Ne mora. Neka je [tex]R[/tex] bilo koji komutativan prsten i neka je [tex]I[/tex] ideal u [tex]R[/tex]. Tada ce [tex]R/I[/tex] biti integralna domena ako i samo ako je [tex]I[/tex] prost ideal.
Dakle, ako je [tex]R[/tex] komutativan prsten koji nije integralna domena, a [tex]I[/tex] neki prost ideal u tom prstenu, onda ce [tex]R/I[/tex] biti integralna domena, ali [tex]R[/tex] nece.
Takav prsten postoji: [tex]R=\mathbb Z/4\mathbb Z=\mathbb Z_4[/tex] nije integralna domena jer je [tex]2\cdot 2=0[/tex].
Podskup [tex]I=\{0,2\}\subset\mathbb Z_4[/tex] je prost ideal u tom prstenu (provjeri tablicom!) sto znaci da je [tex]\mathbb Z_4/I=\{I, 1+I\}\cong\{0,1\}[/tex] integralna domena (stovise, to je polje), ali [tex]\mathbb Z_4[/tex] nije.
Ne mora. Neka je [tex]R[/tex] bilo koji komutativan prsten i neka je [tex]I[/tex] ideal u [tex]R[/tex]. Tada ce [tex]R/I[/tex] biti integralna domena ako i samo ako je [tex]I[/tex] prost ideal.
Dakle, ako je [tex]R[/tex] komutativan prsten koji nije integralna domena, a [tex]I[/tex] neki prost ideal u tom prstenu, onda ce [tex]R/I[/tex] biti integralna domena, ali [tex]R[/tex] nece.
Takav prsten postoji: [tex]R=\mathbb Z/4\mathbb Z=\mathbb Z_4[/tex] nije integralna domena jer je [tex]2\cdot 2=0[/tex].
Podskup [tex]I=\{0,2\}\subset\mathbb Z_4[/tex] je prost ideal u tom prstenu (provjeri tablicom!) sto znaci da je [tex]\mathbb Z_4/I=\{I, 1+I\}\cong\{0,1\}[/tex] integralna domena (stovise, to je polje), ali [tex]\mathbb Z_4[/tex] nije.
_________________
The Dude Abides
i imam još jedno pitanje
