Lema (objasnjenje gradiva)

[mira]

Može li pojašnjenje leme u kojoj stoji da je S konačan skup izvodnica v.p. V, a A linearno nezavisan podskup prostora V. Tada je card(A)<=card (S)?
Koji je razlog zašto card (A) ne može biti veći od card(S)?

[Juraj Siftar]

Razlog se zapravo vidi iz dokaza pa vjerojatno pitate za pojašnjenje
dokaza, jer sama tvrdnja je jednostavna i jasna.

Dokaz u biti izgleda tako da se u promatranom skupu izvodnica S
vektori jedan po jedan zamjenjuju vektorima iz tog linearno nezavisnog
skupa A, a da se pritom nikad ne naruši svojstvo skupa izvodnica tj
da linearna ljuska bude jednaka cijelom prostoru.


Ako bi u A bilo više vektora nego u S, recimo da ih u S ima točno m,
onda bi nakon m zamjena dobili skup izvodnica koji se sastoji od m
vektora iz A pa bi bio i linearno nezavisan, jer bi to bio i podskup od A,
no onda bi se bar jedan "preostali" vektor iz A mogao prikazati pomoću
m vektora iz A koji su "premješteni" u skup izvodnica. To je proturječje
s linearnom nezavisnosti skupa A. Dakle, broj vektora u A može biti
točno m, ali ne može biti veći jer ne može biti "preostalih" vektora u A
nakon što smo od njih m sastavili skup izvodnica (ujedno i bazu, naravno).