|
[quote="Anonymous"]Jel bi mogo netko rijesit 1.zadatak ovogodisnjeg 2.kolokvija?
ne treba sve, neg sam otprilike kak je postupak isao.[/quote]
Trebas homogenizirati u(x,y) da se rjesis onog sinx ili cosysiny da bi imao homogene uvjete.
Ako se odlucis rjesiti sinycosy, onda je u(x,y) = v(x,y) + F(x)*sinycosy
Naime imat ces dolje uvjet da je u(0,y) = sinycosy, a zelis dobiti da je v(0,y) = 0. Stoga je v(0,y) = u(0,y) - F(0)sinycosy = 0.
I onda umjesto u(x,y) uvrstavas v(x,y) + F(x)*sinycosy u pocetnu jednadzbu zato te ce taj sustav zadovoljavati uvjete SL zadace (homogeni uvjeti).
Sto se tice 5. zadatka, evo objasnjenja.
[quote="pmli"]
Koristi se Dirichletov teorem i teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda (nismo mu nadjenuli neko ime, ovo je tek tolko da se lakše referiram). U oba se spominju "po dijelovima neprekidne funkcije":
[i]Kažemo da je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][a, b][/tex] ako je:
1) [tex]f[/tex] definirana na [tex][a, b][/tex] osim u konačno mnogo točaka,
2) [tex]f[/tex] neprekidna svuda gdje je definirana, osim u konačno mnogo točaka
3) u točkama prekida [tex]f[/tex] ima limese slijeva i zdesna. Pišemo [tex]f(x-) := \lim\limits_{t \nearrow x} f(t)[/tex], [tex]f(x+) := \lim\limits_{t \searrow x} f(t)[/tex].[/i]
Trigonometrijski Fourierov red je [dtex]\frac{a_0}{2} + \sum_{k = 0}^{\infty}\left(a_k \cos\frac{k \pi x}{L} + b_k \sin\frac{k \pi x}{L} \right), \quad (*)[/dtex] gdje je [dtex]a_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \cos\frac{k \pi x}{L} dx}\ \textrm{ i }\ b_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \sin\frac{k \pi x}{L} dx}[/dtex]
Iskaz Dirichletovog teorema:
[i]Neka je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] takva da je i [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex]. Tada red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]f(x)[/tex] u svim točkama [tex]x[/tex] u kojima je [tex]f[/tex] neprekidna. U točkama prekida funkcije [tex]f[/tex] red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]\frac{f(x-) + f(x+)}{2}[/tex].[/i]
To kaže da [tex](*)[/tex] konvergira po točkama, i gdje točno konvergira. Podrazumijeva se da je [tex]f[/tex] proširena po periodičnosti (da bi imali smisla ovi limesi na rubovima).
Sad ovaj drugi teorem, o uniformnoj konvergenciji. Ono što je fora je da se pretpostavkama Dirichletovog teorema treba dodati samo ono što je nužno, a to je da je [tex]f[/tex] neprekidna kad se proširi po periodičnosti.
[i]Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex][-L, L][/tex], [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] i [tex]f(-L) = f(L)[/tex]. Tada [tex](*)[/tex] konvergira uniformno prema [tex]f[/tex] na [tex][-L, L][/tex].[/i]
Kad se govori o Fourierovom redu po sinusima funkcije [tex]f[/tex] definirane na [tex][0, L][/tex], misli se na Fourierov red od neparnog proširenja na [tex][-L, L][/tex] (tada je [tex]a_k = 0[/tex]). Za uniformu konvergenciju je potrebno provjeriti (uz neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex]) da je [tex]f(0) = f(L) = 0[/tex] (nacrtaj sliku).
Slično se može gledati i Fourierov red po kosinusima, samo se gleda parno proširenje. Ovdje je bolja situacija u tome što je dovoljno provjeriti neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex] (slika).[/quote]
| Anonymous (napisa): | Jel bi mogo netko rijesit 1.zadatak ovogodisnjeg 2.kolokvija?
ne treba sve, neg sam otprilike kak je postupak isao. |
Trebas homogenizirati u(x,y) da se rjesis onog sinx ili cosysiny da bi imao homogene uvjete.
Ako se odlucis rjesiti sinycosy, onda je u(x,y) = v(x,y) + F(x)*sinycosy
Naime imat ces dolje uvjet da je u(0,y) = sinycosy, a zelis dobiti da je v(0,y) = 0. Stoga je v(0,y) = u(0,y) - F(0)sinycosy = 0.
I onda umjesto u(x,y) uvrstavas v(x,y) + F(x)*sinycosy u pocetnu jednadzbu zato te ce taj sustav zadovoljavati uvjete SL zadace (homogeni uvjeti).
Sto se tice 5. zadatka, evo objasnjenja.
| pmli (napisa): |
Koristi se Dirichletov teorem i teorem o uniformnoj konvergenciji Fourierovog reda (nismo mu nadjenuli neko ime, ovo je tek tolko da se lakše referiram). U oba se spominju "po dijelovima neprekidne funkcije":
Kažemo da je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][a, b][/tex] ako je:
1) [tex]f[/tex] definirana na [tex][a, b][/tex] osim u konačno mnogo točaka,
2) [tex]f[/tex] neprekidna svuda gdje je definirana, osim u konačno mnogo točaka
3) u točkama prekida [tex]f[/tex] ima limese slijeva i zdesna. Pišemo [tex]f(x-) := \lim\limits_{t \nearrow x} f(t)[/tex], [tex]f(x+) := \lim\limits_{t \searrow x} f(t)[/tex].
Trigonometrijski Fourierov red je [dtex]\frac{a_0}{2} + \sum_{k = 0}^{\infty}\left(a_k \cos\frac{k \pi x}{L} + b_k \sin\frac{k \pi x}{L} \right), \quad (*)[/dtex] gdje je [dtex]a_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \cos\frac{k \pi x}{L} dx}\ \textrm{ i }\ b_k = \frac{1}{L} \int\limits_{-L}^L{f(x) \sin\frac{k \pi x}{L} dx}[/dtex]
Iskaz Dirichletovog teorema:
Neka je [tex]f[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] takva da je i [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex]. Tada red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]f(x)[/tex] u svim točkama [tex]x[/tex] u kojima je [tex]f[/tex] neprekidna. U točkama prekida funkcije [tex]f[/tex] red [tex](*)[/tex] konvergira prema [tex]\frac{f(x-) + f(x+)}{2}[/tex].
To kaže da [tex](*)[/tex] konvergira po točkama, i gdje točno konvergira. Podrazumijeva se da je [tex]f[/tex] proširena po periodičnosti (da bi imali smisla ovi limesi na rubovima).
Sad ovaj drugi teorem, o uniformnoj konvergenciji. Ono što je fora je da se pretpostavkama Dirichletovog teorema treba dodati samo ono što je nužno, a to je da je [tex]f[/tex] neprekidna kad se proširi po periodičnosti.
Neka je [tex]f[/tex] neprekidna na [tex][-L, L][/tex], [tex]f'[/tex] po dijelovima neprekidna na [tex][-L, L][/tex] i [tex]f(-L) = f(L)[/tex]. Tada [tex](*)[/tex] konvergira uniformno prema [tex]f[/tex] na [tex][-L, L][/tex].
Kad se govori o Fourierovom redu po sinusima funkcije [tex]f[/tex] definirane na [tex][0, L][/tex], misli se na Fourierov red od neparnog proširenja na [tex][-L, L][/tex] (tada je [tex]a_k = 0[/tex]). Za uniformu konvergenciju je potrebno provjeriti (uz neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex]) da je [tex]f(0) = f(L) = 0[/tex] (nacrtaj sliku).
Slično se može gledati i Fourierov red po kosinusima, samo se gleda parno proširenje. Ovdje je bolja situacija u tome što je dovoljno provjeriti neprekidnost od [tex]f[/tex] i po dijelovima neprekidnost od [tex]f'[/tex] (slika). |
|
