Rezultati i uvidi u drugi kolokvij 2013./2014. (informacija)

[shimija]

Rezultati se očekuju u ponedjeljak 10.2. u 12 sati.
Uvid u 5. zadatak bit će u uredu prof. Šiftara u 15 sati, a
uvidi u preostala 4 zadatka bit će u predavaonici 101 u
16 sati.

M.E.

[house]

Pitanja za profesora teško je bilo izdvojiti samo problematicno pitanje iz cjeline zadatka pa su napisani cijeli zadatci a onda problematicno pitanje :

1. Napisite matricu operatora ortogonalne projekcije na potprostor L=[{i-2j+k}] vektorskog prostora V3(O) u po volji odabranoj bazi , samo uz uvjet da ona ne sadrži nijedan od vektora -+i, -+j, -+k. Pitanje je: pa kako bi onda ta baza trebala izgledati da ne sadrzi ni i, ni j ni k moze primjer ?

2. Označimo s P3 vektorski prostor realnih polinoma stupnja ≤3 i
neka je F: P3 → P3 linearni operator zadan s F(p)(t) = t p'(t)- p"(t).
Ispitajte može li se F dijagonalizirati i u kojoj to bazi.

Problematicni dio zadatka su dva sljedeca pitanja (inace dobije se F(p)(t)=3at^3+2bt^2+t(c-6a)-2b i da se F ne moze dijagonalizirati ):
1.Postoji li za svaki g iz P3 neki p iz P3 tako da g = F(p)?
2.Postoji li za svaki
g iz P2 (kao potprostor od P3) neki p iz P3 tako da g = F(p)?

zadatak rješavam tako da napisem g-F(p) i izlucim a b c d da dobijem sliku odnosno da provjerim je li g-F(p) epimorfizam , kako u prvom slucaju dobivam rang 3 au drugom 2 a dim od P3=4 a dim od P2 =3 zakljucujem da je odgovor ne postoji u oba slucaja, je li to ispravan nacin rješavanja?
Koja je veza ta dva pitanja s pojmom dijagonalizacije iz prvog dijela zadatka?

3. Izaberite po volji matricu A iz M2(R) čiji su svi koeficijenti međusobno različiti prirodni brojevi te ispitajte
jesu li A i A^t slične matrice. Dokažite da je svaka antisimetrična matrica iz M2(R) slična svojoj transponiranoj matrici A^t.
Odredite sve one antisimetrične matrice iz M2(R) koje su
slične svojoj inverznoj matrici .
Zadatak pokusavam riješiti tako sto primjenjujem A'=(T^-1)AT ali ne dolazim do antisimetricnih matrica koje su slicne svojoj inverznoj matrici, pa vi dobro dosla pomoc ?


4.Neka su λ1,λ2 dvije različite svojetvene vrijednosti
linearnog operatora A, a v1 i v2 neki njima pridruženi
svojstveni vektori. Dokažite da je skup {v1,v2} linearno
nezavisan. Moze ideja oko ovog dokaza, što zapravo zelimo dokazati?

Pa da pomogne i ostalima koji spremaju popravni kolokvij.

[Gost]

A, ni u nedjelju popodne nema mira oko linearne .
Šalim se, samo vi pitajte, može od 0-24, uključujući
nedjelje, praznike, rođendane i dane uoči kolokvija.

1. Matrica ortogonalne projekcije na neki potprostor L u dobro
odabranoj bazi bit će dijagonalna, s jedinicama i nulama po
dijagonali, s tim da ima onoliko jedinica kolika je dimenzija
potprostora L (to je slika operatora, a jezgra mu
je ortogonalni komplement od L, očito, pa s tim u
skladu treba birati i bazu, kao uniju neke baze od L i neke
baze ortogonalnog komplementa).
U konkretnom slučaju za prvi vektor baze uzme se i-2j+k,
a za daljnja dva vektora neka dva ortogonalna na taj,
npr. i+j+k, i-k.
(Može se i ortonormirati ta baza, ovdje nije tako važno).
Sad znamo matricu u toj bazi, ona je diag(1,0,0),
znamo matricu prijelaza iz (i,j,k) u onu koju smo izabrali pa
dobijemo matricu u bazi (i,j,k) kao sličnu od diag(1,0,0) po
poznatoj relaciji.

Poanta (višekratno isticana na predavanjima i u komentarima
o rješavanju zadataka - a ima ih i koje sam već pisao, baš
za ovaj popravni kolokviji) sastoji se u tome da mi često
znamo unaprijed najjednostavniji oblik matrice operatora
ali u prikladnoj bazi, prilagođenoj operatoru, a ta nipošto
mora biti ona "popularna" (i,j,k). U formulaciji zadatka bilo je
"zabranjeno" uzimati i,j,k samo zato da se razmisli o prikladnoj
bazi. Jer, razne rotacije, zrcaljenja i projekcije neće uvijek biti
s obzirom na "standardne" koordinatne osi i ravnine, nego baš
treba preći u pogodnije koordinate (tj. bazu) da bi se dobio
"tipični", lako prepoznatljivi prikaz. To je važna primjena
linearne algebre i treba je razumijeti (sve se to vrti oko
dijagonalizacije, odnosno "približne" dijagonalizacije).

Daljnji odgovorii bit će u posebnim postovima, da ne budu preglomazni.

[Juraj Siftar]

4. Točno piše što želimo dokazati - da različite svojstvene
vrijednosti "daju" linearno nezavisne svojstvene vektore.
To je inače posebni slučaj (za samo dvije svojstvene vrijednosti,
općenito vrijedi za bilo koliko njih, konačno mnogo, dakako) općeg
teorema koji se ovaj put nije stigao dokazati na predavanjima,
no ovaj slučaj lako se rješava i kao zadačić pa je tako i
postavljen.
(Inače, jako je korisno znati tvrdnju spomenutog teorema, dokaz se lako
nađe u preporučenoj literaturi).


Dakle, neka su λ1,λ2 dvije različite svojetvene vrijednosti
linearnog operatora A, a v1 i v2 neki njima pridruženi
svojstveni vektori. Želimo pokazati da je skup {v1,v2}
linearno nezavisan.
U suprotnom, može se napisati npr. v2 = a v1,
pri čemu je a različit od 0, jasno.,
Primijenimo operator A pa dobijemo λ2 v2 = a λ1 v1.
Sad, ako je λ2 = 0, onda je λ1 različit od 0 pa imamo
a λ1 v1 = 0, nemoguće jer to je umnožak dva ne-nul skalara
i ne-nul vektora.
Ostaje da λ2 nije 0, onda množenjem njegovim inverzom
dobivamo

v2 = a λ1 (λ2)^(-1) v1.

Zbog v2 = a v1 slijedi λ1 (λ2)^(-1) = 1, tj. λ1 = λ2,
proturječje zbog pretpostavke.

[Juraj Siftar]

Usput, sasvim je pogrešno unutar ove teme (rezultati kolokvija
i termin uvida) započinjati i razglabati sasvim drugu temu,
tumačenja rješavanja zadataka s nekog bivšeg kolokvija...
No, što sad mogu, započnite novi topic ako želite.

3. zadatak.

Antisimetrična matrica A reda 2 izgleda ovako:

0 a

-a 0

Uzmimo dalje da je a različit od 0, inače su trivijalna pitanja.

Da bi A bila slična svojoj transponiranoj matrici A' treba
postojati regularna matrica T, recimo

x y

z t

takva da bude A' = T^(-1) A T.

Za matricu T reda 2 znamo eksplicitno i jednostavno
napisati inverznu matricu, a čak i ako nećemo tako,
možemo relaciju pretvoriti u oblik

T A' = AT.

Nakon vrlo lakog računa dobivaju se uvjeti

x+ t = 0, y = z.

Pa, uzmimo npr. x = 1, t = -1, y=z=0 i to daje rješenje.

Nadalje, ako je A kao prije, ona je invertibilna jer a nije 0
pa je njezina inverzna (znamo napamet ili izračunamo za 10 sekundi)

A^(-1) =

0 -1/a

1/a 0

Da bi A i njezina inverzna bile slične, nužno je da bude a = 1
ili a = -1 (npr. jer moraju imati jednaku determinantu).

To znači da jedine antisimetrične matrice reda 2 koje
su slične svojoj inverznoj jesu

0 1

-1 0


i

0 -1

1 0 ,

no to su međusobno transponirane matrice, antisimetrične,
pa iz prethodnog dijela zadatka znamo da su slične.

[Juraj Siftar]

2. zadatak - dio o dijagonalizaciji nema nikakve bitne veze s
dijelom o rješavanju jednadžbe, jednostavno se
to treba izračunati za taj operator kao zadatak za sebe.

Drugi dio zadatka u biti je isti kao 3. zadatak iz 9. zadaće.
Ne da mi se sad izračunavati konkretne brojeve, no
ideja - kao što ste dobro napisali - jest u tome da su
moguća dva pristupa, ili da se izjednačavaju koeficijenti
pa se dobije sustav jednadžbi ili da se ispita je li
operator epimorfizam, ali posredno, tako da se
izračuna defekt pa pomoću njega rang.
(Prvi dio zadatka mogao bi imati veze s tim ako se
kao svojstvena vrijednost dobije 0, jer onda operator
nije monomorfizam pa nije ni epimorfizam).

[house]

Hvala i ispricavam se zbog krivog mjesta postavljanja pitanja, drugi puta otvorim novu temu