Dualni prostor i anihilator (objasnjenje gradiva)

[maja912]

Molila bih nekoga ako može malo objasniti pojmove u naslovu jer mi nisu baš najjasniji pa ne znam ni kako bih počela rješavati zadatke vezano uz to gradivo... Hvala puno unaprijed.

[goranm]

Jako puno se moze reci o dualnom prostoru i anihilatoru. Sto tocno ti nije jasno?

_________________
The Dude Abides

[maja912]

Nije mi jasno kako nalazimo bazu dualnog prostora a i nije mi baš najjasnija definicija istog.. Za početak recimo.. Vjerojatno bih shvatila anihilatore da razumijem ovo.

[RonnieColeman]

Dualni prostor je prostor kojeg "naseljavaju" funkcije koje se zovu linearni funkcionali

(a one spadaju u, širu klasu funkcija, funkcije koje se zovu linearni operatori(samo što je linearnim funkcionalima "stiješnjena" dimenzija kodomene(naime ona je dimenzije jedan) jer vektore "bacaju" u polje, a ne u općenito vektorske prostore(makar je i polje vektorski prostor ali ne smarajmo time)))).

Linearni funkcionali "bacaju"/preslikavaju vektore iz vektorskog prostora u polje.

Dakle, linearni funkcionali se definiraju na vektorskom prostoru sa vrijednostima(preslikanim vrijednostima) u polju.

Bazu dualnog prostora čine funkcije(gore spomenute tj linearni funkcionali) te da bi definirala bazu DPa moraš dakle definirati funkcije koje čine tu bazu.

Definirati funkciju znači zadati njeno "djelovanje" na domeni tj na skupu na kojem djeluje. Domenu čine vektori pa linearni funkcional kao funkcija preslikava vektore u skalare(kako se zovu elementi polja)

Vektore domene "postrojiš" i pridružiš im brojeve(kao da se spremaju za maraton recimo pa imaju broj na trčećim gaćicama) tako da znadeš koji je vektor prvi, koji drugi itd.

To zapisuješ formalno kao uređenu n-torku vektora (v1, v2, ... , vn)

Funkcije koje se zovu linearni funkcionali također poredaš u liniju i dadeš im brojeve.

To također zapisuješ kao uređenu n-torku lin funkcionala (f1, f2, ..., fn)

Sada moraš zadati djelovanje svakog od f1 do fn jer zadati funkciju znači zadati njeno djelovanje na elementima koje "napada" tj na elementima na koje djeluje.

Pokazuje se da ako zadaš svaki funkcional baze(za dualni prostor) tako da svaki vektor baze( za domenu linearnog funkcionala) preslikava u broj jedan,

ako je mjesto tog vektora u n-torci vektora baze (v1, ... , vn) jednak mjestu tog funkcionala u uređenoj n-torki funkcionala (f1, ... , fn),

a sve ostale vektore preslika u nulu i tako definiraš sve ostale funkcionale dobiješ bazu za dualni prostor funkcionala tj ti funkcionali "pletu"/"razapinju"/u nekoj linearnoj kombinaciji daju cijeli dualni prostor.

Konkretno za jedan funkcional, uzmeš funkcional recimo f3.

f3, jer je označen sa 3, označava da je on na trećem mjestu u n-torci (f1, ..., fn)

Definiraš ga tako da vektor koji je na istom mjestu, dakle treće mjesto, u n-torci vektora (v1, ..., vn) kao i funkcional u svojoj n-torci, v3 preslikava u broj 1, a sve ostale u vektore u 0.

Analogno za ostale funkcionale.

_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.

[goranm]

Komentar iznad mog lijepo i detaljno objasnjava sto je dualan prostor; no, u sustini, dualan prostor je jednostavno jos jedan vektorski prostor. Nema nista posebno kod dualnih prostora sto bi te sprijecilo da ih tretiras kao "obicne" vektorske prostore na koje si navikla.

Stovise, prostor i njegov dual su izomorfni. Dakle, dualan prostor sam po sebi nije poseban pa cak niti razlicit od originalnog prostora; ono sto je posebno je interakcija izmedju prostora i njegovog duala. Npr. baza jednog odredjuje bazu drugog i obratno (kao sto je objasnjeno u komentaru iznad mog), bez obzira sto je jedan prostor sacinjen od geometrijskih elemenata (vektori), a drugi od analitickih (funkcionali).

Na tu interakciju se trebas usredotociti kada proucavas dualne prostore. Izvan tog konteksta dualni prostor je samo "jos jedan vektorski prostor" i u tom slucaju je jako tesko razumijeti zasto ih uopce proucavamo.

_________________
The Dude Abides

[RonnieColeman]

Da, najbitnije zaboravih napisati.

Dualan prostor je samo ime za strukturu koju već dobro znaš - vektorki prostor.

Budeš li kročila u kolegij Vektorski prostori primjetit ćeš da gotovo sva "okupljanja" elemenata(skup elemenata), barem sva znatnija lol, u tom kolegiju čine strukturu vektorskog prostora, valjda se zato i kolegij zove Vektorski prostori.

Ono, okupiš sve funkcije, super-važne, imena linearni operatori i "dobiješ" vektorski prostor, okupiš sve lin kombinacije nekog skupa dobiješ vp, svako malo ćeš nabasati na vp čim kreneš okupljati neke elemente

(razlikuj skup i strukturu svakako, skup čine elementi, a strukturu dobiješ kad uvedeš operaciju na skupu, operaciju koja zadovoljava neka svojstva, dakle skup i operacija čine strukturu. Složit ćeš se, elementi sami po sebi ne daju neko znatno proučavanje(osim ako element nije čovjek ali o njemu matematika izravno ne govori mnogo). Čim uvedeš operaciju igra dobije zanimljivost)

_________________
...He never had looked less like captain of any-thing, even his own soul.

[maja912]

Hvala vam puno )