Rješenja drugih kolokvija (2008. - 2012.)

[jopi]

Evo rješenja drugih kolokvija iz MA1 od 2008. do 2012. godine. Ovo su samo konačna rješenja, služe za provjeru, nema postupka.
Već ih je Andreja stavila u topic Demonstrature 2013./2014., ali smo ih odlučili premjestiti u novi topic da bi ih iduće generacije mogle lakše pronaći.

[gianluigiana]

a jel može rješenje od drugog zadatka od prošle godine, zadatak je s rekurzijom...

[jopi]

a) Primijetimo da su svi članovi niza >0 (dokaže se indukcijom). Sada tvrdnju iz zadatka dokazujemo jakom indukcijom. Ako su svi <1, onda je i njihov umnožak <1.

b) Niz je omeđen odozdo (npr s 0, što smo već dokazali za a dio zadatka).
Dokažimo da je padajuć počevši od drugog člana:
[tex]3b_{n+1} = b_1\ldots b_n + 2 > b_1\ldots b_n b_{n+1} + 2 = 3b_{n+2} , \forall n\geq 1[/tex]
Ovdje smo koristili [tex]b_{n+1}<1[/tex] iz a) dijela zadatka.
Sada ćemo rekurziju zapisati na drugi način:
[tex]b_1\ldots b_n = 3b_{n+1}-2 \implies[/tex]
[tex]3b_{n+2} = (3b_{n+1}-2)b_{n+1}+2 \implies[/tex]
[tex]3b_{n+2}=3b_{n+1}^2-2b_{n+1}+2, \forall n [/tex]
Dokazali smo da je niz padajuć i ograničen odozdo, pa je konvergentan s limesom L i vrijedi [tex]3L^2 - 5L + 2 = 0 \implies L=\frac{2}{3} ili L=1[/tex]
Budući da su svi članovi <1 i niz je padajuć, limes je [tex]\frac{2}{3}[/tex].

[relax]

ima li netko ideju za ovaj zadatak:

[dtex]
\lim_{x \to -\infty} (-\frac{2}{\pi}arctgx)^x
[/dtex]

Pretpostavljam da je rijec o limesu oblika [tex]
\lim_{x \to c}\varphi(x)^{\psi(x)}[/tex], ali ne mogu svesti na poznati limes. Probao sam cak i uvesti [tex]t=\frac{1}{x}[/tex], ali onda mi argument od [tex]arctg()[/tex] ide u [tex]\pm\infty[/tex]

[pllook]

[Shirohige]

2010/2011, B grupa, 2. zadatak a) dio:

[dtex] \lim_{n\to\infty} sup = \frac{4}{7}[/dtex] a ne [tex] \frac{6}{7} [/tex]

Barem mi se čini, provjerio sam na wolfram alphi:
http://www.wolframalpha.com/widgets/view.jsp?id=9087cd8bfa9c1968b20d8f6d0b81cbbb

ista godina, isti zadatak, ista grupa, Dakle 2010/2011/B grupa/2.zadatak b) dio:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1011-kol2.pdf

jel rješenje [tex]\sqrt{2}[/tex]

Ako može odmah i 2012/2013:
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-1213-kol2.pdf

A i B grupa, 1. zadatak a) dio, u obje grupe sam dobio isto rješenje: [tex]\frac{1}{a-1}[/tex], je li to dobro?

[Shirohige]

Dupli post, isprika.

[room]

[Shirohige]

[pllook]

kako riještiti 4. a), B grupa?
http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/analiza/kolokviji/ma1-0910-kol2.pdf
i još mi nije jasno zašto je u 4. b),A grupa rješenje (ln 2)^2 ? ja uvijek dobivam -(ln 2)^2

[relax]

[pllook]

[relax]

Za ovaj tu zadatak nije mi skroz jasno
[dtex]
\lim_{x \to -\infty} (-\frac{2}{\pi}arctgx)^x
[/dtex]

jesi li supstituirala
[tex]t=(-\frac{2}{\pi}arctgx - 1)*x[/tex]
ili
[tex]t=(-\frac{2}{\pi}arctgx - 1)[/tex]
jer ako je [tex]t=(-\frac{2}{\pi}arctgx - 1)*x ⇒ x=\frac{t}{(-\frac{2}{\pi}arctgx - 1)}[/tex], a ti si napisala [tex] x=\frac{1}{(-\frac{2}{\pi}arctgx - 1)}
[/tex]
I onda dalje, kako uspijes dobiti [tex]tg(\frac{\pi t}{2})[/tex]? Ja se nisam uspio rijesiti ove jedinice pa imam [tex]tg(\frac{\pi(t+1)}{2})[/tex]

[pllook]

[relax]

[jopi]

@Shirohige, hvala na upozorenju. Stavio sam novu verziju
Dakle, 2010/2011, B grupa, 2. zadatak a) je rješenje [tex]\frac{4}{7}[/tex].
Što se tiče b) dijela zadatka, rješenje je [tex]2\sqrt{2}-2[/tex].
U brojniku je [tex]a_{n+1}-a_{n} = \frac{1}{\sqrt{2n+1}} + \frac{1}{\sqrt{2n+2}} - \frac{1}{\sqrt{n}}[/tex], pretpostavljam da je u tome bio problem

2012. B. 1.
Kad pustiš limes, dobiješ L=2 ili L=-3, negdje si fulao predznak.
Onda za [tex]\alpha \leq 2[/tex] dokazuješ da je niz rastući i omeđen odozgo s 2, a za [tex]\alpha > 2[/tex] dokazuješ da je padajuć i omeđen odozdo s 2.

[MyLegHurts]

Pomoc oko zadatka:

2008.

A grupa 4.b)

ovaj lim(x->6)...

[jopi]

Supstituiraj t=x-6, pa brojnik množi i dijeli s [tex]2+\sqrt{4-t}[/tex], a nazivnik množi i dijeli s [tex]4+\sqrt{16+t}[/tex].

[think_ink]

Može pomoć oko 2. zadatka pod a) s kolokvija 2011./2012.? Kako ga uopće postaviti?

[Shirohige]