|
Evo i najavljene "neobavezne" 4. domaće zadaće,
kao pripreme za 2. kolokvij.
Za neke od zadataka treba se poslužiti skriptama,
radi definicija koje bi mogle biti korisne i za kolokvij.
4. DOMAĆA ZADAĆA
1. U abelovoj grupi G reda 13 konstruirajte što je više moguće (13,4,1)
diferencijskih skupova pomoću (numeričkog) multiplikatora m = 3.
(Kako su sve grupe reda 13 izomorfne, može se uzeti grupa Z13).
Je li preslikavanje α(x) = 2x (mod 13) automorfizam grupe G?
Kako α djeluje na simetrične dizajne dev D dobivene iz prethodno
konstruiranih diferencijskih skupova?
2. Poznato je da ne postoji projektivna ravnina reda 10, no za tu
tvrdnju nema jednostavnog dokaza. U skriptama Konačne geometrije
potražite teoreme pomoću kojih bi se moglo dokazati da ne
postoji projektivna ravnina reda 10 na kojoj regularno (tj. strogo
tranzitivno) djeluje ciklička grupa automorfizama. Napišite
plan tog dokaza (ne treba pokušavati provesti sam dokaz).
3. Latinski kvadrat naziva se samoortogonalnim (ortogonalnim na sama
sebe, self-orthogonal) ako je ortogonalan na njemu transponirani
latinski kvadrat. Uočite: Ako je latinski kvadrat L samoortogonalan, onda
su na njegovoj dijagonali svi simboli međusobno različiti. Uz pomoć
tog svojstva konstruirajte samoortogonalni latinski kvadrat reda 4.
Dva dobivena latinska kvadrata pokušajte nadopuniti do maksimalnog
MOLS(4).
4. Konstruirajte binarni linearni kod generiran retcima incidencijske
matrice projektivne ravnine reda 2. Odredite parametre tog koda kao
i proširenog koda, dobivenog dodavanjem jedne koordinate
«provjere parnosti» (0 ili 1, prema tome je li vektor parne ili neparne
težine). Za oba koda odredite njima dualne kodove.
5. Konstruirajte ternarni Hammingov kod s parametrom r = 2. Koji
su parametri tog koda? Ispitajte je li taj kod savršen. Proučite
postupak dekodiranja.
Evo i najavljene "neobavezne" 4. domaće zadaće,
kao pripreme za 2. kolokvij.
Za neke od zadataka treba se poslužiti skriptama,
radi definicija koje bi mogle biti korisne i za kolokvij.
4. DOMAĆA ZADAĆA
1. U abelovoj grupi G reda 13 konstruirajte što je više moguće (13,4,1)
diferencijskih skupova pomoću (numeričkog) multiplikatora m = 3.
(Kako su sve grupe reda 13 izomorfne, može se uzeti grupa Z13).
Je li preslikavanje α(x) = 2x (mod 13) automorfizam grupe G?
Kako α djeluje na simetrične dizajne dev D dobivene iz prethodno
konstruiranih diferencijskih skupova?
2. Poznato je da ne postoji projektivna ravnina reda 10, no za tu
tvrdnju nema jednostavnog dokaza. U skriptama Konačne geometrije
potražite teoreme pomoću kojih bi se moglo dokazati da ne
postoji projektivna ravnina reda 10 na kojoj regularno (tj. strogo
tranzitivno) djeluje ciklička grupa automorfizama. Napišite
plan tog dokaza (ne treba pokušavati provesti sam dokaz).
3. Latinski kvadrat naziva se samoortogonalnim (ortogonalnim na sama
sebe, self-orthogonal) ako je ortogonalan na njemu transponirani
latinski kvadrat. Uočite: Ako je latinski kvadrat L samoortogonalan, onda
su na njegovoj dijagonali svi simboli međusobno različiti. Uz pomoć
tog svojstva konstruirajte samoortogonalni latinski kvadrat reda 4.
Dva dobivena latinska kvadrata pokušajte nadopuniti do maksimalnog
MOLS(4).
4. Konstruirajte binarni linearni kod generiran retcima incidencijske
matrice projektivne ravnine reda 2. Odredite parametre tog koda kao
i proširenog koda, dobivenog dodavanjem jedne koordinate
«provjere parnosti» (0 ili 1, prema tome je li vektor parne ili neparne
težine). Za oba koda odredite njima dualne kodove.
5. Konstruirajte ternarni Hammingov kod s parametrom r = 2. Koji
su parametri tog koda? Ispitajte je li taj kod savršen. Proučite
postupak dekodiranja.
|
