
Rotacija i zrcaljenje su bijekcije (izomorfizmi) pa im je
i kompozicija takva. U zadatku gdje je trebalo odrediti
kompoziciju rotacije i zrcaljenja u oba redoslijeda pa onda
jezgre i slike, unaprijed je jasno da je slika cijeli prostor,
a jezgra samo {0}. Naravno, i tražena baza slike onda je
jednostavno kanonska baza prostora (kao i neke
"kompliciranije" linearne kombinacije vektora kanonske baze,
kakve su gotovo svi navodili).
Drukčija je stvar kad je jedan od zadanih operatora projekcija
(konkretno, na pravac tj. na 1-dim. potprostor). Kompozicija
projekcije P s nekim izomorfizmom T (npr. zrcaljenjem ili
rotacijom) ima 1-dim. sliku i 2-dim. jezgru, kao i sam P.
Za kompoziciju TP slika je T-slika pravca na koji se projicira,
a za kompoziciju PT slika je sam pravac na koji se projicira.
Jezgra za P je ravnina (2-dim. potprostor) ortogonalan na pravac
na koji se projicira pa se i to lako iskoristi za jezgru TP odnosno
PT. Naravno, računati sve redom je OK, no jako dobro je
prepoznati ima li rezultat očekivani geometrijski smisao.
Pritom, neki od ovih operatora bili su zadani tako da im se
djelovanje na bazi (pa time i matrica) može vidjeti i "napamet"
uz pomoć odgovarajuće sličice.
Čini se da je većina bila dobro pripremljena za ovakve zadatke,
samo bi rješavanje i kontrola bili olakšani "geometrijskim pogledom".
U nekim zadacima (većinom onima pod br. 1 u testu, koji su
trebali biti laganiji) bilo je dosta kompliciranja pa time i
nepotrebnog gubljenja vremena. Pogreške su uglavnom
"individualne" pa ih ne treba previše općenito razrađivati.
No, primjerice, kad je zadan operator na prostoru polinoma tako
da se jednostavno izračuna "konkretna" slika polinoma, pomoću
koeficijenata, onda je kod provjeravanja linearnosti lakše i
preglednije računati s tim "konkretnim" polinomima nego s
formulom kako djeluje operator (pogotovo kad je taj operator
zaoravo nuloperator).
Evo nekoliko komentara o načinu rješavanja zadataka
iz testa, odnosno iz domaćih zadaća. Mogli bi biti korisni
ubuduće, da se neki zadaci riješe lakše i brže ili da se
lakše prepozna jesu li rješenja točna.
U zadacima gdje se pojavljuju neki linearni operatori
na prostoru V3(O), a s poznatim i jasnim geometrijskim
značenjem, jako je korisno imati u vidu taj geometrijski
smisao.
Rotacija i zrcaljenje su bijekcije (izomorfizmi) pa im je
i kompozicija takva. U zadatku gdje je trebalo odrediti
kompoziciju rotacije i zrcaljenja u oba redoslijeda pa onda
jezgre i slike, unaprijed je jasno da je slika cijeli prostor,
a jezgra samo {0}. Naravno, i tražena baza slike onda je
jednostavno kanonska baza prostora (kao i neke
"kompliciranije" linearne kombinacije vektora kanonske baze,
kakve su gotovo svi navodili).
Drukčija je stvar kad je jedan od zadanih operatora projekcija
(konkretno, na pravac tj. na 1-dim. potprostor). Kompozicija
projekcije P s nekim izomorfizmom T (npr. zrcaljenjem ili
rotacijom) ima 1-dim. sliku i 2-dim. jezgru, kao i sam P.
Za kompoziciju TP slika je T-slika pravca na koji se projicira,
a za kompoziciju PT slika je sam pravac na koji se projicira.
Jezgra za P je ravnina (2-dim. potprostor) ortogonalan na pravac
na koji se projicira pa se i to lako iskoristi za jezgru TP odnosno
PT. Naravno, računati sve redom je OK, no jako dobro je
prepoznati ima li rezultat očekivani geometrijski smisao.
Pritom, neki od ovih operatora bili su zadani tako da im se
djelovanje na bazi (pa time i matrica) može vidjeti i "napamet"
uz pomoć odgovarajuće sličice.
Čini se da je većina bila dobro pripremljena za ovakve zadatke,
samo bi rješavanje i kontrola bili olakšani "geometrijskim pogledom".
U nekim zadacima (većinom onima pod br. 1 u testu, koji su
trebali biti laganiji) bilo je dosta kompliciranja pa time i
nepotrebnog gubljenja vremena. Pogreške su uglavnom
"individualne" pa ih ne treba previše općenito razrađivati.
No, primjerice, kad je zadan operator na prostoru polinoma tako
da se jednostavno izračuna "konkretna" slika polinoma, pomoću
koeficijenata, onda je kod provjeravanja linearnosti lakše i
preglednije računati s tim "konkretnim" polinomima nego s
formulom kako djeluje operator (pogotovo kad je taj operator
zaoravo nuloperator).
|
