Rješenja 5. zadatka s kolokvija.
1. Neka je V unitarni prostor sa skalarnim množenjem <.,.>. Ako je a
vektor iz V sa svojstvom da <a,x> ima konstantnu vrijednost alfa
(dakle, isti alfa za svaki x iz V) pokažite da je a = 0.
Rj.
Uvrštavanjem x=0 dobivamo alfa=0, a zatim uvrštavanjem x=a
iz <a,a> = 0 slijedi a = 0.
Varijanta, npr. uvrštavanje x i 2x daje 2*alfa = alfa pa je alfa = 0.
2. Neka su a i b vektori iz unitarnog protora V, oba različita od 0.
Izrazite udaljenost vektora a od potprostora [b]ort i vektora b
od potprostora [a]ort samo pomoću a, b i operacija u V.
Rj.
Udaljenost a od ortogonalnog komplementa potprostora [b]
jednaka je normi ortogonalne projekcije a na [b].
To je apsolutna vrijednost skalarnog produkta a i jediničnog
vektora smjera b, eksplicitno:
norma ( ( <a,b>/<b,b>) b ) ili aps (<a,b>)/ sqrt <b,b>.
3. Neka je (z1,z2) vektor iz unitarnog prostora C^2 sa standardnim
skalarnim produktom. Napišite nejednakost koja se dobiva
primjenom CSB-nejednakosti na vektore (z1,z2) i (z1', z2').
(Ovdje z' znači kompleksno konjugirani broj, ' je umjesto poteza)
Izraziti samo pomoću z1, z2 i operacija u C.
Rj.
<(z1,z2), (z1',z2')> = (z1)^2 + (z2)^2
(naravno, z'' = z)
<(z1,z2), <z1,z2)> = z1 z1' + z2 z2'
= aps(z1)^2 + aps(z2)^2.
<(z1',z2'), (z1',z2')> daje isti rezultat.
Kad se uvrsti u CSB, to daje
aps (z1^2 + z2^2) <= aps (z1)^2 + aps(z2)^2.
U redu je i ako se ostave kvadrati nad obje strane i ako se
ostavi zz' umjesto aps(z)^2. No, nije u redu ako se na lijevoj
strani izostavi apsolutna vrijednost kompleksnog broja.
4. Dokažite da za svaki neprazni podskup S unitarnog prostora V
vrijedi S' = [S]' = [S'].
(Ovdje S' označava skup svih vektora koji su ortogonalni na
svaki vektor iz S).
Rj.
Znamo da je S' potprostor od V za bilo koji podskup S od V.
Zato je [S'] = S' (to je karakteristično svojstvo svakog
potprostora, da je to skup jednak vlastitoj linearnoj ljusci).
Ostaje pokazati da su jednaki prvi i drugi skup (ili drugi i treći).
Kako je S sadržan u [S], jasno da je [S]' sadržan u S'.
Obrnuto, ako je x vektor iz S', čim je ortogonalan na svaki
vektor iz S, ortogonalan je i na sve linearne kombinacije
vektora iz S pa je S' sadržan u [S]'.
