Zadatak s popravnog kolokvija

[Annemarie]

Bok! Može pomoć oko zadatka iz prošlogodišnjeg popravnog kolokvija?

1. Napišite matricu operatora ortogonalne projekcije na potprostor L=[{i-2j+k}] vektorskog prostora V3(O) i to:
(a) u ortonormiranoj bazi (i,j,k);
(b) u po volji odabranoj bazi, samo uz uvjet da ona ne sadrži nijedan od vektora ±i,±j,±k.
Nadalje, napišite matrice operatora zrcaljenja s obzirom na
potprostor L┴, u istim tim dvjema bazama.

Hvala!

[Cass]

Hej, nije toliko težak koliko dugačak zadatak.

Probaj si skicirati ono što tražiš. Trebaš ortog. projekciju na L koji je određen danim vektorom, a to lako izračunaš pomoću formule. Normiraš vektor a, i nakon što sve uvrstiš i formulu i izračunaš, dobila si projekciju proizvoljnog vektora x na taj potprostor L. Nadalje, gledaš za bazu (i,j,k) te uvrštavaš u matricu. Za b) dio zadatka, odaberi neku drugu bazu (ja sam za primjer uzela (2i, 2j, 2k), nadam se da sam dobro to napravila ) i jednostavno zapišeš matrični prikaz u toj bazi. Zatim, trebš izračunati L ortogonalno, a to ćeš napraviti tako da uzmeš neki proizvoljan vektor v i gledaš njegov skalarni produkt sa vektorom u L (on mora biti nula). Dobit ćeš dva lin. nez. vektora koji su ujedno i baza za L ortogonalno. Sada trebaš izračunati ortog. projekciju s obzirom na ravninu koja nam je dana s naša dva vektora. Za to opet postoji formula (ili si probaj skicirati!) i opet nakon računanja dobit ćeš zrcaljenje nekog svog proizvoljnog vektora na L ortogonalno. Na kraju, opet napišeš matrične prikaze.

Nadam se da sam uspjela pomoći

[Gost]

Ovdje već imate, samo na susjednom topicu, gdje
se našlo iako ne odgovara naslovu:

Matrica ortogonalne projekcije na neki potprostor L u dobro
odabranoj bazi bit će dijagonalna, s jedinicama i nulama po
dijagonali, s tim da ima onoliko jedinica kolika je dimenzija
potprostora L (to je slika operatora, a jezgra mu
je ortogonalni komplement od L, očito, pa s tim u
skladu treba birati i bazu, kao uniju neke baze od L i neke
baze ortogonalnog komplementa).
U konkretnom slučaju za prvi vektor baze uzme se i-2j+k,
a za daljnja dva vektora neka dva ortogonalna na taj,
npr. i+j+k, i-k.
(Može se i ortonormirati ta baza, ovdje nije tako važno).
Sad znamo matricu u toj bazi, ona je diag(1,0,0),
znamo matricu prijelaza iz (i,j,k) u onu koju smo izabrali pa
dobijemo matricu u bazi (i,j,k) kao sličnu od diag(1,0,0) po
poznatoj relaciji.

Poanta (višekratno isticana na predavanjima i u komentarima
o rješavanju zadataka - a ima ih i koje sam već pisao, baš
za ovaj popravni kolokviji) sastoji se u tome da mi često
znamo unaprijed najjednostavniji oblik matrice operatora
ali u prikladnoj bazi, prilagođenoj operatoru, a ta nipošto
mora biti ona "popularna" (i,j,k). U formulaciji zadatka bilo je
"zabranjeno" uzimati i,j,k samo zato da se razmisli o prikladnoj
bazi. Jer, razne rotacije, zrcaljenja i projekcije neće uvijek biti
s obzirom na "standardne" koordinatne osi i ravnine, nego baš
treba preći u pogodnije koordinate (tj. bazu) da bi se dobio
"tipični", lako prepoznatljivi prikaz. To je važna primjena
linearne algebre i treba je razumijeti (sve se to vrti oko
dijagonalizacije, odnosno "približne" dijagonalizacije).

[Annemarie]

Hvala puno, sad mi je jasnije. A zanima me kako bi se točno definirala matrica prijelaza između dvije baze vektorskog prostora, i kako bi se definirala ortogonalna projekcija vektora na potprostor L unitarnog prostora V? Znam općenito reći o tome, ali ne znam precizno definiciju.