Pomoc sa zadatkom s prvog kolokvija

[malisputnik]

Dobra vecer,

Trebam pomoc sa sljedecim zadatkom, tj. moze li netko objasniti rjesenje
3. zadatka iz prve grupe. Kako se dolazi do baze za potprostor jer mi nije jasno
zasto matrica [ -1 0, 0 1 ] zadovoljava uvjet A - Tr(A)*I = A^t.

http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ela/la1/kolokviji/kolla11-2012.pdf

[vsego]

Zato sto je simetricna i ima trag jednak nuli. Uvrsti:
[tex]\operatorname{tr} A = -1 + 1 = 0[/tex],
[tex]A - (\operatorname{tr} A) {\rm I} = A - 0 \cdot {\rm I} = A = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = A^T[/tex].

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.

[malisputnik]

Hvala, sada vidim di mi je greska.

Mozete li mi reci kako se dode do te baze, tj. je li se "narihta"?

[vsego]

Uvijek je korisno malo raspisati, da se vidi sto se tu zapravo dogadja.

Za zadanu matricu [tex]A = \begin{bmatrix} a_{ij} \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{2 \times 2}[/tex] oznacimo [tex]t := \operatorname{tr} A = a_{11} + a_{22}[/tex]. Sada nas uvjet izgleda ovako:
[dtex]A - t \cdot {\rm I} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} t \\ & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} - t & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - t \end{bmatrix} = A^T = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}.[/dtex]

Dakle, zanimaju nas matrice za koje vrijedi:
[dtex]\begin{bmatrix} a_{11} - t & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} - t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} \\ a_{12} & a_{22} \end{bmatrix}.[/dtex]

Zakljucak: rijec je o skupu simetricnih matrica koje imaju trag [tex]t[/tex] jednak nuli. Rasclanimo li ta dva (ocito neovisna) uvjeta, imamo:
[dtex]a_{21} = a_{12}, \quad a_{22} = -a_{11}.[/dtex]

To znaci da je nas skup zapravo
[dtex]K = \left\{ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{12} & -a_{11} \end{bmatrix} \colon a_{11}, a_{12} \in \mathbb{R} \right\}.[/dtex]

Dalje provjeris kako se i inace provjerava da je neki podskup prostora i sam (pod)prostor.

_________________
U pravilu ignoriram pitanja u krivim topicima i kodove koji nisu u [code]...[/code] blokovima.
Takodjer, OBJASNITE sto vas muci! "Sto mi je krivo?", bez opisa u cemu je problem, rijetko ce zadobiti moju paznju.